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Parallélisme et position relative de deux droites

On se place dans un repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $ et on considère les trois droites :

  • $ d_{1} $ d'équation $ 3x - 2y+1=0 $ ;
  • $ d_{2} $ d'équation $ 6x - 4y - 5=0 $ ;
  • $ d_{3} $ d'équation $ x+2y - 7=0 $.
  1. Montrer que les droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont parallèles.
  2. Les droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont-elles confondues ?
  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $ d_{1} $ et $ d_{3} $.

Corrigé

Les droites d1, d2 strictement parallèles et d3 sécante à d1 en I

  1. Un vecteur directeur d'une droite d'équation $ ax+by+c=0 $ est $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $. Donc :

    • $ \vec{u_{1}}\left(2 ; 3\right) $ est un vecteur directeur de $ d_{1} $ ;
    • $ \vec{u_{2}}\left(4 ; 6\right) $ est un vecteur directeur de $ d_{2} $.

    On teste la colinéarité de $ \vec{u_{1}} $ et $ \vec{u_{2}} $ :
    $ xy^{\prime} - x^{\prime}y = 2\times 6 - 4\times 3 = 12 - 12 = 0 $
    Les vecteurs $ \vec{u_{1}} $ et $ \vec{u_{2}} $ sont colinéaires, donc les droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont parallèles.

  2. Il suffit de prouver qu'un point de $ d_{1} $ n'appartient pas à $ d_{2} $.
    Pour $ x=1 $, l'équation de $ d_{1} $ donne $ 3 - 2y+1=0 $, soit $ y=2 $. Le point $ A\left(1 ; 2\right) $ appartient donc à $ d_{1} $.
    On teste si $ A\left(1 ; 2\right) $ appartient à $ d_{2} $ :
    $ 6\times 1 - 4\times 2 - 5= 6 - 8 - 5 = -7\neq 0 $
    Donc $ A $ n'appartient pas à $ d_{2} $. Les droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ ne sont pas confondues : elles sont strictement parallèles.

  3. Les vecteurs directeurs $ \vec{u_{1}}\left(2 ; 3\right) $ et $ \vec{u_{3}}\left(-2 ; 1\right) $ vérifient $ 2\times 1 - \left(-2\right)\times 3 = 2+6 = 8\neq 0 $. Ils ne sont pas colinéaires, donc $ d_{1} $ et $ d_{3} $ sont sécantes.
    Les coordonnées $ \left(x ; y\right) $ du point d'intersection $ I $ sont solutions du système :
    $ \left\{ \begin{matrix} 3x - 2y+1=0 \\ x+2y - 7=0 \end{matrix}\right. $
    En additionnant les deux équations, on élimine $ y $ :
    $ 4x - 6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} $
    En reportant dans la deuxième équation :
    $ \dfrac{3}{2}+2y - 7=0 \Leftrightarrow 2y=\dfrac{11}{2} \Leftrightarrow y=\dfrac{11}{4} $
    Les coordonnées du point d'intersection sont donc :

    $\mathbf{I\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{11}{4}\right)}$

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur

Équations cartésiennes – Applications directes

On se place dans un repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $ d_{1} $ passant par le point $ A\left(3 ; -2\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(4 ; 1\right) $.
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $ d_{2} $ passant par les points $ B\left(-1 ; 5\right) $ et $ C\left(3 ; 2\right) $.
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $ d_{3} $ passant par le point $ D\left(-2 ; 4\right) $ et parallèle à la droite $ \Delta $ d'équation $ 2x - 3y+7=0 $.

Corrigé

  1. Une équation cartésienne de la droite passant par $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(\alpha ; \beta\right) $ est de la forme $ \beta\left(x - x_{A}\right) - \alpha\left(y - y_{A}\right)=0 $.
    Avec $ A\left(3 ; -2\right) $ et $ \vec{u}\left(4 ; 1\right) $, on obtient :
    $ 1\times\left(x - 3\right) - 4\times\left(y - \left(-2\right)\right)=0 $
    $ x - 3 - 4y - 8=0 $
    Une équation cartésienne de $ d_{1} $ est donc :

    $\mathbf{x - 4y - 11=0}$

  2. Les points $ B $ et $ C $ appartiennent à $ d_{2} $, donc $ \overrightarrow{BC} $ est un vecteur directeur de $ d_{2} $. Ses coordonnées sont :
    $ \overrightarrow{BC}\left(x_{C} - x_{B} ; y_{C} - y_{B}\right)=\left(4 ; -3\right) $
    On applique la formule précédente avec $ B\left(-1 ; 5\right) $ et $ \overrightarrow{BC}\left(4 ; -3\right) $ :
    $ -3\times\left(x - \left(-1\right)\right) - 4\times\left(y - 5\right)=0 $
    $ -3x - 3 - 4y+20=0 $
    $ -3x - 4y+17=0 $
    Soit, en multipliant par $ -1 $ :

    $\mathbf{3x+4y - 17=0}$

  3. Un vecteur directeur de la droite $ \Delta $ d'équation $ 2x - 3y+7=0 $ est $ \vec{v}\left(-b ; a\right)=\left(3 ; 2\right) $.
    Comme $ d_{3} $ est parallèle à $ \Delta $, ces deux droites ont les mêmes vecteurs directeurs. Le vecteur $ \vec{v}\left(3 ; 2\right) $ est donc aussi un vecteur directeur de $ d_{3} $.
    On applique la formule avec $ D\left(-2 ; 4\right) $ et $ \vec{v}\left(3 ; 2\right) $ :
    $ 2\times\left(x - \left(-2\right)\right) - 3\times\left(y - 4\right)=0 $
    $ 2x+4 - 3y+12=0 $
    Une équation cartésienne de $ d_{3} $ est donc :

    $\mathbf{2x - 3y+16=0}$

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points

[ROC] Équation cartésienne – Vecteur directeur

Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :

Si $ d $ est une droite d'équation $ ax+by+c=0 $, le vecteur $ \vec{u} $ de coordonnées $ \left(-b ; a\right) $ est un vecteur directeur de la droite $ d $.

Dans le plan, muni d'un repère $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $, on considère la droite $ d $ d'équation $ ax+by+c=0 $ et $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ un point de $ d $.

  1. Montrer que le point $ B $ de coordonnées $ \left(x_{A} - b ; y_{A}+a\right) $ appartient à la droite $ d $.
  2. En déduire que le vecteur $ \vec{u}\left( - b ; a\right) $ est un vecteur directeur de $ d $.

Corrigé

  1. Le point $ A $ appartient à la droite $ d $ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $ d $, c'est-à-dire que $ ax_{A}+by_{A}+c=0 $.

    Posons $ x_{B}=x_{A} - b $ et $ y_{B} = y_{A}+a $. Alors :

    $ ax_{B}+by_{B}+c=a\left(x_{A} - b\right)+b\left(y_{A}+a\right)+c=ax_{A} - ab+by_{A}+ab+c=ax_{A}+by_{A}+c=0 $

    Par conséquent, le point $ B $ appartient également à la droite $ d $.

  2. Comme $ A $ et $ B $ appartiennent à la droite $ d $, le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est un vecteur directeur de $ d $.

    Or les coordonnées de $ \overrightarrow{AB} $ sont $ \left(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A}\right)=\left(-b ; a\right) $, ce qui prouve le résultat demandé : $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $ est un vecteur directeur de $ d $.

Pour réviser : Trouver un vecteur directeur d'une droite donnée par une équation cartésienne

Lire vecteur directeur et équation réduite (5 cas)

Pour chacune des droites dont une équation est donnée ci-dessous, déterminer :

  • un vecteur directeur
  • l'équation réduite
  • le coefficient directeur
  1. $ x - y+1=0 $
  2. $ x+2y=0 $
  3. $ 4x - 2y+5=0 $
  4. $ 3y+1=0 $
  5. $ - x+1=0 $

Corrigé

  1. Vecteur directeur : $\mathbf{\vec{u}\left(1 ; 1\right)}$ (voir cours)

    Équation réduite : $\mathbf{y=x+1}$

    Coefficient directeur : $\mathbf{a=1}$

  2. Vecteur directeur : $\mathbf{\vec{u}\left(-2 ; 1\right)}$

    Équation réduite : $\mathbf{y=-\dfrac{x}{2}}$

    Coefficient directeur : $\mathbf{a=-\dfrac{1}{2}}$

  3. Vecteur directeur : $\mathbf{\vec{u}\left(2 ; 4\right)}$ (ou $ \vec{u}\left(1 ; 2\right) $, ou tout autre vecteur colinéaire)

    Équation réduite : $\mathbf{y=2x+\dfrac{5}{2}}$

    Coefficient directeur : $\mathbf{a=2}$

  4. Vecteur directeur : $\mathbf{\vec{u}\left(3 ; 0\right)}$ (ou $ \vec{u}\left(1 ; 0\right) $, ...)

    Équation réduite : $\mathbf{y=-\dfrac{1}{3}}$

    Coefficient directeur : $\mathbf{a=0}$

  5. Vecteur directeur : $\mathbf{\vec{u}\left(0 ; 1\right)}$ (ou $ \vec{u}\left(0 ; -1\right) $, ...)

    Équation : $\mathbf{x=1}$

    Il n'y a pas de coefficient directeur (droite parallèle à l'axe des ordonnées).

Remarque : pour le vecteur directeur, il y a, à chaque question, une infinité de réponses possibles...

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur