Nature de nombres et encadrements

1. On simplifie la fraction en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD.
   $ \text{PGCD}(45, 12) = 3 $, donc $ \dfrac{45}{12} = \dfrac{15}{4} = 3{,}75 $.
   Ce nombre a une écriture décimale finie : il appartient à $\mathbf{\mathbb{D}}$.
2. $ \sqrt{0{,}01} = \sqrt{\dfrac{1}{100}} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 $.
   Ce nombre est un nombre décimal positif : il appartient à $\mathbf{\mathbb{D}}$.
3. $ \dfrac{4}{\sqrt{16}} = \dfrac{4}{4} = 1 $.
   Ce nombre est un entier naturel : il appartient à $\mathbf{\mathbb{N}}$.
4. Le nombre $ \pi $ est irrationnel. La somme d'un nombre irrationnel et d'un entier reste irrationnelle : $ \pi + 1 $ est un nombre irrationnel (il appartient à $ \mathbb{R} $ sans appartenir à $ \mathbb{Q} $).
5. On reconnaît l'identité remarquable $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ avec $ a = \sqrt{5} $ et $ b = 1 $ :
   $ \left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right) = \sqrt{5}^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 $
   Ce nombre est un entier naturel : il appartient à $\mathbf{\mathbb{N}}$.

1. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $ \dfrac{a}{2^m \times 5^p} $ avec $ a \in \mathbb{Z} $, $ m \in \mathbb{N} $, $ p \in \mathbb{N} $.
   La fraction $ \dfrac{5}{7} $ est irréductible car $ \text{PGCD}(5, 7) = 1 $. Or $ 7 $ ne peut pas s'écrire sous la forme $ 2^m \times 5^p $. Donc $ \dfrac{5}{7} $ n'est pas un nombre décimal.
   On peut aussi constater que $ \dfrac{5}{7} = 0{,}714285714285\ldots $ est un développement décimal périodique illimité.

2. On effectue la division : $ \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7142\ldots $
   On cherche deux décimaux consécutifs au centième encadrant ce nombre :
   $\mathbf{0{,}71 < \dfrac{5}{7} < 0{,}72}$

   Vérification : $ 0{,}72 - 0{,}71 = 0{,}01 = 10^{-2} $, l'amplitude est correcte.

3. On compare $ \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7142\ldots $ aux deux bornes de l'encadrement.
   La distance à $ 0{,}71 $ est $ 0{,}7142\ldots - 0{,}71 = 0{,}0042\ldots $
   La distance à $ 0{,}72 $ est $ 0{,}72 - 0{,}7142\ldots = 0{,}0057\ldots $
   Le nombre $ \dfrac{5}{7} $ est plus proche de $ 0{,}71 $, donc l'arrondi au centième est $\mathbf{0{,}71}$.

On cherche deux entiers consécutifs dont les carrés encadrent 13.
On a $ 3^2 = 9 $ et $ 4^2 = 16 $, donc $ 9 < 13 < 16 $, d'où $ 3 < \sqrt{13} < 4 $.
On affine : $ 3{,}6^2 = 12{,}96 $ et $ 3{,}7^2 = 13{,}69 $.
Comme $ 12{,}96 < 13 < 13{,}69 $, on obtient :
$\mathbf{3{,}6 < \sqrt{13} < 3{,}7}$

L'amplitude est $ 3{,}7 - 3{,}6 = 0{,}1 = 10^{-1} $.