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Coût de production et rendements décroissants

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques. Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, lorsqu'elle fabrique $ x $ centaines de pièces (avec $ x \in [0\,;15] $), est modélisé par la fonction $ C $ définie par :

$ C(x) = 0{,}05x^{3} - 0{,}9x^{2} + 8x + 5 $

On note $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

En économie, le coût marginal correspond à $ C^{\prime}(x) $ : il représente le coût supplémentaire engendré par la production d'une centaine de pièces additionnelle.

  1. Calculer $ C^{\prime}(x) $.

    1. Calculer le discriminant du trinôme $ C^{\prime}(x) $ et en déduire son signe sur $ [0\,;15] $.
    2. En déduire les variations de $ C $ sur $ [0\,;15] $.

  2. Calculer $ C^{\prime\prime}(x) $.

    1. Étudier le signe de $ C^{\prime\prime}(x) $ sur $ [0\,;15] $.
    2. En déduire les intervalles sur lesquels $ C $ est convexe et ceux sur lesquels $ C $ est concave.
    3. Justifier que la courbe $ \mathcal{C} $ admet un point d'inflexion $ A $ et calculer ses coordonnées.
  3. Déterminer l'équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d'inflexion $ A $.

  4. Interprétation économique. On rappelle que le coût marginal est $ C^{\prime}(x) $.

    1. Justifier, à l'aide des questions précédentes, que le coût marginal admet un minimum sur $ [0\,;15] $ et préciser pour quelle valeur de $ x $ il est atteint.
    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'entreprise : que se passe-t-il pour le coût d'une pièce supplémentaire avant et après ce seuil de production ?

Corrigé

  1. La fonction $ C $ est dérivable sur $ [0\,;15] $ comme fonction polynomiale.

    $ C^{\prime}(x) = 0{,}15x^{2} - 1{,}8x + 8 $

    1. On calcule le discriminant du trinôme :

      $ \Delta = (-1{,}8)^{2} - 4 \times 0{,}15 \times 8 = 3{,}24 - 4{,}8 = -1{,}56 $

      Comme $ \Delta < 0 $, le trinôme $ C^{\prime}(x) $ ne s'annule pas et garde un signe constant, celui de son coefficient dominant $ 0{,}15 > 0 $.

      Donc $ C^{\prime}(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0\,;15] $.

    2. Comme $ C^{\prime}(x) > 0 $ sur $ [0\,;15] $, la fonction $ C $ est strictement croissante sur $ [0\,;15] $.

      Cela est cohérent avec la situation : le coût total augmente toujours lorsque la production augmente.

  2. La dérivée $ C^{\prime} $ est dérivable sur $ [0\,;15] $ comme fonction polynomiale.

    $ C^{\prime\prime}(x) = 0{,}3x - 1{,}8 $

    1. On résout $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ :

      $ 0{,}3x - 1{,}8 \geqslant 0 \iff 0{,}3x \geqslant 1{,}8 \iff x \geqslant 6 $

      Donc $ C^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $ et $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [6\,;15] $.

    2. D'après le théorème du cours :

      • $ C $ est concave sur $ [0\,;6] $ ;
      • $ C $ est convexe sur $ [6\,;15] $.

    3. La dérivée seconde $ C^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 6 $ : la courbe $ \mathcal{C} $ admet donc un point d'inflexion $ A $ d'abscisse $ 6 $.

      L'ordonnée de $ A $ est :

      $ C(6) = 0{,}05 \times 6^{3} - 0{,}9 \times 6^{2} + 8 \times 6 + 5 $

      $ C(6) = 0{,}05 \times 216 - 0{,}9 \times 36 + 48 + 5 $

      $ C(6) = 10{,}8 - 32{,}4 + 48 + 5 = 31{,}4 $

      Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A(6\,;31{,}4)}$.

  3. L'équation de la tangente $ T $ à $ \mathcal{C} $ au point d'abscisse $ 6 $ est :

    $ y = C^{\prime}(6)(x - 6) + C(6) $

    On calcule $ C^{\prime}(6) $ :

    $ C^{\prime}(6) = 0{,}15 \times 36 - 1{,}8 \times 6 + 8 = 5{,}4 - 10{,}8 + 8 = 2{,}6 $

    D'où :

    $ y = 2{,}6(x - 6) + 31{,}4 $

    $ y = 2{,}6x - 15{,}6 + 31{,}4 $

    L'équation réduite de la tangente est $\mathbf{y = 2{,}6x + 15{,}8}$.

    Courbe du coût C avec point d'inflexion A et tangente T

  4. Interprétation économique.

    1. Le coût marginal est la fonction $ C^{\prime} $. Sa dérivée est $ C^{\prime\prime} $.

      D'après la question 2.a, $ C^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $ et $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [6\,;15] $ : la fonction $ C^{\prime} $ est donc décroissante sur $ [0\,;6] $ puis croissante sur $ [6\,;15] $.

      Le coût marginal admet donc un minimum en $ x = 6 $, qui vaut $ C^{\prime}(6) = $ $\mathbf{2{,}6}$ milliers d'euros.

    2. Tant que la production reste inférieure à $ 600 $ pièces (c'est-à-dire $ x \leqslant 6 $), le coût d'une centaine de pièces supplémentaire diminue : on parle de rendements croissants, l'entreprise gagne en efficacité au fur et à mesure qu'elle produit.

      À partir de $ 600 $ pièces ($ x \geqslant 6 $), le coût d'une centaine de pièces supplémentaire augmente : on parle de rendements décroissants. Cela peut s'expliquer par la saturation des machines, le recours à des heures supplémentaires ou à des matières premières plus coûteuses.

      Le point d'inflexion $ A $ marque donc le seuil de production à partir duquel l'entreprise entre en régime de rendements décroissants.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion

Convexité avec le logarithme népérien

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0\,;+\infty[ $ par :

$ f(x) = \ln(x) + \dfrac{1}{x} $

On note $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. Calculer $ f^{\prime}(x) $ et montrer que pour tout $ x > 0 $ :

    $ f^{\prime}(x) = \dfrac{x - 1}{x^{2}} $
  2. Étudier les variations de $ f $ sur $ ]0\,;+\infty[ $.

  3. Calculer $ f^{\prime\prime}(x) $ et montrer que pour tout $ x > 0 $ :

    $ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2 - x}{x^{3}} $
  4. Étudier la convexité de $ f $ sur $ ]0\,;+\infty[ $.
  5. Montrer que la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet un point d'inflexion $ A $ dont on précisera les coordonnées.

Corrigé

  1. La fonction $ f $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $ comme somme de fonctions dérivables :

    $ f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} $

    On met au même dénominateur ($ x^{2} $) :

    $ f^{\prime}(x) = \dfrac{x}{x^{2}} - \dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{x - 1}{x^{2}} $

  2. Sur $ ]0\,;+\infty[ $, on a $ x^{2} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime}(x) $ est donc celui de $ x - 1 $.

    $ x - 1 \geqslant 0 \iff x \geqslant 1 $

    On en déduit :

    • $ f $ est décroissante sur $ ]0\,;1] $ ;
    • $ f $ est croissante sur $ [1\,;+\infty[ $ ;
    • $ f $ admet un minimum en $ x = 1 $ avec $ f(1) = \ln(1) + 1 = 1 $.

  3. La dérivée $ f^{\prime} $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $ comme somme de fonctions dérivables :

    $ f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{3}} $

    On met au même dénominateur ($ x^{3} $) :

    $ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{-x}{x^{3}} + \dfrac{2}{x^{3}} = \dfrac{2 - x}{x^{3}} $

  4. Sur $ ]0\,;+\infty[ $, on a $ x^{3} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime\prime}(x) $ est donc celui de $ 2 - x $.

    $ 2 - x \geqslant 0 \iff x \leqslant 2 $

    On en déduit :

    • $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ ]0\,;2] $, donc $ f $ est convexe sur $ ]0\,;2] $ ;
    • $ f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [2\,;+\infty[ $, donc $ f $ est concave sur $ [2\,;+\infty[ $.

  5. La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 2 $ : la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet donc un point d'inflexion d'abscisse $ 2 $.

    L'ordonnée de ce point est :

    $ f(2) = \ln(2) + \dfrac{1}{2} $

    Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A\!\left(2\,;\ln(2) + \dfrac{1}{2}\right)}$.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion

Vrai/Faux : Points d’inflexion et extremums

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les points d'inflexion et les extremums, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $f''(a) = 0$, alors $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $a$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La condition $f''(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisante. Il faut aussi un changement de signe de $f''$ en $a$. Contre-exemple : pour $f(x) = x^4$, on a $f''(0) = 0$, mais $f''(x) = 12x^2 \geqslant 0$ ne change pas de signe : pas de point d'inflexion en $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est d'oublier la deuxième condition. Pour un point d'inflexion : il faut $f''(a) = 0$ ET un changement de signe de $f''$ en $a$. Sans changement de signe, pas d'inflexion.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La condition $f''(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisante : il faut aussi un changement de signe de $f''$ en $a$. Contre-exemple : $f(x) = x^4$ en $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : En un point d'inflexion d'une fonction deux fois dérivable, la courbe traverse sa tangente.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la définition géométrique du point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente en ce point. Avant l'inflexion, la courbe est d'un côté de la tangente ; après, elle est de l'autre côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La définition géométrique du point d'inflexion est précisément : la courbe traverse sa tangente. Cela traduit le changement de convexité (concave d'un côté, convexe de l'autre).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Définition géométrique : un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, en lien avec le changement de convexité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$.

Affirmation : La courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $f'(x) = 3x^2 - 6x$ puis $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$. Cette dérivée seconde s'annule en $x = 1$ et change bien de signe (négative pour $x < 1$, positive pour $x > 1$). Donc le point d'abscisse $1$ est un point d'inflexion.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer $f''(x) = 6x - 6$. Cette dérivée seconde s'annule en $x = 1$ et change de signe (du négatif au positif) : les deux conditions du critère sont vérifiées.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f''(x) = 6x - 6$ s'annule et change de signe en $x = 1$ : c'est bien un point d'inflexion.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f$ admet un extremum local en $a$ et est dérivable en $a$, alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ en ce point est horizontale.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
À un extremum local d'une fonction dérivable, la dérivée s'annule : $f'(a) = 0$. Or une dérivée nulle signifie un coefficient directeur de tangente nul, donc une tangente horizontale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Théorème du cours : si $f$ admet un extremum local en $a$ et est dérivable en $a$, alors $f'(a) = 0$. Cela équivaut à une tangente horizontale en $a$. Attention, c'est une condition nécessaire et pas une équivalence.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour une fonction dérivable, un extremum local en $a$ implique $f'(a) = 0$, donc une tangente horizontale en $a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : En un point d'inflexion, la tangente à la courbe est forcément horizontale.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un point d'inflexion concerne la dérivée seconde ($f''(a) = 0$ avec changement de signe), pas la dérivée première. La pente $f'(a)$ peut être quelconque. Par exemple, pour $f(x) = x^3 + x$, on a $f''(0) = 0$ avec changement de signe, mais $f'(0) = 1 \neq 0$ : tangente non horizontale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion fréquente entre extremum (condition sur $f'$) et inflexion (condition sur $f''$). En un point d'inflexion, $f''(a) = 0$, mais $f'(a)$ peut être positif, négatif ou nul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En un point d'inflexion, c'est $f''(a) = 0$ qui compte, pas $f'(a)$. La tangente peut avoir une pente quelconque. Contre-exemple : $f(x) = x^3 + x$ en $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(2) = 0$ et $f''(2) > 0$.

Affirmation : La fonction $f$ admet un minimum local en $2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f''(2) > 0$ signifie que $f$ est convexe au voisinage de $2$. Combiné avec $f'(2) = 0$ (tangente horizontale), cela impose que la courbe soit en « bol » autour de $2$, donc $f$ atteint un minimum local en $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Penser au critère de la dérivée seconde : si $f'(a) = 0$ et $f''(a) > 0$, alors $f$ admet un minimum local en $a$. Symétriquement, $f'(a) = 0$ et $f''(a) < 0$ donneraient un maximum local.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Critère de la dérivée seconde : $f'(2) = 0$ et $f''(2) > 0$ assurent un minimum local en $2$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Tangente et nombre dérivé

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la tangente à la courbe d'une fonction, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le nombre dérivé $f'(a)$ est l'ordonnée du point d'abscisse $a$ sur la courbe de $f$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$, pas l'ordonnée. L'ordonnée du point sur la courbe est $f(a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Ne pas confondre $f(a)$ et $f'(a)$ : $f(a)$ est l'ordonnée du point, $f'(a)$ est la pente de la tangente en ce point. Deux objets distincts.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(a)$ est l'ordonnée du point sur la courbe ; $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en ce point.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la formule du cours : la tangente en $a$ a pour pente $f'(a)$ et passe par le point $\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$, ce qui donne directement l'équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule de l'équation de tangente est à connaître par cœur : pente $f'(a)$, point de passage $\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$, d'où la forme $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule de référence à mémoriser : pente $f'(a)$ et passage par le point $\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$.

Affirmation : La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a = 0$ est horizontale.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $f'(x) = 2x$, donc $f'(0) = 0$. Une pente nulle correspond à une tangente horizontale, d'équation $y = f(0) = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer $f'(0)$ : on obtient $f'(0) = 2 \times 0 = 0$. Or pente nulle équivaut à tangente horizontale. C'est cohérent avec la position du sommet de la parabole en $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f'(x) = 2x$ donne $f'(0) = 0$, donc la tangente en $0$ est horizontale (d'équation $y = 1$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f'(a) = 2$, alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2x + f(a)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La forme correcte est $y = f'(a)(x - a) + f(a) = 2(x - a) + f(a) = 2x - 2a + f(a)$. Le décalage $-2a$ est essentiel : sans lui, la droite ne passerait pas par le point $\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au décalage : la tangente en $a$ s'écrit $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, pas $y = f'(a) x + f(a)$. Le terme $-f'(a) \cdot a$ doit apparaître pour que la droite passe par le point d'abscisse $a$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation correcte est $y = 2(x - a) + f(a)$, soit $y = 2x - 2a + f(a)$. Le terme $-2a$ ne peut pas être omis.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lit qu'une fonction $f$ vérifie $f(2) = 4$ et $f'(2) = -1$.

Affirmation : La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -x + 6$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique $y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -1 \times (x - 2) + 4 = -x + 2 + 4 = -x + 6$. C'est bien l'équation proposée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reprendre le calcul : $y = -1 \times (x - 2) + 4 = -x + 2 + 4 = -x + 6$. La vérification confirme l'équation donnée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La tangente est $y = -1 \times (x - 2) + 4 = -x + 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux courbes représentatives de fonctions différentes ne peuvent pas avoir la même tangente en un même point.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Deux fonctions différentes peuvent parfaitement avoir la même tangente en un même point : il suffit qu'elles prennent la même valeur et aient le même nombre dérivé en ce point. Par exemple, $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^3$ se croisent en $0$ avec $f'(0) = g'(0) = 0$, et partagent la même tangente $y = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une tangente en $a$ ne dépend que de $f(a)$ et $f'(a)$. Deux fonctions différentes qui coïncident en valeur et en dérivée en $a$ partagent donc cette tangente, alors qu'elles diffèrent ailleurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il suffit que deux fonctions $f$ et $g$ vérifient $f(a) = g(a)$ et $f'(a) = g'(a)$ pour qu'elles partagent la même tangente en $a$. Exemple : $x^2$ et $x^3$ en $a = 0$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Dérivée et sens de variation

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le lien entre la dérivée et les variations d'une fonction, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est le théorème fondamental qui relie le signe de la dérivée et le sens de variation : si $f'$ est strictement positive sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le signe de la dérivée pilote le sens de variation. Une dérivée strictement positive correspond à une fonction strictement croissante : c'est la traduction directe du théorème du cours.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème reliant le signe de la dérivée et le sens de variation : $f' > 0$ sur $I$ équivaut à $f$ strictement croissante sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 5$.

Affirmation : La fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ car sa dérivée est constante.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La dérivée vaut $f'(x) = -2$, ce qui est constant mais négatif. C'est le signe (négatif) qui impose le sens de variation : $f$ est strictement décroissante, pas croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : ce n'est pas le caractère « constant » de la dérivée qui détermine le sens de variation, mais son signe. Or $f'(x) = -2 < 0$, donc la fonction décroît.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée vaut $f'(x) = -2$ : son caractère constant n'a aucun rapport avec le sens de variation, c'est le signe (ici négatif) qui détermine que $f$ est décroissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f'(a) = 0$, alors $f$ admet nécessairement un extremum local en $a$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La condition $f'(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, pour $f(x) = x^3$, on a $f'(0) = 0$ mais $f$ est strictement croissante : aucun extremum en $0$. Il faut également un changement de signe de $f'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est classique : $f'(a) = 0$ ne suffit pas. Pour $f(x) = x^3$, on a $f'(0) = 0$, et pourtant la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, sans aucun extremum.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La condition $f'(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisante : il faut aussi un changement de signe de $f'$ pour avoir un extremum local. Contre-exemple : $f(x) = x^3$ en $a = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f$ est strictement croissante et dérivable sur $I$, alors $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivée peut s'annuler ponctuellement sans empêcher la stricte croissance. La fonction $f(x) = x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, mais $f'(0) = 0$ : la dérivée n'est donc pas strictement positive partout.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux sens de l'implication. La condition correcte est : $f' > 0$ implique stricte croissance. La réciproque est plus faible : la stricte croissance n'impose que $f' \geqslant 0$, avec annulation possible en quelques points isolés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée peut s'annuler en des points isolés sans empêcher la stricte croissance. Contre-exemple : $f(x) = x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ alors que $f'(0) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $f'(x) = e^x$. Or $e^x > 0$ pour tout réel $x$, donc $f' > 0$ sur $\mathbb{R}$ et $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La dérivée de $e^x$ est $e^x$, qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : la fonction exponentielle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. C'est l'une de ses propriétés fondamentales.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La dérivée de $e^x$ est $e^x > 0$ sur $\mathbb{R}$, donc l'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ dont le tableau de signes de la dérivée $f'$ est : $f'$ négative sur $]-\infty\,;\,-1]$, positive sur $[-1\,;\,3]$, et négative sur $[3\,;\,+\infty[$.

Affirmation : La fonction $f$ admet un minimum local en $-1$ et un maximum local en $3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En $-1$, $f'$ change de signe en passant du négatif au positif : $f$ décroît puis croît, donc atteint un minimum local. En $3$, $f'$ change de signe du positif au négatif : $f$ croît puis décroît, donc atteint un maximum local.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le passage négatif $\to$ positif de $f'$ caractérise un minimum local, et le passage positif $\to$ négatif un maximum local. Le tableau donne donc bien minimum en $-1$ et maximum en $3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En $-1$, $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$ (minimum local), et en $3$, $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ (maximum local).
[/solution]
[/etape]

QCM : Variations d’une fonction et signe de la dérivée

[enonce]
Ce QCM porte sur le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d'une fonction, ainsi que sur la recherche d'extremums. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $f'(x) > 0$ sur $I$. Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]$f$ est strictement décroissante sur $I$[/option]
[option]$f$ est positive sur $I$[/option]
[option correct="true"]$f$ est strictement croissante sur $I$[/option]
[option]$f$ admet un maximum sur $I$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le théorème fondamental énonce : si $f'$ est strictement positive sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est strictement décroissante sur $I$"]Non.
Le sens de variation a été inversé. Une dérivée strictement positive correspond à une fonction strictement croissante, pas décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est positive sur $I$"]Non.
On confond ici le signe de $f$ et le signe de $f'$. La dérivée détermine le sens de variation, pas le signe de la fonction elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$f$ admet un maximum sur $I$"]Non.
Si $f'$ ne s'annule pas, $f$ est monotone et n'admet pas d'extremum à l'intérieur de $I$. Une fonction strictement croissante n'a pas de maximum (sauf éventuellement à la borne droite).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : $f' > 0 \Leftrightarrow f$ strictement croissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
[qcm]
[option correct="true"]$]-\infty\,;\,2]$[/option]
[option]$[2\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$]-\infty\,;\,4]$[/option]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$. Cette dérivée est négative pour $x \leqslant 2$ et positive pour $x \geqslant 2$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$.[/reponse]
[reponse motif="$[2\,;\,+\infty[$"]Non.
Le sens de variation a été inversé. Sur $[2\,;\,+\infty[$, la dérivée $2x - 4$ est positive, donc $f$ est croissante, pas décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty\,;\,4]$"]Non.
On a probablement résolu $-4 \leqslant 0$ au lieu de $2x - 4 \leqslant 0$. Bien isoler $x$ dans l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La fonction $x^2 - 4x + 1$ est une parabole : elle décroît puis croît. Elle ne peut donc pas être décroissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x)$, étudier son signe, puis déduire les intervalles de croissance et de décroissance.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. Que peut-on dire des variations de $f$ ?
[qcm]
[option]$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[option correct="true"]$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]$f$ admet un minimum en $0$[/option]
[option]$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $f'(x) = 3x^2$. Cette dérivée est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$ (et ne s'annule qu'en $0$), donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$"]Non.
On confond $x^3$ avec $x^2$ : pour $x^3$, la dérivée $3x^2$ est positive partout (sauf en $0$ où elle est nulle), donc la fonction est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ admet un minimum en $0$"]Non.
$f'(0) = 0$ ne suffit pas pour conclure à un extremum : il faut aussi que $f'$ change de signe en $0$. Or $3x^2 \geqslant 0$ ne change pas de signe.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
Le sens de variation est inversé : $f'(x) = 3x^2 \geqslant 0$, donc $f$ est croissante, pas décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x) = 3x^2$ : cette dérivée est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. À quelle condition $f$ admet-elle un extremum local en $a$ (au sens des conditions du cours) ?
[qcm]
[option]Il suffit que $f'(a) = 0$[/option]
[option]Il suffit que $f(a) = 0$[/option]
[option correct="true"]Il faut que $f'(a) = 0$ et que $f'$ change de signe en $a$[/option]
[option]Il faut que $f$ soit constante autour de $a$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La condition $f'(a) = 0$ est nécessaire pour un extremum mais n'est pas suffisante : il faut en plus que $f'$ change de signe en $a$ pour que $f$ atteigne effectivement un maximum ou un minimum.[/reponse]
[reponse motif="Il suffit que $f'(a) = 0$"]Non.
La condition $f'(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$, mais $f$ n'a pas d'extremum en $0$.[/reponse]
[reponse motif="Il suffit que $f(a) = 0$"]Non.
La valeur de $f(a)$ ne dit rien sur la présence d'un extremum. Un extremum se détecte par le comportement de $f'$, pas par la valeur de $f$.[/reponse]
[reponse motif="Il faut que $f$ soit constante autour de $a$"]Non.
Une fonction constante n'a pas d'extremum strict : elle prend partout la même valeur. Au contraire, un extremum traduit un changement de sens de variation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un extremum local : $f'(a) = 0$ ET changement de signe de $f'$ en $a$ (les deux conditions sont nécessaires).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles valeurs $f$ admet-elle des extremums locaux ?
[qcm]
[option]En $x = 0$ uniquement[/option]
[option]En $x = 3$ et $x = -3$[/option]
[option correct="true"]En $x = -1$ et $x = 1$[/option]
[option]En $x = \sqrt{3}$ uniquement[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$. Cette dérivée s'annule en $x = -1$ et $x = 1$, et change de signe à chaque fois (positive, puis négative, puis positive). Les extremums locaux sont donc en $x = -1$ (maximum) et $x = 1$ (minimum).[/reponse]
[reponse motif="En $x = 0$ uniquement"]Non.
En $x = 0$, $f'(0) = -3 \neq 0$, donc il n'y a pas d'extremum en $0$. Chercher les valeurs qui annulent $f'$, pas celles qui annulent $f$.[/reponse]
[reponse motif="En $x = 3$ et $x = -3$"]Non.
On a probablement résolu $f(x) = 0$ ou confondu avec les coefficients de l'expression. Bien résoudre $f'(x) = 0$, soit $3x^2 - 3 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="En $x = \sqrt{3}$ uniquement"]Non.
On a cherché les racines de $f$ sur $\mathbb{R}^+$, pas les valeurs qui annulent $f'$. Pour les extremums, étudier la dérivée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $f'(x) = 0$ et vérifier le changement de signe de $f'$ pour identifier les extremums.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lit dans un tableau de variations que $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,3]$ et décroissante sur $[3\,;\,+\infty[$. Que peut-on dire de $f$ en $x = 3$ ?
[qcm]
[option]$f$ admet un minimum local en $3$[/option]
[option correct="true"]$f$ admet un maximum local en $3$[/option]
[option]$f(3) = 0$[/option]
[option]$f'(3)$ n'existe pas[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Avant $3$, $f$ est croissante : elle augmente jusqu'à $3$. Après $3$, $f$ est décroissante : elle diminue. Donc $f$ atteint un maximum local en $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ admet un minimum local en $3$"]Non.
Le sens du changement a été inversé. Quand $f$ croît puis décroît, on est en présence d'un maximum, pas d'un minimum.[/reponse]
[reponse motif="$f(3) = 0$"]Non.
Le tableau de variations donne le sens de variation, mais ne dit rien sur la valeur précise de $f(3)$. La valeur peut être quelconque.[/reponse]
[reponse motif="$f'(3)$ n'existe pas"]Non.
Le tableau ne suggère pas une absence de dérivée. Au contraire, dans le cas usuel d'une fonction dérivable, on a $f'(3) = 0$ à un extremum local.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Croissance avant et décroissance après une valeur $a$ caractérisent un maximum local en $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Tangente et nombre dérivé

[enonce]
Ce QCM porte sur la tangente à une courbe : nombre dérivé, coefficient directeur, équation de la tangente. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ ?
[qcm]
[option]L'ordonnée du point d'abscisse $a$ sur $\mathcal{C}_f$[/option]
[option correct="true"]Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$[/option]
[option]L'ordonnée à l'origine de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$[/option]
[option]La distance entre la courbe et l'axe des abscisses en $a$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition, $f'(a)$ est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.[/reponse]
[reponse motif="L'ordonnée du point d'abscisse $a$ sur $\mathcal{C}_f$"]Non.
L'ordonnée du point sur la courbe vaut $f(a)$, pas $f'(a)$. Ne pas confondre la valeur de la fonction et celle de sa dérivée.[/reponse]
[reponse motif="L'ordonnée à l'origine de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$"]Non.
$f'(a)$ donne la pente, pas l'ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine se déduit de l'équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ en posant $x = 0$.[/reponse]
[reponse motif="La distance entre la courbe et l'axe des abscisses en $a$"]Non.
Cette distance vaut $|f(a)|$, pas $f'(a)$. Le nombre dérivé concerne la pente locale, pas une distance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre dérivé $f'(a)$ est par définition le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Quelle est l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$y = f'(a)(x - a) + f(a)$[/option]
[option]$y = f(a)(x - a) + f'(a)$[/option]
[option]$y = f'(a) \cdot x + f(a)$[/option]
[option]$y = f(a) \cdot x + f'(a)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La formule de l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ : le coefficient directeur est $f'(a)$ et la tangente passe par le point $\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$.[/reponse]
[reponse motif="$y = f(a)(x - a) + f'(a)$"]Non.
Les rôles de $f(a)$ et $f'(a)$ ont été échangés. Le coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$, pas la valeur $f(a)$.[/reponse]
[reponse motif="$y = f'(a) \cdot x + f(a)$"]Non.
Cette forme oublie le décalage en $x = a$ : la tangente doit passer par le point $\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$, ce qui impose la forme $f'(a)(x - a) + f(a)$.[/reponse]
[reponse motif="$y = f(a) \cdot x + f'(a)$"]Non.
Les deux rôles sont inversés. Bien retenir : le coefficient directeur est $f'(a)$ et l'équation s'écrit avec $(x - a)$, pas $x$ seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule à connaître est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ : pente $f'(a)$, point de passage $\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Quel est le nombre dérivé en $a = 3$ ?
[qcm]
[option]$f'(3) = 9$[/option]
[option]$f'(3) = 3$[/option]
[option correct="true"]$f'(3) = 6$[/option]
[option]$f'(3) = 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $f'(x) = 2x$. Donc $f'(3) = 2 \times 3 = 6$. La tangente en $x = 3$ a donc pour pente $6$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(3) = 9$"]Non.
$9$ est la valeur de $f(3) = 3^2$, pas du nombre dérivé. Bien dériver d'abord, puis substituer.[/reponse]
[reponse motif="$f'(3) = 3$"]Non.
La valeur $a = 3$ a été reportée sans avoir été multipliée par $2$. Calculer correctement $f'(3)$ à partir de l'expression de $f'$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(3) = 2$"]Non.
On a $f'(x) = 2x$, et non $f'(x) = 2$. Bien multiplier par $x$ après avoir dérivé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord la fonction dérivée $f'(x) = 2x$, puis substituer $x = 3$ pour obtenir le nombre dérivé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 2x$. Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a = 1$ ?
[qcm]
[option]$y = -1$[/option]
[option]$y = x - 1$[/option]
[option correct="true"]$y = x - 2$[/option]
[option]$y = x + 1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $f(1) = 1 - 2 = -1$ et $f'(x) = 3x^2 - 2$, d'où $f'(1) = 3 - 2 = 1$.
La tangente a pour équation $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 1 \times (x - 1) + (-1) = x - 2$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -1$"]Non.
On a confondu la valeur $f(1) = -1$ avec une équation de droite. La tangente est rarement horizontale : il faut aussi prendre en compte la pente $f'(1)$.[/reponse]
[reponse motif="$y = x - 1$"]Non.
La pente $f'(1) = 1$ est correcte, mais le passage par le point $(1\,;\,f(1)) = (1\,;\,-1)$ n'a pas été pris en compte. Vérifier que la tangente passe par ce point.[/reponse]
[reponse motif="$y = x + 1$"]Non.
Le coefficient directeur est juste, mais une erreur de signe est apparue dans le calcul de l'ordonnée à l'origine. Reprendre soigneusement $f'(1)(x - 1) + f(1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(a)$, $f'(a)$, puis appliquer $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable telle que $f(2) = 5$ et $f'(2) = -3$. Le point $A$ a pour coordonnées $(2\,;\,5)$. Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ ?
[qcm]
[option]$y = -3 x + 5$[/option]
[option]$y = 5 x - 3$[/option]
[option correct="true"]$y = -3 x + 11$[/option]
[option]$y = -3 x - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique $y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -3(x - 2) + 5 = -3x + 6 + 5 = -3x + 11$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -3 x + 5$"]Non.
La pente $-3$ est correcte, mais l'ordonnée à l'origine est fausse. On a confondu $f(a)$ avec l'ordonnée à l'origine ; il faut développer $f'(a)(x - a) + f(a)$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 5 x - 3$"]Non.
Les rôles de $f(a)$ et $f'(a)$ sont inversés : $f'(a) = -3$ est la pente, et $f(a) = 5$ est l'ordonnée du point.[/reponse]
[reponse motif="$y = -3 x - 1$"]Non.
Une erreur de signe dans le développement de $-3(x - 2)$. Bien distribuer le $-3$ sur $-2$ : $-3 \times -2 = +6$, pas $-6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reprendre la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ et développer soigneusement, en faisant attention aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable. Si la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est horizontale, que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option correct="true"]$f'(a) = 0$[/option]
[option]$f(a) = 0$[/option]
[option]$f'(a) = 1$[/option]
[option]$f$ est constante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une droite est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul. Comme la pente de la tangente est $f'(a)$, la condition s'écrit $f'(a) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$f(a) = 0$"]Non.
$f(a)$ est l'ordonnée du point sur la courbe, pas la pente de la tangente. La condition d'horizontalité concerne le coefficient directeur.[/reponse]
[reponse motif="$f'(a) = 1$"]Non.
$f'(a) = 1$ correspondrait à une tangente parallèle à la première bissectrice, pas à une horizontale.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est constante"]Non.
Une tangente horizontale en $a$ ne signifie pas que la fonction est constante partout : la fonction $f(x) = x^2$ a une tangente horizontale en $0$ sans être constante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La pente de la tangente en $a$ est $f'(a)$. Une droite horizontale a pour pente nulle, donc l'horizontalité de la tangente équivaut à $f'(a) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Calcul de dérivées (formules de base)

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de dérivées des fonctions usuelles : polynômes, fonctions inverses, racine carrée, exponentielle et logarithme. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$f'(x) = 4x^3$[/option]
[option]$f'(x) = x^3$[/option]
[option]$f'(x) = 4x^4$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{x^5}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La dérivée de $x^n$ est $n \times x^{n-1}$. Avec $n = 4$, on obtient $f'(x) = 4 x^{4-1} = 4x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = x^3$"]Non.
L'exposant a bien été abaissé d'une unité, mais le coefficient $n$ a été oublié. Penser à multiplier par l'exposant initial.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 4x^4$"]Non.
Le coefficient est correct, mais l'exposant n'a pas diminué. La dérivation abaisse l'exposant d'une unité.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{x^5}{5}$"]Non.
Cette expression correspond à une primitive de $x^4$, pas à sa dérivée. Pour la dérivée, l'exposant diminue, il n'augmente pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $x^n$ s'obtient avec la formule $n x^{n-1}$ : on multiplie par l'exposant et on diminue l'exposant d'une unité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ?
[qcm]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$[/option]
[option]$f'(x) = \ln(x)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$[/option]
[option]$f'(x) = -\dfrac{1}{2x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La dérivée de la fonction inverse $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$. On peut le retrouver en écrivant $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ et en dérivant : $-1 \times x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$"]Non.
La forme du résultat est correcte, mais le signe est faux. La dérivée de la fonction inverse est strictement négative : la fonction $\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \ln(x)$"]Non.
$\ln(x)$ est une primitive de $\dfrac{1}{x}$, pas sa dérivée. Ne pas confondre primitive et dérivée.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\dfrac{1}{2x}$"]Non.
Le signe est correct, mais la formule de la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ a été confondue avec une autre. Revoir la formule de la dérivée de la fonction inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$ : un signe moins et un dénominateur élevé au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$ ?
[qcm]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$[/option]
[option]$f'(x) = \sqrt{x}$[/option]
[option]$f'(x) = 2\sqrt{x}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. C'est l'une des dérivées de référence à connaître par cœur.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$"]Non.
La forme est presque correcte mais le facteur $2$ au dénominateur a été oublié. Revoir précisément la formule de la dérivée de $\sqrt{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \sqrt{x}$"]Non.
La dérivée de $\sqrt{x}$ n'est pas la fonction elle-même. Seule l'exponentielle est égale à sa propre dérivée.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2\sqrt{x}$"]Non.
Le facteur $2$ doit se trouver au dénominateur, pas multiplier $\sqrt{x}$. Penser à la formule exacte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $\sqrt{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$ ?
[qcm]
[option]$f'(x) = x e^{x-1}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = e^x$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{e^x}{x}$[/option]
[option]$f'(x) = e$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction exponentielle est l'unique fonction (à un coefficient près) égale à sa propre dérivée : $(e^x)' = e^x$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = x e^{x-1}$"]Non.
La règle $\left(x^n\right)' = n x^{n-1}$ ne s'applique pas à l'exponentielle : ici $x$ est l'exposant, pas la base. La fonction $e^x$ est traitée à part.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{e^x}{x}$"]Non.
Aucun calcul n'introduit de division par $x$ pour la dérivée de $e^x$. Cette propriété est plus simple qu'il n'y paraît.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = e$"]Non.
$e$ est la valeur en $1$, pas la dérivée. La dérivée doit dépendre de $x$ comme la fonction elle-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$e^x$ est la fonction qui est égale à sa propre dérivée : $\left(e^x\right)' = e^x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$ ?
[qcm]
[option]$f'(x) = 6x - 5x + 7$[/option]
[option]$f'(x) = 3x - 5$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = 6x - 5$[/option]
[option]$f'(x) = 6x - 5 + 7$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On dérive terme à terme : la dérivée de $3x^2$ est $6x$, celle de $-5x$ est $-5$, et celle de la constante $7$ est $0$. Donc $f'(x) = 6x - 5$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 6x - 5x + 7$"]Non.
Le terme $-5x$ et la constante $7$ n'ont pas été dérivés correctement. Dériver chaque terme séparément.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 3x - 5$"]Non.
Pour le terme $3x^2$, l'exposant a été abaissé mais le coefficient n'a pas été multiplié par $2$. Appliquer rigoureusement la formule $\left(x^n\right)' = n x^{n-1}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 6x - 5 + 7$"]Non.
La constante $7$ a été conservée alors qu'elle devait disparaître. La dérivée d'une constante est nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On dérive chaque terme : $3x^2 \to 6x$, $-5x \to -5$, et la constante $7$ a une dérivée nulle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \ln(x)$ ?
[qcm]
[option]$f'(x) = \ln(x)$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{\ln(x)}$[/option]
[option]$f'(x) = -\dfrac{1}{x}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \dfrac{1}{x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse : $\left(\ln(x)\right)' = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \ln(x)$"]Non.
Une fonction et sa dérivée ne coïncident que pour l'exponentielle (et ses multiples), pas pour le logarithme.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{\ln(x)}$"]Non.
La dérivée de $\ln(x)$ ne contient pas de logarithme. Revoir précisément cette formule de référence.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\dfrac{1}{x}$"]Non.
Attention au signe : sur $]0\,;\,+\infty[$, $\ln$ est strictement croissante, donc sa dérivée doit être strictement positive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Dérivée d’un produit, d’un quotient et d’une composée simple

[enonce]
Ce QCM porte sur les opérations sur les dérivées : dérivée d'un produit, d'un quotient, et dérivée de fonctions de la forme $e^{ax+b}$ ou $\ln(ax+b)$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$. Quelle est sa dérivée ?
[qcm]
[option]$f'(x) = 2 \times 2x = 4x$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = 6x^2 + 2x - 6$[/option]
[option]$f'(x) = 4x^2 - 6$[/option]
[option]$f'(x) = (2)(2x) = 4x$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = 2x+1$, $u' = 2$, $v = x^2 - 3$, $v' = 2x$.
Donc $f'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2 \times 2x = 4x$"]Non.
Le piège classique consiste à dériver chaque facteur séparément et à les multiplier. La dérivée d'un produit ne se calcule pas ainsi : revoir la formule $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 4x^2 - 6$"]Non.
Seule la partie $u'v$ a été calculée, le terme $uv'$ a été oublié. La formule comporte deux termes à additionner.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = (2)(2x) = 4x$"]Non.
On a multiplié les deux dérivées entre elles, ce qui est incorrect. Pour un produit, il faut appliquer $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la dérivée d'un produit, utiliser la formule $(uv)' = u'v + uv'$ : la dérivée de chaque facteur multiplie l'autre facteur (non dérivé), puis on additionne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x \, e^x$. Quelle est sa dérivée ?
[qcm]
[option correct="true"]$f'(x) = (1 + x)\, e^x$[/option]
[option]$f'(x) = e^x$[/option]
[option]$f'(x) = x\, e^x$[/option]
[option]$f'(x) = (x - 1)\, e^x$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On utilise $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = x$, $u' = 1$, $v = e^x$, $v' = e^x$.
Donc $f'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (1 + x)\, e^x$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = e^x$"]Non.
Le terme $x \times e^x$ a été oublié dans la formule du produit. La dérivée comporte deux termes : $u'v$ et $uv'$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = x\, e^x$"]Non.
On retrouve la fonction de départ : seul $uv'$ a été retenu, $u'v$ a été oublié. Penser à additionner les deux contributions.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = (x - 1)\, e^x$"]Non.
Une erreur de signe s'est glissée. Les deux contributions $u'v$ et $uv'$ s'additionnent (avec leurs signes propres), elles ne se soustraient pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $u v$ est $u' v + u v'$. Avec $u = x$ et $v = e^x$, on obtient $(1)(e^x) + (x)(e^x) = (1+x) e^x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x}{x - 1}$. Quelle est sa dérivée ?
[qcm]
[option]$f'(x) = 1$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{x - 1}$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \dfrac{-1}{(x - 1)^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - u v'}{v^2}$ avec $u = x$, $u' = 1$, $v = x - 1$, $v' = 1$.
Donc $f'(x) = \dfrac{1 \times (x-1) - x \times 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = \dfrac{-1}{(x-1)^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 1$"]Non.
On a probablement dérivé numérateur et dénominateur indépendamment. La dérivée d'un quotient ne se calcule pas en dérivant le haut et le bas séparément.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{x - 1}$"]Non.
Le dénominateur doit être élevé au carré dans la formule du quotient. Bien écrire $v^2$ et non $v$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}$"]Non.
Le dénominateur est correct mais le signe au numérateur est faux. Bien soustraire $u v'$ de $u' v$ dans le bon ordre : $u' v - u v'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la dérivée d'un quotient, utiliser la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$ et simplifier le numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{3x + 2}$. Quelle est sa dérivée ?
[qcm]
[option]$f'(x) = e^{3x + 2}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = 3 e^{3x + 2}$[/option]
[option]$f'(x) = (3x + 2) e^{3x + 1}$[/option]
[option]$f'(x) = e^{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La dérivée de $e^{ax + b}$ est $a \, e^{ax + b}$. Avec $a = 3$ et $b = 2$, on obtient $f'(x) = 3 e^{3x + 2}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = e^{3x + 2}$"]Non.
La fonction n'est pas $e^x$ mais $e^{3x + 2}$ : le coefficient $3$ devant $x$ apparaît en facteur dans la dérivée.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = (3x + 2) e^{3x + 1}$"]Non.
On a appliqué à tort la règle $(x^n)' = n x^{n-1}$ à l'exponentielle. La fonction $e^{ax+b}$ se dérive par $a \, e^{ax+b}$ : seul le coefficient devant $x$ apparaît, et l'exposant ne change pas.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = e^{3}$"]Non.
La dérivée doit dépendre de $x$, comme la fonction. Une dérivée constante correspondrait à une fonction affine, ce qui n'est pas le cas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $e^{ax + b}$ est $a \, e^{ax + b}$ : on conserve l'exponentielle et on multiplie par le coefficient devant $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $]2\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \ln(x - 2)$. Quelle est sa dérivée ?
[qcm]
[option]$f'(x) = \ln(1)$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{x - 2}{1}$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{x}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \dfrac{1}{x - 2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La dérivée de $\ln(ax + b)$ est $\dfrac{a}{ax + b}$. Avec $a = 1$ et $b = -2$, on obtient $f'(x) = \dfrac{1}{x - 2}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \ln(1)$"]Non.
$\ln(1) = 0$, ce qui ferait disparaître toute dépendance en $x$. Une dérivée constante (a fortiori nulle) ne convient pas pour cette fonction non affine.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{x - 2}{1}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. La formule $\left(\ln(u)\right)' = \dfrac{u'}{u}$ donne le numérateur $u'$ et le dénominateur $u$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{x}$"]Non.
C'est la formule pour $\ln(x)$, pas pour $\ln(x - 2)$. Bien remplacer $x$ par l'expression complète $x - 2$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $\ln(ax + b)$, la dérivée est $\dfrac{a}{ax + b}$ : au numérateur le coefficient devant $x$, au dénominateur l'expression complète.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 1)^2$. Quelle est sa dérivée ?
[qcm]
[option]$f'(x) = 2(3x - 1)$[/option]
[option]$f'(x) = (3x - 1)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = 6(3x - 1)$[/option]
[option]$f'(x) = 9x - 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On peut développer puis dériver : $f(x) = 9x^2 - 6x + 1$, donc $f'(x) = 18 x - 6 = 6(3x - 1)$. On peut aussi appliquer la formule $\left(u^2\right)' = 2 u u'$ avec $u = 3x - 1$ et $u' = 3$, ce qui donne $2(3x - 1) \times 3 = 6(3x - 1)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2(3x - 1)$"]Non.
La formule $(u^2)' = 2 u u'$ a été appliquée mais le facteur $u' = 3$ a été oublié. Multiplier aussi par la dérivée de l'expression interne.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = (3x - 1)$"]Non.
L'exposant a été abaissé mais le coefficient $2$ et le facteur $u' = 3$ ont été oubliés. La formule complète est $\left(u^n\right)' = n u^{n-1} u'$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 9x - 3$"]Non.
On reconnaît $3(3x - 1)$ : il manque encore un facteur $2$ provenant de l'exposant. Bien appliquer la formule $\left(u^2\right)' = 2 u u'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On peut développer $(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$ avant de dériver, ou utiliser directement $\left(u^2\right)' = 2 u u'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Fonctions – Convexité – Bac ES/L Centres étrangers 2013

On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $ par : $ f\left(x\right)=\dfrac{ - x^{2}+10x - 16}{x^{2}} $

On appelle $ \left(C\right) $ sa courbe représentative dans un repère.

  1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $, on a : $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - 10x+32}{x^{3}} $

    1. Étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $.
    2. En déduire le tableau de variations de $ f $ sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $.

  2. On appelle $ f^{\prime\prime} $ la dérivée seconde de $ f $ sur $ \left[2\,;8\right] $.

    On admet que, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $, on a : $ f^{\prime\prime}\left(x\right)=\dfrac{20x - 96}{x^{4}} $

    1. Montrer que $ f $ est une fonction convexe sur $ \left[4{,}8\,;8\right] $.
    2. Montrer que le point de $ \left(C\right) $ d'abscisse $ 4{,}8 $ est un point d'inflexion.

  3. On considère la fonction $ F $ définie sur $ \left[2\,;8\right] $ par : $ F\left(x\right)= - x+10\ln x +\dfrac{16}{x} $

    1. Montrer que $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ \left[2\,;8\right] $.
    2. Calculer $ I=\displaystyle\int_{2}^{8} f\left(x\right)\,dx $

Corrigé

  1. On dérive $ f $ comme un quotient $ \dfrac{u}{v} $ avec :

    $ u(x) = -x^2 + 10x - 16 $ donc $ u'(x) = -2x + 10 $

    $ v(x) = x^2 $ donc $ v'(x) = 2x $

    On applique la formule $ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} $ :

    $ f'(x) = \dfrac{(-2x + 10)x^2 - (-x^2 + 10x - 16)(2x)}{(x^2)^2} $

    $ f'(x) = \dfrac{-2x^3 + 10x^2 - (-2x^3 + 20x^2 - 32x)}{x^4} $

    $ f'(x) = \dfrac{-2x^3 + 10x^2 + 2x^3 - 20x^2 + 32x}{x^4} $

    $ f'(x) = \dfrac{-10x^2 + 32x}{x^4} = \dfrac{x(-10x + 32)}{x^4} $

    On simplifie par $ x $ (car $ x \neq 0 $ sur $ [2\,;8] $) :

    $ f'(x) = \dfrac{-10x + 32}{x^3} $

    1. Sur $ [2\,;8] $, $ x^3 > 0 $. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ -10x + 32 $.

      $ -10x + 32 \geqslant 0 \iff -10x \geqslant -32 \iff x \leqslant 3{,}2 $.

      On a donc :

    2. $ f'(x) \geqslant 0 $ sur $ [2\,;3{,}2] $.
    3. $ f'(x) \leqslant 0 $ sur $ [3{,}2\,;8] $.

    4. Tableau de variations :

      On calcule les images :

    5. $ f(2) = \dfrac{-4 + 20 - 16}{4} = 0 $
    6. $ f(3{,}2) = \dfrac{-(3{,}2)^2 + 32 - 16}{(3{,}2)^2} = \dfrac{5{,}76}{10{,}24} = 0{,}5625 $

    7. $ f(8) = \dfrac{-64 + 80 - 16}{64} = 0 $

      Tableau de variations de f

  2. Convexité :

    1. La fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive.
      On étudie le signe de $ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{20x - 96}{x^4} $.

      Sur $ [2\,;8] $, $ x^4 > 0 $. Le signe dépend de $ 20x - 96 $.

      $ 20x - 96 \geqslant 0 \iff 20x \geqslant 96 \iff x \geqslant 4{,}8 $.

      Sur $ [4{,}8\,;8] $, $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $, donc $ f $ est convexe.

    2. La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 4{,}8 $ (elle est négative avant, positive après).

      Le point d'abscisse $\mathbf{4{,}8}$ est donc un point d'inflexion de la courbe $ (C) $.

  3. Primitive et intégrale :

    1. Pour montrer que $ F $ est une primitive de $ f $, on dérive $ F $ :

      $ F(x) = -x + 10\ln(x) + \dfrac{16}{x} $

      $ F'(x) = -1 + \dfrac{10}{x} - \dfrac{16}{x^2} $

      On met au même dénominateur ($ x^2 $) :

      $ F'(x) = \dfrac{-x^2 + 10x - 16}{x^2} = f(x) $

      Donc $ F $ est bien une primitive de $ f $.

    2. Calcul de l'intégrale :

      $ I = \displaystyle\int_{2}^{8} f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_2^8 = F(8) - F(2) $

      On calcule $ F(8) $ :

      $ F(8) = -8 + 10\ln(8) + \dfrac{16}{8} = -8 + 10\ln(2^3) + 2 = -6 + 30\ln(2) $

      On calcule $ F(2) $ :

      $ F(2) = -2 + 10\ln(2) + \dfrac{16}{2} = -2 + 10\ln(2) + 8 = 6 + 10\ln(2) $

      On soustrait :

      $ I = (-6 + 30\ln(2)) - (6 + 10\ln(2)) $

      $\mathbf{I = -12 + 20\ln(2)}$