Événement contraire et urne

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges, 6 boules bleues et 5 boules jaunes. On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
En déduire la probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge.
Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ou jaune ?
Que peut-on constater en comparant les résultats des questions 2 et 3 ? Expliquer.

Corrigé

Les boules sont indiscernables au toucher et le tirage est au hasard, on est donc en situation d'équiprobabilité.

Il y a 4 boules rouges sur un total de 15 boules, donc :

$ p(\text{rouge}) = \dfrac{4}{15} $
L'événement « tirer une boule qui n'est pas rouge » est l'événement contraire de « tirer une boule rouge ».

On utilise la formule de l'événement contraire :
$ p(\overline{\text{rouge}}) = 1 - p(\text{rouge}) $
$ p(\overline{\text{rouge}}) = 1 - \dfrac{4}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{4}{15} = $$\mathbf{\dfrac{11}{15}}$
L'événement « tirer une boule bleue ou jaune » est réalisé par $6 + 5 = 11$ boules sur 15, donc :

$ p(\text{bleue ou jaune}) = \dfrac{11}{15} $
On constate que $p(\overline{\text{rouge}}) = p(\text{bleue ou jaune}) = \dfrac{11}{15}$.

C'est logique : les seules couleurs possibles sont rouge, bleue et jaune. Donc « ne pas tirer une boule rouge » revient exactement à « tirer une boule bleue ou jaune ». L'événement contraire de « rouge » est « bleue ou jaune ».