Racines carrées – Produits et développements

On utilise les propriétés $ \sqrt{a}\times \sqrt{b} = \sqrt{a\times b} $ et $ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} $ :

a) $ A = \sqrt{5}\times \sqrt{20} = \sqrt{5\times 20} = \sqrt{100} = 10 $

b) $ B = \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3 $

Si vous connaissez les identités remarquables :

a) On utilise $ (a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} $ avec $ a = 3 $ et $ b = \sqrt{2} $ :

$ C = 3^{2}+2\times 3\times \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2} = 9+6\sqrt{2}+2 = 11+6\sqrt{2} $

b) On utilise $ (a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2} $ avec $ a = 5 $ et $ b = \sqrt{7} $ :

$ D = 5^{2} - \left(\sqrt{7}\right)^{2} = 25 - 7 = 18 $

Si vous n'avez pas encore vu les identités remarquables :

On utilise la double distributivité.

a) On écrit $ \left(3+\sqrt{2}\right)^{2} = \left(3+\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right) $ et on développe :

$ C = 3\times 3 + 3\times \sqrt{2} + \sqrt{2}\times 3 + \sqrt{2}\times \sqrt{2} $

$ C = 9 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2} $

b) On développe $ \left(5 - \sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right) $ :

$ D = 5\times 5 + 5\times \sqrt{7} - \sqrt{7}\times 5 - \sqrt{7}\times \sqrt{7} $

$ D = 25 + 5\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 7 = 18 $

Pour se débarrasser de la racine carrée au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $ 5+\sqrt{7} $ :

$ \dfrac{1}{5 - \sqrt{7}} = \dfrac{1\times \left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5 - \sqrt{7}\right)\times \left(5+\sqrt{7}\right)} $

D'après la question 2b), le dénominateur vaut 18, donc :

$ \dfrac{1}{5 - \sqrt{7}} = \dfrac{5+\sqrt{7}}{18} $