Calculer la mesure d’un angle

Méthode :

On utilise la trigonométrie lorsqu'on connait deux longueurs dans un triangle rectangle et qu'on cherche la mesure d'un angle aigu.

La méthode est la suivante :

1. Identifier les côtés connus par rapport à l'angle cherché : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé.
2. Choisir le rapport trigonométrique adapté (SOHCAHTOA).
3. Calculer la valeur du rapport.

4. Utiliser la fonction inverse correspondante à la calculatrice (en mode degré) :

   • $ \cos^{-1} $ (ou Arccos) pour le cosinus
   • $ \sin^{-1} $ (ou Arcsin) pour le sinus
   • $ \tan^{-1} $ (ou Arctan) pour la tangente

Exemple 1 : utilisation de la tangente

Soit $ ABC $ un triangle rectangle en $ A $ tel que $ BA = 3{,}9 $cm et $ AC = 7 $cm. Déterminer la mesure de l'angle $ \widehat{ACB} $ arrondie au degré.

Solution :

Par rapport à l'angle $ \widehat{ACB} $ :

• $ [AB] $ est le côté opposé ($ AB = 3{,}9 $ cm)
• $ [AC] $ est le côté adjacent ($ AC = 7 $ cm)

On utilise la tangente :

$ \tan(\widehat{ACB}) = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3{,}9}{7} $

A la calculatrice, on tape $ \tan^{-1}\left(\dfrac{3{,}9}{7}\right) $ :

$ \widehat{ACB} \approx 29^{\circ} $

Exemple 2 : utilisation du sinus

Soit $ KOP $ un triangle rectangle en $ P $ tel que $ OP = 2 $cm et $ KO = 4{,}8 $cm. Déterminer la mesure de l'angle $ \widehat{OKP} $ arrondie au degré.

Solution :

Par rapport à l'angle $ \widehat{OKP} $ :

• $ [KO] $ est l'hypoténuse ($ KO = 4{,}8 $ cm) -- c'est bien le plus grand côté, opposé à l'angle droit

On a besoin d'identifier quel côté est $ [OP] $ par rapport à $ \widehat{OKP} $. Le côté $ [OP] $ est le côté opposé à l'angle $ \widehat{OKP} $.

On utilise le sinus :

$ \sin(\widehat{OKP}) = \dfrac{OP}{KO} = \dfrac{2}{4{,}8} $

A la calculatrice :

$ \widehat{OKP} = \sin^{-1}\left(\dfrac{2}{4{,}8}\right) \approx 25^{\circ} $