Dériver un produit de fonctions
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Si $ u $ et $ v $ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $ I $, alors leur produit $ uv $ est dérivable sur $ I $ et :
Pour dériver un produit :
- Étape 1 : identifier les deux facteurs $ u\left(x\right) $ et $ v\left(x\right) $.
- Étape 2 : calculer $ u^{\prime}\left(x\right) $ et $ v^{\prime}\left(x\right) $.
- Étape 3 : appliquer la formule $ \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} $.
- Étape 4 : développer et réduire pour obtenir une expression simple de $ f^{\prime}\left(x\right) $.
Produit de deux polynômes
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x^{2}-3\right) $
Étape 1 : on pose $ u\left(x\right)=2x+1 $ et $ v\left(x\right)=x^{2}-3 $.
Étape 2 : on calcule les dérivées.
$ u^{\prime}\left(x\right)=2 $
$ v^{\prime}\left(x\right)=2x $
Étape 3 : on applique la formule.
$ f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right) $
$ f^{\prime}\left(x\right)=2\left(x^{2}-3\right)+\left(2x+1\right)\times 2x $
Étape 4 : on développe et on réduit.
$ f^{\prime}\left(x\right)=2x^{2}-6+4x^{2}+2x $
Produit avec une racine carrée
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \left]0\,;\,+\infty \right[ $ par :
$ f\left(x\right)=x\sqrt{x} $
Étape 1 : on pose $ u\left(x\right)=x $ et $ v\left(x\right)=\sqrt{x} $.
Étape 2 :
$ u^{\prime}\left(x\right)=1 $
$ v^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} $
Étape 3 :
$ f^{\prime}\left(x\right)=1\times \sqrt{x}+x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}} $
Étape 4 : on simplifie $ \dfrac{x}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}\times \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{2} $.
$ f^{\prime}\left(x\right)=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{2}=\dfrac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}}{2} $
Remarque
Quand le produit est constitué de deux polynômes simples, il est parfois plus rapide de développer puis de dériver comme un polynôme. Les deux méthodes donnent le même résultat.
Sur l'exemple 1, en développant d'abord : $ f\left(x\right)=2x^{3}+x^{2}-6x-3 $, donc $ f^{\prime}\left(x\right)=6x^{2}+2x-6 $. On retrouve le même résultat.
Attention
Ne jamais écrire $ \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v^{\prime} $ : c'est l'erreur la plus classique.
Bien placer les deux termes $ u^{\prime}v $ et $ uv^{\prime} $ avec le signe $ + $ entre eux.