Probabilités – Tableau à double entrée et produit de tirages – Brevet Polynésie 2024
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On dispose de deux boîtes contenant des boules numérotées, indiscernables au toucher.
La première boîte contient trois boules numérotées 2, 3 et 5.
La deuxième boîte contient deux boules numérotées 3 et 5.
On tire au hasard une boule dans la première boîte puis une boule dans la deuxième boîte.
On s'intéresse au produit des nombres inscrits sur ces deux boules.
Par exemple, si on tire la boule numérotée 2 dans la première boîte puis la boule numérotée 5 dans la deuxième boîte, on obtient comme résultat : $ 2 \times 5 = 10 $.
Compléter le tableau à double entrée ci-dessous afin de faire apparaître tous les résultats possibles de cette expérience.
2ᵉ tirage : 3 2ᵉ tirage : 5 1ᵉʳ tirage : 2 $ 2 \times 5 = 10 $ 1ᵉʳ tirage : 3 1ᵉʳ tirage : 5 15 - Quelle est la probabilité d'obtenir 15 comme résultat ?
L'affirmation suivante est-elle vraie ?
Affirmation : Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3.
On ajoute une troisième boîte contenant deux boules numérotées avec des nombres entiers.
On tire au hasard une boule dans la première boîte, puis une boule dans la deuxième boîte, puis une boule dans la troisième boîte.
On multiplie les nombres inscrits sur ces boules et on s'intéresse au produit de ces trois nombres. Anissa a obtenu comme résultat 165 et Bilel a obtenu 78.
Quels sont les nombres inscrits sur les boules de la troisième boîte ?
Corrigé
On effectue tous les produits possibles entre une boule de la première boîte et une boule de la deuxième boîte.
2ᵉ tirage : 3 2ᵉ tirage : 5 1ᵉʳ tirage : 2 $ 2 \times 3 = 6 $ $ 2 \times 5 = 10 $ 1ᵉʳ tirage : 3 $ 3 \times 3 = 9 $ $ 3 \times 5 = 15 $ 1ᵉʳ tirage : 5 $ 5 \times 3 = 15 $ $ 5 \times 5 = 25 $ L'expérience comporte $ 3 \times 2 = 6 $ issues équiprobables. D'après le tableau, le résultat 15 apparaît 2 fois (avec les tirages $ (3\,;\,5) $ et $ (5\,;\,3) $).
$ P(\text{obtenir 15}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $On dénombre dans le tableau les résultats qui sont des multiples de 3 : ce sont 6, 9, 15 et 15, soit 4 issues sur 6.
$ P(\text{multiple de 3}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $L'affirmation « Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3 » est donc vraie.
On note $ a $ et $ b $ les deux nombres entiers inscrits sur les boules de la troisième boîte.
D'après le tableau, le produit des deux premières boules appartient à l'ensemble $ \{6\,;\,9\,;\,10\,;\,15\,;\,25\} $.
Cas d'Anissa. Le produit final est 165. On cherche un produit $ p $ de la liste qui divise 165 :
$ 165 = 3 \times 5 \times 11 $.
Le seul élément de la liste $ \{6\,;\,9\,;\,10\,;\,15\,;\,25\} $ qui divise 165 est 15. On a alors $ 165 = 15 \times 11 $, donc l'une des boules de la troisième boîte porte le nombre 11.
Cas de Bilel. Le produit final est 78. On cherche de même un diviseur de 78 dans la liste :
$ 78 = 2 \times 3 \times 13 $.
Le seul élément de la liste qui divise 78 est 6. On a alors $ 78 = 6 \times 13 $, donc l'autre boule de la troisième boîte porte le nombre 13.
La troisième boîte contient les deux boules numérotées 11 et 13.