Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Les vecteurs en Seconde Exercices

Sommes de vecteurs dans un losange

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

$ KLMN $ est un losange de centre $ O $.

Simplifier les expressions vectorielles suivantes.

  1. $ \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} $
  2. $ \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{MN} $
  3. $ \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MK} $
  4. $ \overrightarrow{LO} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{NK} $
  5. En déduire de la question 1 que $ \overrightarrow{KO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{KL} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{KN} $.

Corrigé

  1. Le losange est un parallélogramme, donc $ \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{LM} $.
    On remplace :
    $ \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LM} = \overrightarrow{KM} $
    par la relation de Chasles.

    $ \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KM} $

  2. De même, $ KLMN $ étant un parallélogramme, $ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{LK} $.
    On remplace :
    $ \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{MK} $
    par la relation de Chasles.

    $ \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MK} $

  3. On applique la relation de Chasles aux deux derniers vecteurs :
    $ \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{NK} $
    Donc :
    $ \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{NK} = 2\overrightarrow{NK} $

    $ \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{NK} $

  4. On applique la relation de Chasles aux deux premiers vecteurs :
    $ \overrightarrow{LO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{LM} $
    Or $ KLMN $ est un parallélogramme, donc $ \overrightarrow{LM} = \overrightarrow{KN} = -\overrightarrow{NK} $.
    Donc :
    $ \overrightarrow{LO} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{NK} = -\overrightarrow{NK} + \overrightarrow{NK} $

    $ \overrightarrow{LO} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{NK} = \overrightarrow{0} $

  5. D'après la question 1, $ \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} $.
    Or $ O $ est le centre du losange, donc $ O $ est le milieu de la diagonale $ [KM] $.
    On en déduit que $ \overrightarrow{KO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{KM} $, soit :

    $ \overrightarrow{KO} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN}) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{KL} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{KN} $