Toit en triangle isocèle : chevron et aire des versants
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La façade d'une maison a la forme d'un pentagone. Sa toiture, vue de face, forme un triangle isocèle $ABC$ tel que $AB = AC$ (ce sont les chevrons). La base $[BC]$ mesure $6$ m et la hauteur $[AH]$ du toit (depuis le sommet jusqu'au milieu $H$ de $[BC]$) mesure $2$ m.
- Calculer la longueur $AB$ d'un chevron, arrondie au centimètre.
- La maison mesure $8$ m de long (dans la direction perpendiculaire à la façade). Chaque versant du toit est donc un rectangle de longueur $8$ m et de largeur $AB$.
Calculer l'aire totale des deux versants du toit, arrondie au $\text{m}^2$.
Corrigé
Comme le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, la hauteur $[AH]$ issue de $A$ tombe au milieu de $[BC]$. On a donc $BH = HC = \dfrac{6}{2} = 3$ m.
La hauteur $[AH]$ est perpendiculaire à $[BC]$, donc le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. L'hypoténuse est $[AB]$, le chevron.
D'après le théorème de Pythagore :
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 = 2^2 + 3^2$
$AB^2 = 4 + 9$
$AB^2 = 13$
$AB = \sqrt{13}$À la calculatrice, $\sqrt{13} \approx 3{,}6056$.
Arrondie au centimètre : $AB \approx 3{,}61$ m.
Chaque versant est un rectangle de dimensions $8$ m sur $AB$. L'aire d'un versant est :
$\mathcal{A}_{\text{versant}} = 8 \times AB \approx 8 \times 3{,}6056 \approx 28{,}84 \text{ m}^2$L'aire totale des deux versants est :
$\mathcal{A}_{\text{totale}} = 2 \times \mathcal{A}_{\text{versant}} \approx 2 \times 28{,}84 \approx 57{,}69 \text{ m}^2$Arrondie au $\text{m}^2$ : $\mathbf{\mathcal{A}_{\text{totale}} \approx 58 \text{ m}^2}$.
Pour réviser : Calculer l'hypoténuse.