Encadrements avec la fonction cube

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Déterminer un encadrement de $x^3$ dans chacun des cas suivants :
1. $2 \leqslant x \leqslant 5$
2. $-3 \leqslant x \leqslant -1$
3. $-2 \leqslant x \leqslant 4$
Un artisan fabrique des boîtes cubiques. L'arête de chaque boîte mesure entre $3$ cm et $5$ cm. Déterminer un encadrement du volume de ces boîtes.
On sait que $-4 \leqslant x \leqslant 3$. Peut-on affirmer que $-64 \leqslant x^3 \leqslant 27$ ? Justifier.

Corrigé

1. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  Si $2 \leqslant x \leqslant 5$, alors $2^3 \leqslant x^3 \leqslant 5^3$, donc $\mathbf{8 \leqslant x^3 \leqslant 125}$.
2. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  Si $-3 \leqslant x \leqslant -1$, alors $(-3)^3 \leqslant x^3 \leqslant (-1)^3$, donc $\mathbf{-27 \leqslant x^3 \leqslant -1}$.
3. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  Si $-2 \leqslant x \leqslant 4$, alors $(-2)^3 \leqslant x^3 \leqslant 4^3$, donc $\mathbf{-8 \leqslant x^3 \leqslant 64}$.
Le volume d'un cube d'arête $a$ est $V = a^3$.
L'arête vérifie $3 \leqslant a \leqslant 5$. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$, donc :
$3^3 \leqslant a^3 \leqslant 5^3$, c'est-à-dire $\mathbf{27 \leqslant V \leqslant 125}$.
Le volume des boîtes est compris entre $27$ cm$^3$ et $125$ cm$^3$.
Oui, l'affirmation est correcte.
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc elle conserve l'ordre quel que soit le signe des nombres.
Si $-4 \leqslant x \leqslant 3$, alors $(-4)^3 \leqslant x^3 \leqslant 3^3$, c'est-à-dire $-64 \leqslant x^3 \leqslant 27$.
Contrairement à la fonction carré, il n'y a pas de piège lorsque l'encadrement contient $0$ : la fonction cube conserve toujours l'ordre.