Coordonnées des sommets d’un pavé droit
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Une boîte de rangement a la forme d'un pavé droit $OABCDEFG$ représenté ci-dessous. On choisit le repère $(O \,;\, x, y, z)$ tel que :
- l'arête $[OA]$ porte l'axe des abscisses $(Ox)$
- l'arête $[OC]$ porte l'axe des ordonnées $(Oy)$
- l'arête $[OD]$ porte l'axe des cotes $(Oz)$
Les dimensions de la boîte sont $OA = 6$ cm, $OC = 4$ cm et $OD = 3$ cm.
- Donner les coordonnées des huit sommets du pavé dans ce repère.
- Soit $I$ le milieu de l'arête $[EF]$. Donner les coordonnées de $I$.
- Soit $J$ le centre de la face $BCGF$ (intersection de ses diagonales). Donner les coordonnées de $J$.
Corrigé
Pour trouver les coordonnées d'un sommet, on suit, depuis $O$, les arêtes parallèles aux axes.
- $O(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$
- $A(6 \,;\, 0 \,;\, 0)$
- $B(6 \,;\, 4 \,;\, 0)$
- $C(0 \,;\, 4 \,;\, 0)$
- $D(0 \,;\, 0 \,;\, 3)$
- $E(6 \,;\, 0 \,;\, 3)$
- $F(6 \,;\, 4 \,;\, 3)$
- $G(0 \,;\, 4 \,;\, 3)$
Le point $I$ est le milieu de $[EF]$, avec $E(6 \,;\, 0 \,;\, 3)$ et $F(6 \,;\, 4 \,;\, 3)$. On calcule la moyenne des coordonnées extrêmes :
$x_I = 6$, $y_I = \dfrac{0 + 4}{2} = 2$, $z_I = 3$.
Les coordonnées de $I$ sont $\mathbf{(6 \,;\, 2 \,;\, 3)}$.
La face $BCGF$ est un rectangle de sommets $B(6 \,;\, 4 \,;\, 0)$, $C(0 \,;\, 4 \,;\, 0)$, $G(0 \,;\, 4 \,;\, 3)$ et $F(6 \,;\, 4 \,;\, 3)$. Tous ses sommets ont la même ordonnée $y = 4$ : la face est donc parallèle au plan $(Oxz)$.
Le centre $J$ de cette face est le milieu de la diagonale $[BG]$ :
$x_J = \dfrac{6 + 0}{2} = 3$, $y_J = 4$, $z_J = \dfrac{0 + 3}{2} = 1{,}5$.
Les coordonnées de $J$ sont $\mathbf{(3 \,;\, 4 \,;\, 1{,}5)}$.
Pour réviser : Se repérer dans un pavé droit