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Dénombrement Exercices

Dénombrement – Tableau à double entrée

Durée estimée
10 minutes
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Objectif travaillé

Un restaurateur a effectué des statistiques relatives aux consommations de ses clients pendant un mois.

Sur 3 453 clients, 2 920 ont commandé un dessert et 2 315 ont commandé un café. Parmi ceux-ci, 1 943 clients ont commandé à la fois un dessert et un café.

  1. Représenter ces données à l'aide d'un tableau à double entrée.
    1. Combien de personnes ont commandé un dessert mais pas de café ?
    2. Combien de personnes ont commandé un café mais pas de dessert ?
    3. Combien de personnes ont commandé un café ou un dessert (ou les deux) ?

  3. Soit D l'ensemble des personnes ayant commandé un dessert et C l'ensemble des personnes ayant commandé un café.

    1. Décrire, par une phrase les ensembles $D \cap C$ et $D \cup C$.

    2. Vérifier, pour cet exemple, la relation :

      $\text{card}(D \cup C) = \text{card}(D) + \text{card}(C) - \text{card}(D \cap C)$

Corrigé

  1. Les données de l'énoncé peuvent être répertoriées dans le tableau suivant :

      dessert pas de dessert total
    café 1 943   2 315
    pas de café      
    total 2 920   3 453

    Il est ensuite facile de compléter le tableau pour obtenir :

      dessert pas de dessert total
    café 1 943 372 2 315
    pas de café 977 161 1 138
    total 2 920 533 3 453

  2. À partir du tableau on déduit que :

    1. 977 personnes ont commandé un dessert mais pas de café.
    2. 372 personnes ont commandé un café mais pas de dessert.
    3. 977 + 372 + 1 943 = 3 292 personnes ont commandé un café ou un dessert (ou les deux).

  3. Soit D l'ensemble des personnes ayant commandé un dessert et C l'ensemble des personnes ayant commandé un café.

      • $D \cap C$ est l'ensemble des personnes ayant commandé un dessert et un café.
      • $D \cup C$ est l'ensemble des personnes ayant commandé un café ou un dessert (ou les deux).

    2. On a $\text{card}(D \cup C) = 3\,292$ (d'après 1.c.)

      $\text{card}(D) + \text{card}(C) - \text{card}(D \cap C) = 2\,920 + 2\,315 - 1\,943 = 3\,292$

      On a donc bien :

      $\text{card}(D \cup C) = \text{card}(D) + \text{card}(C) - \text{card}(D \cap C)$