I – Suites arithmétiques
Définition
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que :
pour tout n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+r
Le réel r s’appelle la raison de la suite arithmétique.
Remarque
Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est arithmétique, on pourra calculer la différence u_{n+1}-u_{n}.
Si on constate que la différence est une constante r, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison r.
Exemple
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=3n+5.
u_{n+1}-u_{n}=3\left(n+1\right)+5-\left(3n+5\right)=3
La suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r=3
Propriété
Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite \left(u_{n}\right) est arithmétique de raison r alors
u_{n}=u_{k}+\left(n-k\right)\times r
En particulier pour k=0 :
u_{n}=u_{0}+n\times r
Exemple
Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique de premier terme u_{0}=500 et de raison r=3.
La formule précédente permet de calculer directement u_{100} (par exemple) :
u_{100}=u_{0}+100\times r=500+100\times 3=800
Propriété
Réciproquement, si a et b sont deux nombres réels et si la suite \left(u_{n}\right) est définie par u_{n}=a\times n+b alors cette suite est une suite arithmétique de raison r=a et de premier terme u_{0}=b.
Démonstration
u_{n+1}-u_{n}=a\left(n+1\right)+b-\left(an+b\right)=an+a+b-an-b=a
et
u_{0}=a\times 0+b=b
Propriété
Les points de coordonnées \left(n; u_{n}\right) représentant une suite arithmétique \left(u_{n}\right) sont alignés.
Exemple
Le graphique ci-dessous représente les premiers termes de la suite arithmétique de raison r=0,5 et de premier terme u_{0}=-1.
Théorème
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r :
- si r > 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement croissante
- si r=0 alors \left(u_{n}\right) est constante
- si r < 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
Exemples
- Le graphique de la partie II (ci-dessus) représente les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r=0,5 positive. Cette suite est croissante.
- Le graphique ci-dessous représente les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r=-1 négative. Cette suite est décroissante.
II – Suites géométriques
Définition
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout n \in \mathbb{N} :
u_{n+1}=q \times u_{n}
Le réel q s’appelle la raison de la suite géométrique \left(u_{n}\right).
Remarque
Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right) dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport \frac{u_{n+1}}{u_{n}}.
Si ce rapport est une constante q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison q.
Exemple
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=\frac{3}{2^{n}}.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3}{2^{n+1}}\times \frac{2^{n}}{3}=\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=\frac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\frac{1}{2}
La suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison \frac{1}{2}
Propriété
Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite \left(u_{n}\right) est géométrique de raison q
u_{n}=u_{k}\times q^{n-k}.
En particulier pour k=0
u_{n}=u_{0}\times q^{n}.
Propriété
Réciproquement, soient a et b deux nombres réels. La suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q=b et de premier terme u_{0}=a.
Démonstration
u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b
\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique de raison q.
Le premier terme est
u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a
Théorème
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme strictement positif :
- Si q > 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante
- Si 0 < q < 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante
- Si q=1, la suite \left(u_{n}\right) est constante
Exemples
 Figure 1 |  Figure 2 |
- La figure 1 représente une suite géométrique de raison q=1,5 > 1
- La figure 2 représente une suite géométrique de raison q=0,5 < 1
