I – Suites arithmétiques
Définition
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que :
pour tout n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+r
Le réel r s’appelle la raison de la suite arithmétique.
Remarque
Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est arithmétique, on pourra calculer la différence u_{n+1}-u_{n}.
Si on constate que la différence est une constante r, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison r.
Exemple
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=3n+5.
u_{n+1}-u_{n}=3\left(n+1\right)+5-\left(3n+5\right)=3
La suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r=3
Propriété
Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite \left(u_{n}\right) est arithmétique de raison r alors
En particulier pour k=0 :
Exemple
Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique de premier terme u_{0}=500 et de raison r=3.
La formule précédente permet de calculer directement u_{100} (par exemple) :
u_{100}=u_{0}+100\times r=500+100\times 3=800
Propriété
Réciproquement, si a et b sont deux nombres réels et si la suite \left(u_{n}\right) est définie par u_{n}=a\times n+b alors cette suite est une suite arithmétique de raison r=a et de premier terme u_{0}=b.
Démonstration
u_{n+1}-u_{n}=a\left(n+1\right)+b-\left(an+b\right)=an+a+b-an-b=aet
u_{0}=a\times 0+b=b
Propriété
Les points de coordonnées \left(n; u_{n}\right) représentant une suite arithmétique \left(u_{n}\right) sont alignés.
Exemple
Le graphique ci-dessous représente les premiers termes de la suite arithmétique de raison r=0,5 et de premier terme u_{0}=-1.
Suite arithmétique de raison r=0,5 et de premier terme u_{0}=-1
Théorème
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r :
si r > 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement croissante
si r=0 alors \left(u_{n}\right) est constante
si r < 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
Exemples
Le graphique de la partie II (ci-dessus) représente les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r=0,5 positive. Cette suite est croissante.
Le graphique ci-dessous représente les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r=-1 négative. Cette suite est décroissante.
Suite arithmétique de raison r=-1 et de premier terme u_{0}=3
II – Suites géométriques
Définition
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout n \in \mathbb{N} :
Le réel q s’appelle la raison de la suite géométrique \left(u_{n}\right).
Remarque
Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right) dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport \frac{u_{n+1}}{u_{n}}.
Si ce rapport est une constante q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison q.
Exemple
Bien revoir les règles de calcul sur les puissances qui servent énormément pour les suites géométriques
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=\frac{3}{2^{n}}.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3}{2^{n+1}}\times \frac{2^{n}}{3}=\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=\frac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\frac{1}{2}
La suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison \frac{1}{2}
Propriété
Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite \left(u_{n}\right) est géométrique de raison q
u_{n}=u_{k}\times q^{n-k}.
En particulier pour k=0
u_{n}=u_{0}\times q^{n}.
Propriété
Réciproquement, soient a et b deux nombres réels. La suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q=b et de premier terme u_{0}=a.
Démonstration
u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique de raison q.
Le premier terme est
u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a
Théorème
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme strictement positif :
Si q > 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante
Si 0 < q < 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante
Si q=1, la suite \left(u_{n}\right) est constante
Exemples
La figure 1 représente une suite géométrique de raison q=1,5 > 1
La figure 2 représente une suite géométrique de raison q=0,5 < 1
