Maquette d’une pyramide à l’échelle 1/30
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Un musée possède une pyramide à base carrée dont la base mesure $12$ m de côté et la hauteur $9$ m. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule :
où $c$ est le côté de la base et $h$ la hauteur.
Pour la boutique du musée, on réalise une maquette de la pyramide à l'échelle $\dfrac{1}{30}$ : c'est une réduction de la pyramide de coefficient $k = \dfrac{1}{30}$.
- Calculer le volume de la pyramide réelle, en m$^3$.
- Déterminer les dimensions de la maquette : côté de la base et hauteur. Donner les résultats en centimètres.
- Calculer le volume de la maquette, en cm$^3$.
- Vérifier que le volume de la maquette est égal à $k^3$ fois le volume de la pyramide réelle (on rappelle que $1$ m$^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$).
Corrigé
On applique la formule avec $c = 12$ m et $h = 9$ m :
$V = \dfrac{12^2 \times 9}{3} = \dfrac{144 \times 9}{3} = \dfrac{1\,296}{3} = 432$
La pyramide réelle a un volume de $432$ m$^3$.
Lors d'une réduction de coefficient $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $k$.
Côté de la maquette : $12 \times \dfrac{1}{30} = \dfrac{12}{30} = 0{,}4$ m, soit $40$ cm.
Hauteur de la maquette : $9 \times \dfrac{1}{30} = \dfrac{9}{30} = 0{,}3$ m, soit $30$ cm.
La maquette a une base carrée de $40$ cm de côté et une hauteur de $30$ cm.
On applique la formule du volume avec $c = 40$ cm et $h = 30$ cm :
$V_{\text{maquette}} = \dfrac{40^2 \times 30}{3} = \dfrac{1\,600 \times 30}{3} = \dfrac{48\,000}{3} = 16\,000$
Le volume de la maquette vaut $16\,000$ cm$^3$.
Lors d'une réduction de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.
On calcule $V_{\text{réel}} \times k^3$ après avoir converti le volume réel en cm$^3$ :
$V_{\text{réel}} = 432$ m$^3 = 432 \times 1\,000\,000 = 432\,000\,000$ cm$^3$
$V_{\text{réel}} \times k^3 = 432\,000\,000 \times \left(\dfrac{1}{30}\right)^3 = 432\,000\,000 \times \dfrac{1}{27\,000} = \dfrac{432\,000\,000}{27\,000} = 16\,000$ cm$^3$
On retrouve bien le volume de la maquette : la propriété est vérifiée.
Pour réviser : Appliquer un agrandissement ou une réduction