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Première ES/L

Cours

Suites arithmétiques et géométriques

I – Suites arithmétiques

Définition

On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que :

pour tout n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+r

Le réel r s’appelle la raison de la suite arithmétique.

Remarque

Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est arithmétique, on pourra calculer la différence u_{n+1}-u_{n}.

Si on constate que la différence est une constante r, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison r.

Exemple

Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=3n+5.

u_{n+1}-u_{n}=3\left(n+1\right)+5-\left(3n+5\right)=3

La suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r=3

Propriété

Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite \left(u_{n}\right) est arithmétique de raison r alors

u_{n}=u_{k}+\left(n-k\right)\times r

En particulier pour k=0 :

u_{n}=u_{0}+n\times r

Exemple

Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique de premier terme u_{0}=500 et de raison r=3.

La formule précédente permet de calculer directement u_{100} (par exemple) :

u_{100}=u_{0}+100\times r=500+100\times 3=800

Propriété

Réciproquement, si a et b sont deux nombres réels et si la suite \left(u_{n}\right) est définie par u_{n}=a\times n+b alors cette suite est une suite arithmétique de raison r=a et de premier terme u_{0}=b.

Démonstration

u_{n+1}-u_{n}=a\left(n+1\right)+b-\left(an+b\right)=an+a+b-an-b=a

et

u_{0}=a\times 0+b=b

Propriété

Les points de coordonnées \left(n; u_{n}\right) représentant une suite arithmétique \left(u_{n}\right) sont alignés.

Exemple

Le graphique ci-dessous représente les premiers termes de la suite arithmétique de raison r=0,5 et de premier terme u_{0}=-1.

suite arithmétique de raison positive

Suite arithmétique de raison r=0,5 et de premier terme u_{0}=-1

Théorème

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r :

  • si r > 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement croissante

  • si r=0 alors \left(u_{n}\right) est constante

  • si r < 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement décroissante.

Exemples

  • Le graphique de la partie II (ci-dessus) représente les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r=0,5 positive. Cette suite est croissante.

  • Le graphique ci-dessous représente les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r=-1 négative. Cette suite est décroissante.

    suite arithmétique de raison négative

    Suite arithmétique de raison r=-1 et de premier terme u_{0}=3

II – Suites géométriques

Définition

On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout n \in \mathbb{N} :

u_{n+1}=q \times u_{n}

Le réel q s’appelle la raison de la suite géométrique \left(u_{n}\right).

Remarque

Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right) dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport \frac{u_{n+1}}{u_{n}}.

Si ce rapport est une constante q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison q.

Exemple

Bien revoir les règles de calcul sur les puissances qui servent énormément pour les suites géométriques

Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=\frac{3}{2^{n}}.

Les termes de la suite sont tous strictement positifs et

\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3}{2^{n+1}}\times \frac{2^{n}}{3}=\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=\frac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\frac{1}{2}

La suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison \frac{1}{2}

Propriété

Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite \left(u_{n}\right) est géométrique de raison q

u_{n}=u_{k}\times q^{n-k}.

En particulier pour k=0

u_{n}=u_{0}\times q^{n}.

Propriété

Réciproquement, soient a et b deux nombres réels. La suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q=b et de premier terme u_{0}=a.

Démonstration

u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b

\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique de raison q.

Le premier terme est

u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a

Théorème

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme strictement positif :

  • Si q > 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante

  • Si 0 < q < 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante

  • Si q=1, la suite \left(u_{n}\right) est constante

Exemples

Suites géométriques et raison

  • La figure 1 représente une suite géométrique de raison q=1,5 > 1

  • La figure 2 représente une suite géométrique de raison q=0,5 < 1

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