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Motifs géométriques et probabilité – Brevet Amérique du Nord 2025

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue

Partie 1 : les motifs

On définit trois scripts :

Script 1 : définir Motif 1, stylo en position d'écriture, répéter 3 fois avancer de 30 pas tourner droite de 120 degrés, relever le stylo
Script 2 : définir Motif 2, stylo en position d'écriture, répéter 6 fois avancer de 30 pas tourner droite de 60 degrés, relever le stylo
Script 3 : définir Motif 3, stylo en position d'écriture, répéter 2 fois avancer de 30 pas puis partie effacée, relever le stylo

  1. Les scripts 1 et 2 permettent chacun d'obtenir un des dessins ci-dessous. Associer chacun des scripts à son dessin.

    Dessin 1 : un hexagone régulier. Dessin 2 : un triangle équilatéral.

  2. Le script 3 permet d'obtenir le losange ci-dessous.
    La partie du script effacée contient les 3 instructions A, B et C ci-dessous.
    Sur votre copie, recopier dans le bon ordre les instructions cachées. Chaque instruction ne doit être utilisée qu'une seule fois.

    Losange avec côtés de 30 pas, angles 120 degrés et 60 degrés, départ en bas à gauche vers la droite
    Instruction A : tourner droite de 60 degrés. Instruction B : tourner droite de 120 degrés. Instruction C : avancer de 30 pas.

Partie 2 : le script principal

Script principal : quand drapeau cliqué, aller à x:-200 y:0, effacer tout, s'orienter à 90, mettre Motif à nombre aléatoire entre 1 et 3, si Motif=3 alors répéter 6 fois Motif 3 avancer de 60 pas, dire Voici le dessin, sinon dire Perdu

Rappels :

  • « nombre aléatoire entre 1 et 3 » donne un nombre entier au hasard parmi 1 ; 2 et 3.
  • « s'orienter à 90 » oriente le lutin horizontalement vers la droite.
  1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?

  2. Parmi les 5 captures d'écran proposées ci-dessous, seules deux sont possibles. Lesquelles ?

    Capture d'écran Résultat
    Capture n°1 Voici le dessin ! (6 losanges en frise, accolés, inclinés)
    Capture n°2 Voici le dessin ! (7 losanges séparés régulièrement)
    Capture n°3 Perdu !
    Capture n°4 Voici le dessin ! (3 losanges séparés)
    Capture n°5 Voici le dessin ! (hexagone formé de 6 losanges)
  3. On clique sur le drapeau vert, et on observe le message affiché.
    Quelle est la probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin ! » ?

  4. On lance de nouveau le programme 100 fois et on regroupe les résultats obtenus dans le tableau suivant :

    Message du lutin « Voici le dessin ! » « Perdu ! »
    Effectif 40 60
    1. Calculer la fréquence de l'affichage « Voici le dessin ! ».
    2. Pourquoi ce résultat est-il différent de celui obtenu à la question 5 ?

Corrigé

Partie 1 : les motifs

  1. Le script 1 répète 3 fois « avancer de 30 pas » et « tourner de 120° ». Comme l'angle extérieur d'un triangle équilatéral vaut $ 120° $, le script 1 trace un triangle équilatéral.

    Le script 2 répète 6 fois « avancer de 30 pas » et « tourner de 60° ». Comme l'angle extérieur d'un hexagone régulier vaut $ 60° $, le script 2 trace un hexagone régulier.

    Donc : le script 1 correspond au dessin 2 (triangle) et le script 2 correspond au dessin 1 (hexagone).

  2. Le losange a deux angles de $ 120° $ et deux angles de $ 60° $.

    Le lutin part vers la droite (orientation 90°). Il avance de 30 pas (premier côté horizontal). Ensuite, il doit tourner pour tracer le côté qui monte : l'angle extérieur est $ 180° - 120° = 60° $, donc il tourne à droite de $ 60° $. Puis il avance de 30 pas. Ensuite, il tourne de $ 120° $ pour le côté qui redescend, puis avance de 30 pas, et enfin tourne de $ 60° $ pour revenir à l'horizontale.

    La boucle « répéter 2 fois » contient déjà « avancer de 30 pas » en première instruction. Les 3 instructions cachées complètent chaque itération.

    L'ordre est : Instruction A (tourner de 60°), Instruction C (avancer de 30 pas), Instruction B (tourner de 120°).

    Le script 3 complet :

    Script 3 complet pour tracer le losange

Partie 2 : le script principal

  1. Le bloc « aller à x : -200 y : 0 » indique les coordonnées du point de départ.

    Les coordonnées du point de départ sont $\mathbf{(-200\,;\,0)}$.

  2. Le programme tire un nombre aléatoire entre 1 et 3 :

    • Si Motif = 3 : le programme trace 6 losanges (Motif 3) en avançant de 60 pas entre chaque losange, et affiche « Voici le dessin ! »
    • Sinon (Motif = 1 ou Motif = 2) : le programme affiche « Perdu ! » sans rien dessiner

    Quand Motif = 3, les 6 losanges sont tracés côte à côte en avançant de 60 pas (soit 2 fois la longueur du côté horizontal du losange, $ 30 \times 2 = 60 $). Cela produit une frise de 6 losanges accolés (capture n°1).

    Quand Motif = 1 ou 2, le programme affiche seulement « Perdu ! » (capture n°3).

    Les deux captures possibles sont la capture n°1 et la capture n°3.

  3. Le nombre aléatoire est tiré parmi 1, 2 et 3 avec la même probabilité pour chaque valeur. Le message « Voici le dessin ! » s'affiche uniquement quand Motif = 3, soit dans 1 cas sur 3.

    La probabilité est $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$.

    1. Sur 100 lancers, le message « Voici le dessin ! » est apparu 40 fois.

      La fréquence est :
      $ \dfrac{40}{100} = 0{,}4 $

      La fréquence d'affichage de « Voici le dessin ! » est $\mathbf{0{,}4}$ (soit $ 40\,\% $).

    2. La probabilité théorique est $ \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 $ alors que la fréquence observée est $ 0{,}4 $. Ces deux valeurs sont différentes car la fréquence est un résultat expérimental : elle dépend du hasard et fluctue d'une série d'expériences à l'autre. Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence tend à se rapprocher de la probabilité théorique.