Utiliser les transformations affines E(aX+b), V(aX+b)
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Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$, de variance $V(X)$ et d'écart-type $\sigma(X)$. Pour tous réels $a$ et $b$, la variable aléatoire $Y = aX + b$ vérifie :
- Étape 1 : identifier les coefficients $a$ et $b$ (coefficient multiplicatif et constante ajoutée).
Étape 2 : appliquer les trois formules
$E(aX + b) = a \, E(X) + b$$V(aX + b) = a^2 \, V(X)$$\sigma(aX + b) = |a| \, \sigma(X)$- Étape 3 : effectuer les calculs en remplaçant par les valeurs connues.
Remarque
Ces formules permettent de transformer rapidement les indicateurs sans avoir à reconstruire la loi de $Y$. Cas particulier important :
- Une translation ($Y = X + b$) ne change ni la variance ni l'écart-type (la dispersion est inchangée).
- Une homothétie ($Y = aX$) multiplie l'écart-type par $|a|$ et la variance par $a^2$.
Changement d'unité
Une variable aléatoire $X$, exprimée en euros, vérifie $E(X) = 12$ et $\sigma(X) = 4$. On définit $Y = 100 X$, exprimée en centimes. Calculer $E(Y)$ et $\sigma(Y)$.
Étape 1 : $Y = a X + b$ avec $a = 100$ et $b = 0$.
Étape 2 : application des formules.
Étape 3 : calculs :
L'espérance et l'écart-type sont, comme attendu, $100$ fois plus grands en centimes qu'en euros.
Combinaison translation et dilatation
Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 5$ et $V(X) = 9$. On pose $Y = -2 X + 7$. Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
Étape 1 : $Y = a X + b$ avec $a = -2$ et $b = 7$.
Étape 2 : application des formules.
Étape 3 : calculs :
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier le carré dans la formule de la variance : $V(aX + b) = \color{red}{a^2}\color{black} V(X)$, et non $a \, V(X)$.
- Oublier la valeur absolue dans la formule de l'écart-type : $\sigma(aX + b) = |a| \, \sigma(X)$ (l'écart-type est positif).
- Conserver le terme $b$ dans la variance : la variance d'une constante est nulle, donc ajouter $b$ ne modifie pas $V$.
- Confondre $a^2 V(X)$ et $(a V(X))^2$.