Suite d’allumettes : modéliser et réduire

On construit une suite de figures avec des allumettes en alignant des triangles équilatéraux côte à côte (chaque triangle partage un côté avec son voisin).

Étape 1 : 1 triangle, $ 3 $ allumettes.
Étape 2 : 2 triangles, $ 5 $ allumettes.
Étape 3 : 3 triangles, $ 7 $ allumettes.

Combien faut-il d'allumettes pour réaliser :
1. la figure de l'étape 4 ?
2. la figure de l'étape 5 ?
On note $ A $ le nombre d'allumettes nécessaires à l'étape $ n $. Léon affirme que $ A = 2n + 1 $. Vérifier cette formule pour $ n = 1 $, $ n = 2 $ et $ n = 3 $.
Combien d'allumettes faudra-t-il pour réaliser la figure de l'étape $ 50 $ ?
Mathilde a écrit une autre expression pour le nombre d'allumettes à l'étape $ n $ :

$ B = 4n + 3 - 2n - 2 $
1. Réduire l'expression $ B $.
2. Les expressions $ A $ et $ B $ donnent-elles le même nombre d'allumettes pour toute valeur de $ n $ ?
3. Calculer $ B $ pour $ n = 100 $.

Corrigé

À chaque nouvelle étape, on ajoute un triangle, ce qui nécessite $ 2 $ allumettes supplémentaires (le côté partagé avec le triangle précédent est déjà placé).
1. À l'étape 4, il faut $ 7 + 2 = $ $\mathbf{9}$ allumettes.
2. À l'étape 5, il faut $ 9 + 2 = $ $\mathbf{11}$ allumettes.
On teste la formule $ A = 2n + 1 $ pour les premières étapes.

Pour $ n = 1 $ : $ A = 2 \times 1 + 1 = 2 + 1 = 3 $. Le compte est bon ($ 3 $ allumettes).
Pour $ n = 2 $ : $ A = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5 $. Le compte est bon ($ 5 $ allumettes).
Pour $ n = 3 $ : $ A = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7 $. Le compte est bon ($ 7 $ allumettes).

La formule de Léon donne le bon nombre d'allumettes pour les trois premières étapes.
On utilise la formule $ A = 2n + 1 $ avec $ n = 50 $ :
$ A = 2 \times 50 + 1 = 100 + 1 = 101 $

Il faudra $\mathbf{101}$ allumettes pour réaliser la figure de l'étape $ 50 $.
1. On regroupe les termes en $ n $ et les termes constants :
  $ B = 4n + 3 - 2n - 2 $
  $ B = 4n - 2n + 3 - 2 $
  $ B = $ $\mathbf{2n + 1}$
2. Après réduction, on obtient $ B = 2n + 1 $, ce qui est exactement l'expression $ A $ proposée par Léon. Les deux expressions donnent donc le même nombre d'allumettes pour toute valeur de $ n $.
3. On remplace $ n $ par $ 100 $ dans l'expression réduite :
  $ B = 2 \times 100 + 1 = 200 + 1 $
  $ B = $ $\mathbf{201}$
  
  À l'étape $ 100 $, il faudrait $ 201 $ allumettes.

Pour réviser : Réduire une expression littérale

Tester des égalités

On considère l'égalité $ 5x + 3 = 2x + 18 $.

Tester cette égalité :
1. pour $ x = 5 $ ;
2. pour $ x = 4 $.
En France, la pointure $ P $ des chaussures se calcule à partir de la longueur $ L $ du pied (en cm) à l'aide de la formule :

$ P = 1{,}5 \times (L + 2) $
1. Léa a un pied qui mesure $ 22 $ cm. Vérifier qu'elle chausse du $ 36 $.
2. Hugo affirme que, comme son pied mesure $ 28 $ cm, il chausse du $ 44 $. A-t-il raison ?
On considère l'égalité $ x^{2} + 3 = 4x $.

Tester cette égalité :
1. pour $ x = 1 $ ;
2. pour $ x = 3 $ ;
3. pour $ x = 2 $.

Corrigé

1. On teste l'égalité $ 5x + 3 = 2x + 18 $ pour $ x = 5 $.
  
  Membre de gauche : $ 5 \times 5 + 3 = 25 + 3 = 28 $
  Membre de droite : $ 2 \times 5 + 18 = 10 + 18 = 28 $
  
  Les deux membres ont la même valeur $ 28 $, donc l'égalité est vraie pour $ x = 5 $.
2. On teste l'égalité pour $ x = 4 $.
  
  Membre de gauche : $ 5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23 $
  Membre de droite : $ 2 \times 4 + 18 = 8 + 18 = 26 $
  
  Comme $ 23 \neq 26 $, l'égalité est fausse pour $ x = 4 $.
1. On calcule $ P $ pour $ L = 22 $ :
  $ P = 1{,}5 \times (22 + 2) $
  $ P = 1{,}5 \times 24 $
  $ P = 36 $
  
  La pointure obtenue est bien $ 36 $, donc Léa chausse du $\mathbf{36}$.
2. On calcule $ P $ pour $ L = 28 $ :
  $ P = 1{,}5 \times (28 + 2) $
  $ P = 1{,}5 \times 30 $
  $ P = 45 $
  
  La pointure obtenue est $ 45 $, et non $ 44 $. Hugo a donc tort : avec un pied de $ 28 $ cm, il chausse du $ 45 $.
1. On teste l'égalité $ x^{2} + 3 = 4x $ pour $ x = 1 $.
  
  Membre de gauche : $ 1^{2} + 3 = 1 + 3 = 4 $
  Membre de droite : $ 4 \times 1 = 4 $
  
  Les deux membres ont la même valeur $ 4 $, donc l'égalité est vraie pour $ x = 1 $.
2. On teste l'égalité pour $ x = 3 $.
  
  Membre de gauche : $ 3^{2} + 3 = 9 + 3 = 12 $
  Membre de droite : $ 4 \times 3 = 12 $
  
  Les deux membres ont la même valeur $ 12 $, donc l'égalité est vraie pour $ x = 3 $.
3. On teste l'égalité pour $ x = 2 $.
  
  Membre de gauche : $ 2^{2} + 3 = 4 + 3 = 7 $
  Membre de droite : $ 4 \times 2 = 8 $
  
  Comme $ 7 \neq 8 $, l'égalité est fausse pour $ x = 2 $.

Pour réviser : Tester une égalité

Tarifs de livraison de pizzas

Une pizzeria propose deux formules pour la livraison à domicile sur l'année.

Formule Classique : $ 8 $ € par pizza livrée, sans frais d'inscription.
Formule Avantage : un abonnement annuel de $ 30 $ €, puis chaque pizza est livrée à $ 5 $ €.

On note $ n $ le nombre de pizzas commandées dans l'année.

Exprimer en fonction de $ n $ :
1. le prix annuel $ C $ payé avec la formule Classique ;
2. le prix annuel $ A $ payé avec la formule Avantage.
Calculer $ C $ et $ A $ lorsque $ n = 6 $. Quelle formule est la plus avantageuse pour $ 6 $ pizzas ?
Calculer $ C $ et $ A $ lorsque $ n = 20 $. Quelle formule est la plus avantageuse pour $ 20 $ pizzas ?
Pour quel nombre de pizzas les deux formules coûtent-elles le même prix ? Tester $ n = 8 $, $ n = 9 $ puis $ n = 10 $.

Corrigé

1. Avec la formule Classique, on paie $ 8 $ € par pizza, donc pour $ n $ pizzas :
  $ C = 8 \times n $ donc $ C = $ $\mathbf{8n}$
2. Avec la formule Avantage, on paie $ 30 $ € (abonnement) puis $ 5 $ € par pizza :
  $ A = 30 + 5 \times n $ donc $ A = $ $\mathbf{30 + 5n}$
On remplace $ n $ par $ 6 $ :
$ C = 8 \times 6 = 48 $
$ A = 30 + 5 \times 6 = 30 + 30 = 60 $

Pour $ 6 $ pizzas, la formule Classique est plus avantageuse ($ 48 $ € contre $ 60 $ €).
On remplace $ n $ par $ 20 $ :
$ C = 8 \times 20 = 160 $
$ A = 30 + 5 \times 20 = 30 + 100 = 130 $

Pour $ 20 $ pizzas, la formule Avantage est plus avantageuse ($ 130 $ € contre $ 160 $ €).
On teste l'égalité $ 8n = 30 + 5n $ pour différentes valeurs de $ n $ :

Pour $ n = 8 $ :
$ C = 8 \times 8 = 64 $ et $ A = 30 + 5 \times 8 = 70 $.
Comme $ 64 \neq 70 $, les deux formules ne coûtent pas le même prix.

Pour $ n = 9 $ :
$ C = 8 \times 9 = 72 $ et $ A = 30 + 5 \times 9 = 75 $.
Comme $ 72 \neq 75 $, les deux formules ne coûtent pas le même prix.

Pour $ n = 10 $ :
$ C = 8 \times 10 = 80 $ et $ A = 30 + 5 \times 10 = 80 $.
Les deux formules coûtent le même prix : $ 80 $ € pour $ 10 $ pizzas.

Pour réviser : Écrire une expression littérale

Vrai/Faux : Substitution et test d’une égalité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur la substitution d'une valeur dans une expression et le test d'une égalité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour $x = 4$, l'expression $E = 3x + 1$ vaut $13$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $x$ par $4$ et on remet le signe $\times$ : $E = 3 \times 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : remettre le signe $\times$ supprimé entre $3$ et $x$, calculer la multiplication ($3 \times 4 = 12$) puis ajouter $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour $x = 4$, on a $3 \times 4 + 1 = 13$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour $x = 2$, l'expression $F = 5x^{2}$ vaut $100$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans $5x^{2}$, l'exposant ne porte que sur le $x$. Pour $x = 2$ : $F = 5 \times 2^{2} = 5 \times 4 = 20$, et non $100$. La valeur $100$ correspondrait à $(5x)^{2} = 10^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique : $5x^{2}$ ne signifie pas $(5x)^{2}$. L'exposant ne porte que sur la lettre qu'il suit, pas sur le coefficient.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $x = 2$, $F = 5 \times 4 = 20$. L'exposant ne porte que sur le $x$, pas sur le produit $5x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'égalité $2x + 5 = 11$ est vraie pour $x = 3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule le membre de gauche pour $x = 3$ : $2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$. Le membre de droite vaut $11$. Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Recalculer chaque membre pour $x = 3$ : à gauche $2 \times 3 + 5 = 11$, à droite $11$. Les deux valeurs coïncident.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour $x = 3$, le membre de gauche vaut $11$, comme le membre de droite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'égalité $4x - 1 = 3x + 2$ est vraie pour $x = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Membre de gauche : $4 \times 1 - 1 = 3$. Membre de droite : $3 \times 1 + 2 = 5$. Les deux membres ne sont pas égaux ($3 \neq 5$), donc l'égalité est fausse pour $x = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Calculer chaque membre séparément pour $x = 1$, puis comparer les deux résultats. Ils ne sont pas égaux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $x = 1$, le membre de gauche vaut $3$ et le membre de droite vaut $5$ : ils diffèrent.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une égalité est vraie pour une valeur donnée, alors elle est vraie pour toutes les valeurs de la lettre.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une égalité contenant des lettres peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. Par exemple, $x + 2 = 8$ est vraie pour $x = 6$ mais fausse pour $x = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : pour une égalité avec lettre, vérifier la véracité pour une valeur ne dit rien des autres valeurs. Tester $x + 2 = 8$ avec $x = 6$ puis avec $x = 0$ pour s'en convaincre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une égalité avec lettre peut être vraie pour certaines valeurs seulement. Par exemple, $x + 2 = 8$ est vraie uniquement pour $x = 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour $x = 3$, l'expression $G = 2(x + 1)$ vaut $7$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On commence par la parenthèse : $G = 2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8$, et non $7$. La valeur $7$ correspondrait à $2 \times 3 + 1$, ce qui revient à oublier la parenthèse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège : la parenthèse se calcule en premier. Le facteur $2$ multiplie toute la parenthèse, pas seulement le $x$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $x = 3$, $G = 2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8$, et non $7$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Calcul littéral (initiation)

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : conventions d'écriture, valeur numérique, test d'une égalité et réduction d'expressions littérales. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Un site vend un livre numérique à $7$ euros et facture des frais de service de $2$ euros par commande. Quelle expression donne le prix total $P$ pour $n$ livres achetés ?
[qcm]
[option]$P = 7 + 2n$[/option]
[option correct="true"]$P = 7n + 2$[/option]
[option]$P = 7 \times 2 \times n$[/option]
[option]$P = 9n$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Chaque livre coûte $7$ euros, donc $n$ livres coûtent $7 \times n = 7n$ euros. On ajoute les frais fixes de $2$ euros : $P = 7n + 2$.[/reponse]
[reponse motif="$P = 7 + 2n$"]Non.
Les rôles des deux nombres ont été échangés : c'est le prix du livre (et non les frais) qui se multiplie par le nombre de livres.[/reponse]
[reponse motif="$P = 7 \times 2 \times n$"]Non.
Les frais fixes ne se multiplient pas par le nombre de livres : ils s'ajoutent une seule fois à la fin de la commande.[/reponse]
[reponse motif="$P = 9n$"]Non.
Cette expression revient à compter $9$ euros par livre, ce qui inclurait les frais fixes à chaque livre. Or les frais ne sont payés qu'une seule fois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier ce qui dépend de $n$ (le coût des livres) et ce qui ne dépend pas de $n$ (les frais fixes).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la valeur de l'expression $G = 3(x + 4) - 2x$ pour $x = 5$.
[qcm]
[option]$15$[/option]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$17$[/option]
[option]$27$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On remplace $x$ par $5$ : $G = 3 \times (5 + 4) - 2 \times 5 = 3 \times 9 - 10 = 27 - 10 = 17$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
La parenthèse a été calculée correctement, mais la soustraction $-2x$ a été remplacée par $-2 \times 6$ ou un calcul équivalent. Vérifier la valeur de $2x$ pour $x = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Le facteur $3$ a été distribué en oubliant le $4$ dans la parenthèse, ou la multiplication par $3$ a été oubliée. Calculer entièrement la parenthèse avant de multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
La soustraction $-2x$ a été oubliée. Bien penser à retirer la valeur de $2 \times 5$ après avoir calculé $3 \times 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la parenthèse en premier, puis effectuer les deux multiplications, et enfin la soustraction.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Tester l'égalité $4x - 1 = 2x + 5$ pour $x = 2$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option correct="true"]L'égalité est fausse pour $x = 2$.[/option]
[option]L'égalité est vraie pour $x = 2$.[/option]
[option]L'égalité est vraie pour toute valeur de $x$.[/option]
[option]L'égalité n'a aucune solution.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Membre de gauche : $4 \times 2 - 1 = 8 - 1 = 7$. Membre de droite : $2 \times 2 + 5 = 4 + 5 = 9$. Les deux membres ne sont pas égaux ($7 \neq 9$), donc l'égalité est fausse pour $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="L'égalité est vraie pour $x = 2$."]Non.
Recalculer chaque membre : à gauche $4 \times 2 - 1$, à droite $2 \times 2 + 5$. Comparer ensuite les deux résultats sans confondre les signes.[/reponse]
[reponse motif="L'égalité est vraie pour toute valeur de $x$."]Non.
On ne peut pas conclure pour toute valeur de $x$ après un seul test : on n'a vérifié qu'une seule valeur.[/reponse]
[reponse motif="L'égalité n'a aucune solution."]Non.
Un seul test ne permet pas d'affirmer qu'aucune valeur de $x$ ne convient. Il prouve seulement le résultat pour la valeur testée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément le membre de gauche et le membre de droite pour $x = 2$, puis comparer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Réduire l'expression $H = 6x + 4 - 2x - 7$.
[qcm]
[option]$4x + 11$[/option]
[option]$8x - 3$[/option]
[option correct="true"]$4x - 3$[/option]
[option]$x$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On regroupe les termes en $x$ ($6x - 2x = 4x$) et les constantes ($4 - 7 = -3$). Donc $H = 4x - 3$.[/reponse]
[reponse motif="$4x + 11$"]Non.
Les deux constantes ont été additionnées au lieu d'être soustraites : $4 + 7 = 11$. Le signe $-$ devant le $7$ doit être conservé.[/reponse]
[reponse motif="$8x - 3$"]Non.
Les deux termes en $x$ ont été additionnés au lieu d'être soustraits : $6x + 2x = 8x$. Le signe $-$ devant le $2x$ doit être conservé.[/reponse]
[reponse motif="$x$"]Non.
Les coefficients de $x$ et les constantes ont été mélangés en un seul calcul. Bien séparer les deux groupes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Regrouper séparément les termes en $x$ et les constantes, en respectant les signes devant chaque terme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le périmètre $\mathscr{P}$ d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ est donné par $\mathscr{P} = 2L + 2\ell$. Quelle est l'écriture équivalente correcte du périmètre ?
[qcm]
[option]$\mathscr{P} = 2(L \times \ell)$[/option]
[option]$\mathscr{P} = 2L\ell$[/option]
[option correct="true"]$\mathscr{P} = 2(L + \ell)$[/option]
[option]$\mathscr{P} = (2L)(2\ell)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On met en évidence le facteur commun $2$ : $2L + 2\ell = 2 \times L + 2 \times \ell = 2(L + \ell)$. Le périmètre est le double de la somme des deux côtés.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{P} = 2(L \times \ell)$"]Non.
L'opération entre les deux côtés est une addition (somme des deux côtés), pas une multiplication (qui donnerait l'aire).[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{P} = 2L\ell$"]Non.
L'écriture $2L\ell$ représente le produit $2 \times L \times \ell$. Or le périmètre est une somme, pas un produit.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{P} = (2L)(2\ell)$"]Non.
Cette écriture représente le produit $2L \times 2\ell = 4L\ell$. Lorsqu'on met le $2$ en facteur, il ne s'écrit qu'une seule fois devant la parenthèse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Mettre le facteur commun $2$ devant la parenthèse, et conserver l'addition entre $L$ et $\ell$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur de $x$ l'égalité $5x - 4 = 2x + 5$ est-elle vraie ?
[qcm]
[option]$x = 1$[/option]
[option]$x = 2$[/option]
[option correct="true"]$x = 3$[/option]
[option]$x = 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $x = 3$ : membre de gauche $5 \times 3 - 4 = 11$, membre de droite $2 \times 3 + 5 = 11$. Les deux membres sont égaux, donc l'égalité est vraie.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$"]Non.
Pour $x = 1$ : membre de gauche $5 - 4 = 1$, membre de droite $2 + 5 = 7$. Les deux résultats diffèrent, donc l'égalité est fausse.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2$"]Non.
Pour $x = 2$ : membre de gauche $10 - 4 = 6$, membre de droite $4 + 5 = 9$. Les deux membres ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse motif="$x = 4$"]Non.
Pour $x = 4$ : membre de gauche $20 - 4 = 16$, membre de droite $8 + 5 = 13$. Les deux membres ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester chaque valeur en calculant séparément les deux membres et chercher celle où ils sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]