Probabilités dans une urne : réunion d’issues et événement contraire

[enonce]
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher :

4 boules rouges
3 boules vertes
2 boules bleues
1 boule jaune

On tire une boule au hasard dans l'urne. On souhaite déterminer plusieurs probabilités liées à la couleur de la boule tirée. Toutes les réponses seront données sous forme de fraction irréductible.
[/enonce]

[etape]
Combien d'issues différentes cette expérience aléatoire comporte-t-elle ? [[nb]]

[math id="nb" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque boule de l'urne est une issue possible du tirage. Comme l'urne contient $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ boules, il y a 10 issues.[/reponse]
[reponse motif="4"]Il n'y a pas 4 issues. Compter toutes les boules de l'urne, pas seulement les boules d'une seule couleur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Une issue correspond à une boule tirée. Additionner le nombre de boules de chaque couleur.[/reponse]
[aide essai="2"]Le nombre d'issues est le nombre total de boules présentes dans l'urne.[/aide]
[aide essai="3"]Additionner les quantités de chaque couleur : $4 + 3 + 2 + 1$.[/aide]
[/math]

[solution]
Il y a $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ boules, donc 10 issues.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la probabilité de tirer une boule rouge. [[pr]]

[math id="pr" attendu="\frac{2}{5}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Il y a 4 boules rouges sur 10 boules au total :

$P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est juste, mais la fraction peut encore être simplifiée. Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="\frac{4}{6}"]Attention au dénominateur : il correspond au nombre total de boules de l'urne, pas au nombre de boules d'une autre couleur.[/reponse]
[reponse motif="\frac{10}{4}"]La fraction est inversée. Le nombre d'issues favorables se place au numérateur (en haut), le nombre total d'issues au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Compter les boules favorables, puis diviser par le nombre total d'issues trouvé à l'étape précédente. Penser à simplifier.[/reponse]
[aide essai="2"]La probabilité est le nombre de boules rouges divisé par le nombre total de boules.[/aide]
[aide essai="3"]Écrire $\dfrac{4}{10}$, puis simplifier en divisant le haut et le bas par 2.[/aide]
[/math]

[solution]
$P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'événement « tirer une boule verte ou une boule bleue ». Déterminer sa probabilité. [[pvb]]

[math id="pvb" attendu="\frac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une boule ne peut pas être à la fois verte et bleue : ces deux événements sont incompatibles. On additionne donc le nombre de boules favorables, soit $3 + 2 = 5$ boules sur 10 :

$P(\text{verte ou bleue}) = \dfrac{3 + 2}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est correcte, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier au maximum.[/reponse]
[reponse motif="\frac{6}{10}"]Vérifier le décompte : recompter les boules vertes puis les boules bleues, et additionner ces deux quantités.[/reponse]
[reponse motif="\frac{5}{20}"]Le dénominateur reste le nombre total d'issues. On ne double pas le nombre de boules de l'urne parce qu'il y a deux couleurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les deux couleurs ne peuvent pas sortir en même temps : additionner les boules favorables des deux couleurs, puis diviser par le total.[/reponse]
[aide essai="2"]L'événement est réalisé par toutes les boules vertes et toutes les boules bleues. Combien cela fait-il de boules favorables ?[/aide]
[aide essai="3"]Il y a $3 + 2 = 5$ boules favorables sur 10. Écrire la fraction puis la simplifier.[/aide]
[/math]

[solution]
$P(\text{verte ou bleue}) = \dfrac{3 + 2}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On note $J$ l'événement « tirer la boule jaune ». Quel est l'événement contraire $\overline{J}$ ?

[qcm]
[option]Tirer une boule rouge[/option]
[option correct="true"]Ne pas tirer la boule jaune[/option]
[option]Tirer une boule d'une autre couleur que rouge[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'événement contraire est réalisé exactement quand $J$ ne l'est pas. Comme $J$ signifie « tirer la boule jaune », son contraire est « ne pas tirer la boule jaune ».[/reponse]
[reponse motif="Tirer une boule rouge"]Le contraire d'un événement regroupe toutes les issues qui ne réalisent pas $J$, pas seulement les boules d'une couleur particulière.[/reponse]
[reponse motif="Tirer une boule d'une autre couleur que rouge"]Le contraire se définit par rapport à l'événement $J$ (la boule jaune), et non par rapport à la couleur rouge.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'événement contraire est réalisé dans tous les cas où $J$ ne l'est pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'événement contraire de « tirer la boule jaune » est « ne pas tirer la boule jaune ».
[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la probabilité de ne pas tirer la boule jaune. [[pnj]]

[math id="pnj" attendu="\frac{9}{10}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Il n'y a qu'une seule boule jaune, donc $P(J) = \dfrac{1}{10}$. En utilisant l'événement contraire :

$P(\overline{J}) = 1 - P(J) = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$

[/reponse]
[reponse motif="\frac{1}{10}"]C'est la probabilité de tirer la boule jaune, c'est-à-dire celle de l'événement $J$ lui-même. Ici on cherche son contraire.[/reponse]
[reponse motif="\frac{10}{9}"]Une probabilité ne peut pas dépasser 1. Reprendre la soustraction $1 - P(J)$.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur trouvée est correcte, mais la fraction n'est pas écrite sous sa forme la plus simple. La simplifier au maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Passer par l'événement contraire : retrancher à 1 la probabilité de tirer la boule jaune.[/reponse]
[aide essai="2"]Utiliser la relation entre un événement et son contraire : leur somme des probabilités vaut 1.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer d'abord $P(J)$ (une boule jaune sur 10), puis effectuer $1 - P(J)$.[/aide]
[/math]

[solution]
$P(J) = \dfrac{1}{10}$, donc $P(\overline{J}) = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner la probabilité de tirer une boule rouge ou verte. [[prv]]

[math id="prv" attendu="\frac{7}{10}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Le contraire de « rouge ou verte » est « bleue ou jaune », réalisé par $2 + 1 = 3$ boules. Donc :

$P(\text{rouge ou verte}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$

On retrouve bien le décompte direct : $4 + 3 = 7$ boules favorables sur 10.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{10}"]C'est la probabilité de l'événement contraire (boule bleue ou jaune), pas celle de l'événement demandé. Il reste une soustraction à effectuer.[/reponse]
[reponse motif="\frac{12}{10}"]Une probabilité ne peut pas dépasser 1. Ne pas additionner directement : repérer l'événement contraire, puis retrancher sa probabilité à 1.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur trouvée est correcte, mais la fraction n'est pas écrite sous sa forme la plus simple. La simplifier au maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Déterminer d'abord quelles couleurs forment l'événement contraire, calculer sa probabilité, puis la retrancher à 1.[/reponse]
[aide essai="2"]Quelles boules ne sont ni rouges ni vertes ? Leur ensemble forme l'événement contraire.[/aide]
[aide essai="3"]L'événement contraire est « bleue ou jaune », soit $2 + 1 = 3$ boules. Effectuer ensuite $1 - \dfrac{3}{10}$.[/aide]
[/math]

[solution]
Le contraire de « rouge ou verte » est « bleue ou jaune » : $P = \dfrac{2 + 1}{10} = \dfrac{3}{10}$.
Donc $P(\text{rouge ou verte}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$.
[/solution]
[/etape]

Composition d’une urne à partir des probabilités

Une urne opaque contient $ 60 $ boules indiscernables au toucher, de trois couleurs : rouges, vertes et bleues. On tire au hasard une boule de l'urne et on regarde sa couleur.

On sait que :

la probabilité de tirer une boule rouge vaut $ \dfrac{2}{5} $ ;
la probabilité de tirer une boule verte vaut $ 25\,\% $.

Combien de boules rouges contient l'urne ?
Combien de boules vertes contient l'urne ?
Calculer la probabilité de tirer une boule bleue. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.
En déduire le nombre de boules bleues de l'urne. Vérifier la cohérence avec la composition totale.
On note $ R $ l'événement « Tirer une boule rouge » et $ V $ l'événement « Tirer une boule verte ».
1. Les événements $ R $ et $ V $ sont-ils incompatibles ? Justifier.
2. Calculer $ P(R \text{ ou } V) $ de deux manières différentes.

Corrigé

Les boules sont indiscernables au toucher : les $ 60 $ issues sont équiprobables, donc le nombre de boules rouges est égal à $ 60 \times P(\text{rouge}) $.
$ 60 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{60 \times 2}{5} = \dfrac{120}{5} = 24 $
L'urne contient $ 24 $ boules rouges.
De la même manière, le nombre de boules vertes vaut :
$ 60 \times 25\,\% = 60 \times 0{,}25 = 15 $
L'urne contient $ 15 $ boules vertes.
La somme des probabilités des trois couleurs vaut $ 1 $. Avec $ P(\text{rouge}) = \dfrac{2}{5} $ et $ P(\text{verte}) = \dfrac{1}{4} $ :
$ P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{4} $
On réduit au même dénominateur $ 20 $ :
$ P(\text{bleue}) = \dfrac{20}{20} - \dfrac{8}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{7}{20} $
Cette fraction est déjà irréductible. Sous forme de pourcentage : $ P(\text{bleue}) = \dfrac{35}{100} = 35\,\% $.
La probabilité de tirer une boule bleue est $\mathbf{\dfrac{7}{20}}$, soit $\mathbf{35\,\%}$.
Le nombre de boules bleues vaut :
$ 60 \times \dfrac{7}{20} = \dfrac{60 \times 7}{20} = \dfrac{420}{20} = 21 $
L'urne contient $ 21 $ boules bleues.
Vérification : $ 24 + 15 + 21 = 60 $, ce qui correspond bien au nombre total de boules.
1. Une boule tirée a une seule couleur : elle ne peut pas être à la fois rouge et verte. Les événements $ R $ et $ V $ sont donc incompatibles.
2. Première méthode (somme des probabilités, événements incompatibles) :
  $ P(R \text{ ou } V) = P(R) + P(V) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20} $
  
  Deuxième méthode (événement contraire) : « Tirer une boule rouge ou verte » est l'événement contraire de « Tirer une boule bleue ».
  $ P(R \text{ ou } V) = 1 - P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{7}{20} = \dfrac{13}{20} $
  
  Les deux méthodes donnent le même résultat : $ P(R \text{ ou } V)$ = $\mathbf{\dfrac{13}{20}}$.

Pour réviser : Calculer la probabilité d'un événement.

Tirage dans un jeu de 32 cartes

On tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de $ 32 $ cartes. Ce jeu est composé de quatre couleurs ($ 8 $ cartes par couleur) : cœur et carreau (rouges), pique et trèfle (noires). Chaque couleur contient les cartes : $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $, valet, dame, roi et as.

On définit les événements :

A : « La carte tirée est un cœur ».
B : « La carte tirée est un valet ».
C : « La carte tirée est une figure » (c'est-à-dire un valet, une dame ou un roi).

Justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité, puis calculer $ P(A) $, $ P(B) $ et $ P(C) $.
Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Justifier.
Les événements B et C sont-ils incompatibles ? Justifier.
Calculer la probabilité de l'événement : « Tirer un cœur ou tirer un pique ». Justifier la méthode utilisée.
Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{C} $ et calculer sa probabilité.

Corrigé

Le jeu est bien mélangé, donc chaque carte a la même chance d'être tirée : les $ 32 $ issues sont équiprobables.
- Il y a $ 8 $ cœurs dans le jeu, donc $ P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} $.
- Il y a $ 4 $ valets (un par couleur), donc $ P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} $.
- Il y a $ 3 $ figures par couleur (valet, dame, roi), soit $ 3 \times 4 = 12 $ figures en tout, donc $ P(C) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} $.
Le valet de cœur est à la fois un cœur et un valet : il réalise les événements A et B en même temps. Les événements A et B ne sont donc pas incompatibles.
Un valet est toujours une figure (par définition). Les événements B et C peuvent donc se réaliser en même temps : ils ne sont pas incompatibles.
Une carte ne peut pas être à la fois un cœur et un pique : les événements « Tirer un cœur » et « Tirer un pique » sont incompatibles. La probabilité que l'un ou l'autre se réalise est la somme de leurs probabilités. Il y a $ 8 $ cœurs et $ 8 $ piques.
$ P(\text{cœur ou pique}) = \dfrac{8}{32} + \dfrac{8}{32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2} $
La probabilité de tirer un cœur ou un pique est $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$.
L'événement contraire $ \overline{C} $ est : « La carte tirée n'est pas une figure », c'est-à-dire « Tirer un $ 7 $, un $ 8 $, un $ 9 $, un $ 10 $ ou un as ».
$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} $
La probabilité de ne pas tirer une figure est $\mathbf{\dfrac{5}{8}}$.

Tirage d’une lettre du mot MATHEMATIQUES

Émile écrit chaque lettre du mot « MATHEMATIQUES » sur un carton. Il obtient ainsi $ 13 $ cartons identiques (les répétitions de lettres sont conservées). Il les retourne, les mélange puis tire un carton au hasard et regarde la lettre inscrite.

Combien y a-t-il d'issues équiprobables pour cette expérience aléatoire ?
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants.
1. A : « Obtenir la lettre M ».
2. B : « Obtenir la lettre A ».
3. C : « Obtenir une voyelle ».
Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{C} $ et calculer sa probabilité.
Citer un événement impossible et un événement certain pour cette expérience.

Corrigé

Le mot « MATHEMATIQUES » comporte $ 13 $ lettres. Il y a donc $ 13 $ issues équiprobables, chacune ayant la même chance d'être tirée.
1. La lettre M apparaît $ 2 $ fois dans le mot.
  $ P(A) = \dfrac{2}{13} $
  La probabilité d'obtenir la lettre M est $\mathbf{\dfrac{2}{13}}$.
2. La lettre A apparaît $ 2 $ fois dans le mot.
  $ P(B) = \dfrac{2}{13} $
  La probabilité d'obtenir la lettre A est $\mathbf{\dfrac{2}{13}}$.
3. Les voyelles présentes dans le mot sont A, E, I et U. En comptant les répétitions, on obtient : A ($ 2 $ fois), E ($ 2 $ fois), I ($ 1 $ fois) et U ($ 1 $ fois), soit $ 6 $ voyelles au total.
  $ P(C) = \dfrac{6}{13} $
  La probabilité d'obtenir une voyelle est $\mathbf{\dfrac{6}{13}}$.
L'événement contraire $ \overline{C} $ est : « Obtenir une consonne ».
$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{6}{13} = \dfrac{13}{13} - \dfrac{6}{13} = \dfrac{7}{13} $
La probabilité d'obtenir une consonne est $\mathbf{\dfrac{7}{13}}$.
Par exemple :
- Événement impossible : « Obtenir la lettre Z », car cette lettre n'apparaît pas dans le mot.
- Événement certain : « Obtenir une lettre de l'alphabet français », car toutes les issues sont des lettres de l'alphabet.

Pour réviser : Utiliser l'événement contraire.

Compléter un tableau de probabilités

Un confiseur fabrique des bonbons de quatre parfums : citron, fraise, orange et menthe. On prend un bonbon au hasard dans un grand sac et on regarde son parfum. Les probabilités de chaque parfum sont données dans le tableau ci-dessous, mais celle d'obtenir un bonbon à l'orange a été effacée.

Parfum	Citron	Fraise	Orange	Menthe
Probabilité	0,15	0,32	?	0,2

Calculer la probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange.
On considère l'événement A : « Obtenir un bonbon au citron ou à la fraise ». Calculer $ P(A) $ et donner le résultat sous forme décimale, puis sous forme de pourcentage.
Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{A} $ et calculer sa probabilité.
Le sac contient $ 200 $ bonbons en tout. Estimer le nombre de bonbons à l'orange qu'il contient.

Corrigé

La somme des probabilités de toutes les issues est égale à $ 1 $. On note $ p $ la probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange.
$ 0{,}15 + 0{,}32 + p + 0{,}2 = 1 $
$ 0{,}67 + p = 1 $
$ p = 1 - 0{,}67 = 0{,}33 $
La probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange est $\mathbf{0{,}33}$.
Les événements « Obtenir un bonbon au citron » et « Obtenir un bonbon à la fraise » sont incompatibles (un bonbon n'a qu'un seul parfum). La probabilité que l'un ou l'autre se réalise est donc la somme des deux probabilités.
$ P(A) = 0{,}15 + 0{,}32 = 0{,}47 $
Sous forme de pourcentage : $ P(A) = 47\,\% $.
La probabilité d'obtenir un bonbon au citron ou à la fraise est $\mathbf{0{,}47}$, soit $\mathbf{47\,\%}$.
L'événement contraire $ \overline{A} $ est : « Obtenir un bonbon à l'orange ou à la menthe ».
$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}47 = 0{,}53 $
La probabilité de l'événement contraire est $\mathbf{0{,}53}$.
Comme on répète un grand nombre de fois l'expérience, la fréquence d'apparition d'un bonbon à l'orange est proche de sa probabilité $ 0{,}33 $. Sur $ 200 $ bonbons :
$ 200 \times 0{,}33 = 66 $
Le sac contient donc environ $ 66 $ bonbons à l'orange.

Pour réviser : Exprimer une probabilité sous différentes formes.

Vrai/Faux : Événements contraires et incompatibles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les événements contraires et incompatibles, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé cubique équilibré.

Affirmation : L'événement contraire de « obtenir le 1 » est « obtenir le 6 ».

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'événement contraire de « obtenir le 1 » est « ne pas obtenir le 1 », c'est-à-dire « obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6 ». L'événement « obtenir le 6 » n'est qu'une seule des cinq issues du contraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre « contraire » avec « opposé » ou « extrême ». Le contraire de « obtenir 1 » est « ne pas obtenir 1 » : il faut alors décrire toutes les autres issues possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le contraire de « obtenir 1 » est « obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6 », pas seulement « obtenir 6 ».
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit A un événement de probabilité $\dfrac{2}{7}$.

Affirmation : La probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$ vaut $\dfrac{5}{7}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ :

$P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{7}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour soustraire $\dfrac{2}{7}$ à 1, il faut écrire 1 sous la forme $\dfrac{7}{7}$. On obtient alors $\dfrac{7}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé cubique équilibré.

Affirmation : Les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de 3 » sont incompatibles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le nombre 6 est à la fois pair et multiple de 3 : les deux événements peuvent se réaliser en même temps. Ils ne sont donc pas incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Or le 6 est pair ET multiple de 3, donc une issue réalise simultanément les deux événements.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le 6 réalise les deux événements simultanément, donc ils ne sont pas incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère deux événements A et B incompatibles tels que $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}5$.

Affirmation : La probabilité que A ou B se réalise vaut $0{,}8$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme A et B sont incompatibles, on peut additionner leurs probabilités :

$P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour deux événements incompatibles, la formule est $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$. Ici, $0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$, donc la probabilité demandée vaut bien $0{,}8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour deux événements incompatibles, $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) = 0{,}8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux événements contraires sont toujours incompatibles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si A et $\overline{A}$ étaient réalisés en même temps pour une issue, cela voudrait dire que A est à la fois réalisé et non réalisé : c'est impossible. Donc A et $\overline{A}$ ne se réalisent jamais simultanément : ils sont incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de confondre les deux notions. Mais par définition, $\overline{A}$ est réalisé exactement quand A ne l'est pas : les deux ne peuvent jamais se produire en même temps, donc ils sont incompatibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, A et $\overline{A}$ ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils sont incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux événements sont incompatibles, alors ils sont forcément contraires l'un de l'autre.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires. Par exemple, sur un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 2 » sont incompatibles (ils ne se réalisent jamais en même temps), mais ne sont pas contraires : leur réunion ne couvre pas toutes les issues (3, 4, 5, 6 ne sont dans aucun des deux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux notions. Deux événements contraires sont incompatibles, mais la réciproque est fausse : il faut en plus que les deux événements couvrent ensemble toutes les issues possibles pour qu'ils soient contraires.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. « Obtenir 1 » et « obtenir 2 » sur un dé sont incompatibles mais pas contraires.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Probabilités

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul de probabilités, événement contraire, événements incompatibles et stabilisation des fréquences. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé truqué à six faces. Les probabilités des issues sont données dans le tableau suivant :

Face	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}15$	$0{,}05$	$0{,}3$	?

Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$0{,}8$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 :

$P(6) = 1 - (0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}05 + 0{,}3) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
$\dfrac{1}{6}$ serait la probabilité pour un dé équilibré. Or ici le dé est truqué : il faut utiliser le fait que la somme des probabilités vaut 1.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8$ est la somme des cinq probabilités déjà connues. Pour obtenir $P(6)$, il faut soustraire cette somme à 1.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ correspondrait à une chance sur deux d'obtenir un 6, ce qui n'est pas cohérent. Il faut utiliser : « la somme des probabilités vaut 1 ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1. Il faut soustraire la somme des probabilités connues à 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue est partagée en 20 secteurs identiques numérotés de 1 à 20. On la fait tourner. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair et supérieur à 10 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{15}{20}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les nombres impairs supérieurs à 10 entre 1 et 20 sont 11, 13, 15, 17, 19, soit 5 issues favorables sur 20 :

$P = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir un nombre impair quelconque (10 sur 20). Il y a une seconde condition : être aussi supérieur à 10.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{20}$"]Non.
Un nombre impair supérieur à 10 a été oublié dans le compte. Il faut bien lister 11, 13, 15, 17, 19, ce qui fait 5 et non 3.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{20}$"]Non.
On compte les issues qui vérifient les deux conditions à la fois (impair ET supérieur à 10), pas l'une ou l'autre. Il s'agit donc des nombres communs aux deux ensembles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut lister tous les nombres entre 1 et 20 qui sont à la fois impairs et strictement supérieurs à 10, puis appliquer la formule d'équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe, 60 % des élèves participent au club théâtre et 25 % au club musique. Aucun élève ne fait les deux. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne participe à aucun de ces deux clubs ?
[qcm]
[option]$85\%$[/option]
[option]$35\%$[/option]
[option correct="true"]$15\%$[/option]
[option]$0\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les deux clubs sont incompatibles, donc $P(\text{théâtre ou musique}) = 60\% + 25\% = 85\%$. Par l'événement contraire :

$P(\text{aucun}) = 100\% - 85\% = 15\%$

[/reponse]
[reponse motif="$85\%$"]Non.
$85\%$ est la probabilité de participer à l'un des deux clubs (théâtre ou musique). On cherche ici la probabilité de l'événement contraire : ne faire ni l'un ni l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$35\%$"]Non.
$35\%$ correspondrait à $60\% - 25\%$, ce qui n'a pas de signification ici. Il faut additionner les pourcentages des deux clubs (puisqu'ils sont incompatibles), puis soustraire à 100 %.[/reponse]
[reponse motif="$0\%$"]Non.
Les deux clubs ne couvrent pas la classe entière : $60\% + 25\% = 85\%$, donc $15\%$ des élèves ne participent à aucun. La probabilité n'est pas nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme les deux clubs sont incompatibles, on additionne d'abord leurs pourcentages, puis on prend le complément à 100 % pour obtenir le pourcentage d'élèves dans aucun des deux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lors d'un sondage, on constate que sur 1 000 personnes interrogées, 423 préfèrent le thé. Quelle est la valeur la plus proche de la probabilité qu'une personne préfère le thé, selon ce sondage ?
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$\dfrac{1}{423}$[/option]
[option]$423$[/option]
[option correct="true"]$0{,}42$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d'apparition d'une issue se rapproche de sa probabilité. Ici la fréquence vaut :

$f = \dfrac{423}{1\,000} = 0{,}423 \approx 0{,}42$

[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ supposerait qu'il y ait autant de personnes pour le thé que pour autre chose. Or 423 sur 1 000 est nettement inférieur à la moitié.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{423}$"]Non.
Le numérateur doit être 423 (le nombre de réponses « thé ») et le dénominateur 1 000 (le nombre total de personnes). Il ne faut pas inverser.[/reponse]
[reponse motif="$423$"]Non.
423 est un effectif, pas une probabilité. Une probabilité est un nombre toujours compris entre 0 et 1. Il faut diviser par le nombre total de personnes interrogées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence (nombre de fois où l'issue se produit, divisé par le nombre total d'essais) se rapproche de la probabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 30 boules : 12 rouges, 8 vertes, 7 bleues et le reste sont jaunes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ou jaune ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{15}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{27}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{30}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Le nombre de boules jaunes vaut $30 - 12 - 8 - 7 = 3$. Les événements « rouge » et « jaune » sont incompatibles, donc :

$P(\text{rouge ou jaune}) = \dfrac{12}{30} + \dfrac{3}{30} = \dfrac{15}{30}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{30}$"]Non.
$\dfrac{12}{30}$ est la probabilité de tirer une boule rouge uniquement. Il faut aussi compter les boules jaunes, dont le nombre n'est pas donné explicitement.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{27}{30}$"]Non.
$27 = 12 + 8 + 7$ est le nombre de boules rouges, vertes et bleues. Cela ne correspond pas à l'événement « rouge ou jaune ». Il faut commencer par calculer le nombre de boules jaunes.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{30}$"]Non.
$\dfrac{1}{30}$ correspondrait à une seule boule favorable. Or il y a au moins 12 boules rouges parmi les 30. Le numérateur doit refléter le total des boules rouges et jaunes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer la probabilité de « rouge ou jaune », il faut d'abord calculer le nombre de boules jaunes (par soustraction au total), puis additionner les probabilités des deux événements (incompatibles).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire au hasard un jeton dans un sac contenant 25 jetons numérotés de 1 à 25. Soit A : « obtenir un multiple de 5 » et B : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 ». Que peut-on dire de A et B ?
[qcm]
[option]A et B sont incompatibles[/option]
[option correct="true"]A et B ne sont pas incompatibles[/option]
[option]A et B sont contraires[/option]
[option]B est l'événement contraire de A[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les multiples de 5 entre 1 et 25 sont 5, 10, 15, 20, 25. Les nombres supérieurs ou égaux à 20 sont 20, 21, 22, 23, 24, 25. Les issues 20 et 25 réalisent A et B en même temps : les événements ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[reponse motif="A et B sont incompatibles"]Non.
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Or 20 et 25 sont à la fois multiples de 5 et supérieurs ou égaux à 20.[/reponse]
[reponse motif="A et B sont contraires"]Non.
Deux événements contraires se complètent : A et $\overline{A}$ couvrent toutes les issues sans en partager. Ici, certaines issues réalisent A et B simultanément, et d'autres ni l'un ni l'autre.[/reponse]
[reponse motif="B est l'événement contraire de A"]Non.
$\overline{A}$ serait « ne pas obtenir un multiple de 5 », c'est-à-dire des issues comme 1, 2, 3, etc. Or B contient 20 et 25 qui sont multiples de 5 : B n'est pas le contraire de A.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les issues réalisant A, puis celles réalisant B, et regarder s'il y en a en commun. Si oui, A et B ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Événement contraire

[enonce]
Ce QCM porte sur l'événement contraire : sa définition, sa probabilité $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ et les pièges classiques. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit A l'événement « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » lors du lancer d'un dé cubique équilibré. Quel est l'événement contraire $\overline{A}$ ?
[qcm]
[option]« Obtenir un nombre strictement inférieur à 4 »[/option]
[option correct="true"]« Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 »[/option]
[option]« Obtenir un nombre strictement inférieur à 5 »[/option]
[option]« Ne pas obtenir un nombre »[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overline{A}$ est réalisé exactement quand A ne l'est pas. A correspond à 5 et 6, donc $\overline{A}$ correspond à 1, 2, 3, 4 : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 ».[/reponse]
[reponse motif="« Obtenir un nombre strictement inférieur à 4 »"]Non.
Cet événement correspond à 1, 2 et 3 seulement. Mais 4 n'est pas dans A (car A demande strictement supérieur à 4) : 4 doit donc être dans $\overline{A}$.[/reponse]
[reponse motif="« Obtenir un nombre strictement inférieur à 5 »"]Non.
Cet événement correspond à 1, 2, 3 et 4. Mais le 5 n'est pas inclus, alors qu'il est lui-même dans A. Vérifier que A et $\overline{A}$ partitionnent bien toutes les issues.[/reponse]
[reponse motif="« Ne pas obtenir un nombre »"]Non.
Cet événement est impossible (le dé affiche toujours un nombre) : sa probabilité est 0. Or A et $\overline{A}$ doivent partager toutes les issues du dé entre eux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\overline{A}$ doit contenir exactement les issues qui ne sont pas dans A. Lister les issues de A puis prendre toutes les autres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 5 boules rouges et 7 boules noires, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{5}{12}$. Quelle est la probabilité de l'événement contraire ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ :

$P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{5}{12} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{12}$"]Non.
La probabilité d'un événement et celle de son contraire ne sont pas égales (sauf cas particulier où elles valent toutes deux $\dfrac{1}{2}$). Penser à la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{5}$"]Non.
On ne prend pas l'inverse de la fraction. De plus, $\dfrac{12}{5}$ est supérieur à 1 : ce n'est jamais une probabilité valide.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{12}$"]Non.
Il ne faut pas seulement remplacer le numérateur par 1. La somme $P(A) + P(\overline{A})$ doit valoir 1 : il faut soustraire la fraction donnée à 1.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La probabilité de l'événement contraire se calcule avec $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Pour soustraire $\dfrac{5}{12}$ à 1, il faut écrire 1 sous la forme $\dfrac{12}{12}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On choisit au hasard un élève dans un collège. La probabilité qu'il aille à la cantine est $0{,}65$. Quelle est la probabilité qu'il n'aille pas à la cantine ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}35$[/option]
[option]$0{,}65$[/option]
[option]$1{,}65$[/option]
[option]$0{,}65\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On note A : « l'élève va à la cantine ». L'événement contraire est « l'élève ne va pas à la cantine » :

$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35$

[/reponse]
[reponse motif="$0{,}65$"]Non.
Un événement et son contraire n'ont pas la même probabilité (sauf cas $0{,}5$ / $0{,}5$). Il faut soustraire 0,65 à 1.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}65$"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1, donc 1,65 ne peut pas être une probabilité. Il faut soustraire et non additionner.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}65\%$"]Non.
Attention à ne pas confondre nombre décimal et pourcentage. $0{,}65$ écrit en pourcentage donne $65\%$, pas $0{,}65\%$. Mais la question demande $P(\overline{A})$, calculé par $1 - P(A)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Aller à la cantine et ne pas y aller sont deux événements contraires : leurs probabilités s'additionnent à 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une boîte, il y a 100 jetons numérotés de 1 à 100. On en tire un au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 10 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{10}{100}$[/option]
[option]$\dfrac{90}{99}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{9}{10}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les multiples de 10 entre 1 et 100 sont 10, 20, 30, ..., 100, soit 10 nombres. Par l'événement contraire :

$P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{10}{100} = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{100}$"]Non.
$\dfrac{10}{100}$ est la probabilité d'obtenir un multiple de 10, pas de ne pas en obtenir un. Il faut prendre le complément à 1.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{90}{99}$"]Non.
Le dénominateur reste 100 (le nombre total de jetons). Il ne faut pas retirer 1 à l'effectif total quand on parle de l'événement contraire.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{10}$"]Non.
$\dfrac{1}{10}$ est la probabilité d'obtenir un multiple de 10 (forme simplifiée de $\dfrac{10}{100}$). On cherche ici l'événement contraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il est plus rapide de calculer la probabilité d'« obtenir un multiple de 10 » puis d'utiliser $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ que de compter les 90 nombres qui ne sont pas multiples de 10.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit A et B deux événements liés à une même expérience aléatoire. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est toujours vraie ?
[qcm]
[option]Si $P(A) = 0{,}3$, alors $P(\overline{A}) = -0{,}3$[/option]
[option correct="true"]Si A est l'événement certain, alors $\overline{A}$ est l'événement impossible[/option]
[option]L'événement contraire de A est l'événement A multiplié par $-1$[/option]
[option]Si $P(A) = P(B)$, alors $\overline{A} = \overline{B}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si A est certain, il est réalisé pour toutes les issues. Donc $\overline{A}$ n'est jamais réalisé : c'est l'événement impossible. On vérifie : $P(\overline{A}) = 1 - 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="Si $P(A) = 0{,}3$, alors $P(\overline{A}) = -0{,}3$"]Non.
Une probabilité ne peut jamais être négative. La bonne formule est $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.[/reponse]
[reponse motif="L'événement contraire de A est l'événement A multiplié par $-1$"]Non.
Un événement n'est pas un nombre : on ne peut pas le multiplier par $-1$. L'événement contraire est l'événement réalisé exactement quand A ne l'est pas.[/reponse]
[reponse motif="Si $P(A) = P(B)$, alors $\overline{A} = \overline{B}$"]Non.
Deux événements peuvent avoir la même probabilité sans être identiques. Par exemple, sur un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 2 » ont la même probabilité $\dfrac{1}{6}$, mais leurs contraires ne sont pas identiques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Et deux événements distincts peuvent avoir la même probabilité : il faut tester chaque affirmation avec un exemple simple.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un sac, il y a 20 bonbons : des bleus, des rouges et des verts. La probabilité de tirer un bonbon bleu est $\dfrac{1}{4}$ et celle de tirer un bonbon rouge est $\dfrac{2}{5}$. Quelle est la probabilité de tirer un bonbon vert ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{13}{20}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{20}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La probabilité de tirer un bonbon non vert est $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20}$. Par l'événement contraire :

$P(\text{vert}) = 1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{20}$"]Non.
Vérifier le calcul de $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5}$ : il faut mettre les fractions au même dénominateur 20, ce qui donne $\dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20}$. Puis utiliser l'événement contraire.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{13}{20}$"]Non.
$\dfrac{13}{20}$ est la probabilité de tirer un bonbon bleu ou rouge, pas un bonbon vert. C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{20}$"]Non.
Il faut d'abord additionner les probabilités des bleus et des rouges (en mettant au même dénominateur), puis soustraire à 1 pour obtenir celle des verts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités des trois couleurs vaut 1. On peut donc calculer $P(\text{vert}) = 1 - P(\text{bleu}) - P(\text{rouge})$ après avoir mis les fractions au même dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]