QCM Bilan : Orthogonalité dans l’espace
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Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : produit scalaire et orthogonalité, vecteur normal et équation cartésienne, projeté orthogonal et distance d'un point à un plan. Choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit le plan $\mathscr P : 2x + y - 2z + 5 = 0$ et le point $A(1~;~2~;~-1)$. Quelle est la distance de $A$ à $\mathscr P$ ?
- (Correct) $\dfrac{11}{3}$
- (Incorrect) $11$
- (Incorrect) $\dfrac{11}{9}$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{3}$
Question 2 : On considère un cube $ABCDEFGH$. La droite $(AE)$ est-elle perpendiculaire au plan $(ABC)$ ?
- (Incorrect) Oui, car $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$
- (Incorrect) Non, car $\overrightarrow{AE}$ ne joint pas deux points du plan $(ABC)$
- (Incorrect) On ne peut pas conclure sans coordonnées numériques
- (Correct) Oui, car $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, deux vecteurs directeurs sécants du plan $(ABC)$
Question 3 : On donne $A(1~;~0~;~0)$, $B(0~;~2~;~0)$ et $C(0~;~0~;~3)$. Quelle est une équation cartésienne du plan $(ABC)$ ?
- (Incorrect) $x + 2y + 3z - 6 = 0$
- (Correct) $6x + 3y + 2z - 6 = 0$
- (Incorrect) $6x + 3y + 2z = 0$
- (Incorrect) $x + y + z - 6 = 0$
Question 4 : Soit le plan $\mathscr P : x + y + z = 0$ et $A(1~;~1~;~1)$. Quelle est la distance de $A$ à $\mathscr P$ ?
- (Incorrect) $3$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
- (Correct) $\sqrt{3}$
- (Incorrect) $\sqrt{6}$
Question 5 : Soit la droite $d$ passant par $A(0~;~1~;~-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1~;~-1~;~2)$, et le plan $\mathscr P : 2x + y - z + 3 = 0$. Quelle est la position relative de $d$ et $\mathscr P$ ?
- (Incorrect) Parallèle à $\mathscr P$ et non incluse
- (Incorrect) Incluse dans $\mathscr P$
- (Incorrect) Perpendiculaire à $\mathscr P$
- (Correct) Sécante à $\mathscr P$ mais non perpendiculaire
Question 6 : Dans un repère orthonormé, soit $A(2~;~1~;~-1)$ et le vecteur $\vec{n}(1~;~-1~;~m)$. Pour quelle valeur de $m$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ contient-il le point $B(0~;~3~;~1)$ ?
- (Correct) $m = 2$
- (Incorrect) $m = -2$
- (Incorrect) $m = 4$
- (Incorrect) $m = 0$