Résoudre une inéquation avec la fonction carré
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Un jardinier dispose d'un terrain carré de côté $6$ m. Il souhaite y inscrire un massif circulaire dont l'aire ne dépasse pas $20$ m$^2$.
On note $r$ le rayon du cercle, en mètres, avec $r > 0$.
On cherche à déterminer les valeurs possibles de $r$.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Étape 1 : L'aire du massif circulaire vaut $\pi r^2$. La contrainte sur l'aire se traduit par l'inéquation :
- (Incorrect) $\pi r^2 \geqslant 20$
- (Correct) $\pi r^2 \leqslant 20$
- (Incorrect) $r^2 \leqslant 20$
Étape 2 : En divisant les deux membres par $\pi$, l'inéquation $\pi r^2 \leqslant 20$ devient $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$.
Donner une valeur approchée de $\dfrac{20}{\pi}$ arrondie au dixième.
$\dfrac{20}{\pi} \approx $ [[val]]
Donner une valeur approchée de $\dfrac{20}{\pi}$ arrondie au dixième.
$\dfrac{20}{\pi} \approx $ [[val]]
Étape 3 : On doit donc résoudre $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$ avec $\dfrac{20}{\pi} > 0$.
Comment résoudre cette inéquation ?
Comment résoudre cette inéquation ?
- (Incorrect) Les solutions sont $r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$
- (Correct) Les solutions sont $-\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \leqslant r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$
- (Incorrect) Les solutions sont $r \geqslant -\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$
Étape 4 : Calculer $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$ arrondie au centième.
$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx $ [[rac]]
$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx $ [[rac]]
Étape 5 : Les solutions de $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$ sont $r \in \left[-\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}~;~\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}\right]$.
Mais $r$ est un rayon, donc $r > 0$. De plus, le massif doit tenir dans le terrain carré de côté $6$ m, donc $r \leqslant 3$.
En tenant compte de ces contraintes, donner la borne supérieure de l'intervalle des valeurs possibles de $r$, arrondie au centième.
$r \in \left]0~;~\right.$ [[bsup]] $\left.\right]$
Mais $r$ est un rayon, donc $r > 0$. De plus, le massif doit tenir dans le terrain carré de côté $6$ m, donc $r \leqslant 3$.
En tenant compte de ces contraintes, donner la borne supérieure de l'intervalle des valeurs possibles de $r$, arrondie au centième.
$r \in \left]0~;~\right.$ [[bsup]] $\left.\right]$