Modes de transport au collège : fractions, comparaison et proportions

Une enquête est menée auprès de $ 360 $ élèves d'un collège pour connaître leur mode de transport pour venir le matin. Les résultats sont les suivants :

$ \dfrac{5}{12} $ des élèves viennent à pied,
$ \dfrac{1}{4} $ des élèves viennent à vélo,
$ \dfrac{1}{8} $ des élèves prennent le bus,
les autres viennent en voiture.

Calculer le nombre d'élèves dans chacune des trois catégories « à pied », « à vélo » et « en bus ».
En déduire le nombre d'élèves venant en voiture.
Exprimer la proportion d'élèves venant en voiture sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum.
Comparer les fractions $ \dfrac{5}{12} $, $ \dfrac{1}{4} $, $ \dfrac{1}{8} $ et la fraction trouvée à la question 3, en les réduisant au même dénominateur. Ranger les quatre modes de transport dans l'ordre croissant de fréquence.
Le directeur du collège affirme : « Plus de la moitié des élèves viennent au collège sans véhicule motorisé (c'est-à-dire à pied ou à vélo). » A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Corrigé

On calcule chaque effectif comme une fraction de $ 360 $.

À pied : $ \dfrac{5}{12} \times 360 = \dfrac{5 \times 360}{12} = \dfrac{1\,800}{12} = 150 $
Il y a $ 150 $ élèves qui viennent à pied.

À vélo : $ \dfrac{1}{4} \times 360 = \dfrac{360}{4} = 90 $
Il y a $ 90 $ élèves qui viennent à vélo.

En bus : $ \dfrac{1}{8} \times 360 = \dfrac{360}{8} = 45 $
Il y a $ 45 $ élèves qui prennent le bus.
Les autres élèves viennent en voiture :
$ 360 - 150 - 90 - 45 = 75 $
Il y a $ 75 $ élèves qui viennent en voiture.
La proportion d'élèves venant en voiture est $ \dfrac{75}{360} $.

$ 75 $ et $ 360 $ se terminent par $ 5 $ ou $ 0 $, donc divisibles par $ 5 $ :
$ \dfrac{75}{360} = \dfrac{15}{72} $
$ 15 $ et $ 72 $ sont divisibles par $ 3 $ ($ 1 + 5 = 6 $ et $ 7 + 2 = 9 $) :
$ \dfrac{15}{72} = \dfrac{5}{24} $
$ 5 $ et $ 24 $ n'ont plus de diviseur commun autre que $ 1 $.

La proportion d'élèves venant en voiture est $\mathbf{\dfrac{5}{24}}$.
Un multiple commun de $ 12 $, $ 4 $, $ 8 $ et $ 24 $ est $ 24 $. On écrit chaque fraction avec le dénominateur $ 24 $ :
- $ \dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \times 2}{12 \times 2} = \dfrac{10}{24} $ (à pied)
- $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{6}{24} $ (à vélo)
- $ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{3}{24} $ (en bus)
- $ \dfrac{5}{24} $ (en voiture)
On compare les numérateurs : $ 3 < 5 < 6 < 10 $.

Rangement dans l'ordre croissant de fréquence :
bus < voiture < vélo < à pied
(soit $ \dfrac{1}{8} < \dfrac{5}{24} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{5}{12} $).
Le nombre d'élèves venant à pied ou à vélo est :
$ 150 + 90 = 240 $

La moitié de l'effectif total est $ \dfrac{360}{2} = 180 $.

Comme $ 240 > 180 $, plus de la moitié des élèves viennent au collège à pied ou à vélo.

Le directeur a raison.

Pour réviser : Comparer des fractions

Proportions, fractions et pourcentages dans un club de sport

Un club de sport compte $ 240 $ adhérents. Parmi eux, $ 144 $ pratiquent le football, $ 60 $ le basket-ball et le reste pratique le tennis.

Calculer le nombre d'adhérents qui pratiquent le tennis.
Pour chaque sport, exprimer la proportion d'adhérents qui le pratiquent sous forme de fraction simplifiée au maximum.
Exprimer chaque proportion sous forme de pourcentage.
Vérifier que la somme des trois pourcentages obtenus vaut bien $ 100\,\% $.

Corrigé

Le nombre d'adhérents pratiquant le tennis est :
$ 240 - 144 - 60 = 36 $
Il y a $\mathbf{36}$ adhérents qui pratiquent le tennis.
La proportion d'adhérents pratiquant un sport est le quotient du nombre d'adhérents pratiquant ce sport par le nombre total d'adhérents.

Football : $ \dfrac{144}{240} $.
$ 144 $ et $ 240 $ sont divisibles par $ 2 $, par $ 3 $, donc par $ 6 $... On peut diviser par étapes. $ 144 $ et $ 240 $ sont divisibles par $ 12 $ ($ 144 = 12 \times 12 $ et $ 240 = 12 \times 20 $) :
$ \dfrac{144}{240} = \dfrac{144 \div 12}{240 \div 12} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{12 \div 4}{20 \div 4} = $ $\mathbf{\dfrac{3}{5}}$

Basket-ball : $ \dfrac{60}{240} $.
$ 60 $ et $ 240 $ sont divisibles par $ 60 $ ($ 240 = 60 \times 4 $) :
$ \dfrac{60}{240} = \dfrac{60 \div 60}{240 \div 60} = $ $\mathbf{\dfrac{1}{4}}$

Tennis : $ \dfrac{36}{240} $.
$ 36 $ et $ 240 $ sont divisibles par $ 12 $ ($ 36 = 12 \times 3 $ et $ 240 = 12 \times 20 $) :
$ \dfrac{36}{240} = \dfrac{36 \div 12}{240 \div 12} = \dfrac{3}{20} $
$ 3 $ et $ 20 $ sont premiers entre eux : la fraction $\mathbf{\dfrac{3}{20}}$ est irréductible.
Pour exprimer chaque proportion en pourcentage, on l'écrit sous la forme d'une fraction de dénominateur $ 100 $.

Football : $ \dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 20}{5 \times 20} = \dfrac{60}{100} = $ $\mathbf{60\,\%}$.

Basket-ball : $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{25}{100} = $ $\mathbf{25\,\%}$.

Tennis : $ \dfrac{3}{20} = \dfrac{3 \times 5}{20 \times 5} = \dfrac{15}{100} = $ $\mathbf{15\,\%}$.
La somme des trois pourcentages est :
$ 60\,\% + 25\,\% + 15\,\% = 100\,\% $
Tous les adhérents sont bien comptés une seule fois, ce qui est cohérent.

Pour réviser : Exprimer une proportion en pourcentage

Fractions égales et simplification jusqu’à l’irréductible

Compléter les égalités suivantes :
1. $ \dfrac{2}{5} = \dfrac{\ldots}{20} $
2. $ \dfrac{3}{8} = \dfrac{15}{\ldots} $
3. $ \dfrac{\ldots}{9} = \dfrac{28}{63} $
4. $ \dfrac{12}{\ldots} = \dfrac{4}{15} $
Simplifier au maximum les fractions suivantes :
1. $ \dfrac{18}{24} $
2. $ \dfrac{56}{72} $
3. $ \dfrac{75}{100} $
4. $ \dfrac{84}{210} $

Corrigé

1. On passe de $ 5 $ à $ 20 $ en multipliant par $ 4 $. On multiplie aussi le numérateur par $ 4 $ :
  $ \dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} = $ $\mathbf{\dfrac{8}{20}}$.
2. On passe de $ 3 $ à $ 15 $ en multipliant par $ 5 $. On multiplie aussi le dénominateur par $ 5 $ :
  $ \dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 5}{8 \times 5} = \dfrac{15}{40} $.
  Le dénominateur cherché est $\mathbf{40}$.
3. On passe de $ 63 $ à $ 9 $ en divisant par $ 7 $. On divise aussi le numérateur par $ 7 $ :
  $ \dfrac{28}{63} = \dfrac{28 \div 7}{63 \div 7} = \dfrac{4}{9} $.
  Le numérateur cherché est $\mathbf{4}$.
4. On passe de $ 12 $ à $ 4 $ en divisant par $ 3 $. On divise aussi le dénominateur par $ 3 $ :
  $ \dfrac{4}{15} = \dfrac{4 \times 3}{15 \times 3} = \dfrac{12}{45} $.
  Le dénominateur cherché est $\mathbf{45}$.
1. $ 18 $ et $ 24 $ sont pairs : on divise par $ 2 $.
  $ \dfrac{18}{24} = \dfrac{9}{12} $
  $ 9 $ et $ 12 $ sont divisibles par $ 3 $ ($ 9 = 3 \times 3 $ et $ 12 = 3 \times 4 $) :
  $ \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} $
  $ 3 $ et $ 4 $ n'ont plus de diviseur commun autre que $ 1 $ : $\mathbf{\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}}$.
2. $ 56 $ et $ 72 $ sont pairs : on divise par $ 2 $.
  $ \dfrac{56}{72} = \dfrac{28}{36} $
  $ 28 $ et $ 36 $ sont encore pairs :
  $ \dfrac{28}{36} = \dfrac{14}{18} $
  $ 14 $ et $ 18 $ sont encore pairs :
  $ \dfrac{14}{18} = \dfrac{7}{9} $
  $ 7 $ et $ 9 $ n'ont aucun diviseur commun autre que $ 1 $ : $\mathbf{\dfrac{56}{72} = \dfrac{7}{9}}$.
3. $ 75 $ et $ 100 $ se terminent par $ 5 $ ou $ 0 $, donc divisibles par $ 5 $ :
  $ \dfrac{75}{100} = \dfrac{15}{20} $
  $ 15 $ et $ 20 $ sont encore divisibles par $ 5 $ :
  $ \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} $
  $ 3 $ et $ 4 $ sont premiers entre eux : $\mathbf{\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}}$.
4. $ 84 $ et $ 210 $ sont pairs :
  $ \dfrac{84}{210} = \dfrac{42}{105} $
  $ 4 + 2 = 6 $ (divisible par $ 3 $) et $ 1 + 0 + 5 = 6 $ (divisible par $ 3 $) : on divise par $ 3 $.
  $ \dfrac{42}{105} = \dfrac{14}{35} $
  $ 14 $ et $ 35 $ sont divisibles par $ 7 $ ($ 14 = 7 \times 2 $ et $ 35 = 7 \times 5 $) :
  $ \dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5} $
  $ 2 $ et $ 5 $ n'ont plus de diviseur commun autre que $ 1 $ : $\mathbf{\dfrac{84}{210} = \dfrac{2}{5}}$.

Pour réviser : Simplifier une fraction

Vrai/Faux : Fractions égales et simplification

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les fractions égales et la simplification, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Plusieurs pièges classiques sont à repérer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque le seul diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition : si $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$, on ne peut plus simplifier la fraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$. Tant qu'il existe un tel diviseur, on peut encore simplifier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une fraction est irréductible quand $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On peut obtenir une fraction égale à $\dfrac{2}{5}$ en ajoutant $3$ au numérateur et $3$ au dénominateur, ce qui donne $\dfrac{5}{8}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La propriété fondamentale concerne la multiplication (ou la division), pas l'addition. En vérifiant : $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $\dfrac{5}{8} = 0{,}625$, donc ces fractions ne sont pas égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire qu'on peut ajouter le même nombre en haut et en bas. Or seules la multiplication et la division par un même nombre non nul conservent la valeur d'une fraction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété fondamentale concerne la multiplication ou la division, pas l'addition. $\dfrac{5}{8}$ n'est pas égale à $\dfrac{2}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les fractions $\dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{6}{9}$ sont égales.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On simplifie chacune : $\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}$. Les deux donnent la même forme irréductible $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas se fier à l'apparence : numérateurs et dénominateurs sont différents, mais les deux fractions se simplifient en $\dfrac{2}{3}$. Diviser numérateur et dénominateur de chacune par leur diviseur commun le permet de vérifier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux fractions ont la même forme irréductible $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{20}{30}$ est irréductible.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$20$ et $30$ ont plusieurs diviseurs communs ($2$, $5$, $10$). En divisant par $10$ : $\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$, qui est la vraie forme irréductible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avoir des chiffres différents ne suffit pas pour qu'une fraction soit irréductible. Il faut vérifier qu'aucun nombre autre que $1$ ne divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Or $20$ et $30$ sont tous deux divisibles par $10$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $20$ et $30$ sont divisibles par $10$, donc $\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$ : la forme irréductible est $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{8}{12}$ a été simplifiée correctement en $\dfrac{4}{6}$, qui en est la forme irréductible.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La simplification a été commencée mais pas terminée : $4$ et $6$ ont encore un diviseur commun, $2$. La forme irréductible est $\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La première simplification est correcte, mais elle s'est arrêtée trop tôt. Pour qu'une fraction soit irréductible, il faut s'assurer qu'il n'existe plus aucun diviseur commun. Ici $4$ et $6$ sont encore divisibles par $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{4}{6}$ se simplifie encore en $\dfrac{2}{3}$, qui est la véritable forme irréductible.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour rendre $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{4}{6}$ comparables, il est utile de les écrire avec un même dénominateur, par exemple $18$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$18$ est un multiple commun à $9$ et $6$ ($9 \times 2 = 18$ et $6 \times 3 = 18$). On peut donc écrire $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$ et $\dfrac{4}{6} = \dfrac{12}{18}$, ce qui rend la comparaison directe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut chercher un nombre qui soit à la fois multiple de $9$ et de $6$. C'est le cas de $18$ : $18 = 9 \times 2 = 6 \times 3$. On peut donc transformer chaque fraction en $\dfrac{?}{18}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $18$ est un multiple commun à $9$ et $6$, ce qui permet d'écrire les deux fractions avec ce dénominateur commun.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Proportions et pourcentages

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : proportion, pourcentage, fraction d'une grandeur et comparaison. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans une classe de $25$ élèves, $10$ sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]$40\,\%$[/option]
[option]$10\,\%$[/option]
[option]$25\,\%$[/option]
[option]$4\,\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La proportion vaut $\dfrac{10}{25}$. On l'écrit avec un dénominateur $100$ : $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$.[/reponse]
[reponse motif="$10\,\%$"]Non.
Le numérateur a été lu directement comme un pourcentage, sans le rapporter à un dénominateur de $100$.[/reponse]
[reponse motif="$25\,\%$"]Non.
La valeur $25$ correspond au nombre total d'élèves (le dénominateur), pas au pourcentage de demi-pensionnaires.[/reponse]
[reponse motif="$4\,\%$"]Non.
Cette valeur correspond au coefficient multiplicateur ($\times 4$) qu'on applique pour passer du dénominateur $25$ à $100$, pas au pourcentage final.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la proportion sous forme de fraction $\dfrac{10}{25}$, puis la transformer en fraction de dénominateur $100$ : le numérateur obtenu est le pourcentage.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Exprimer $\dfrac{3}{4}$ en pourcentage.
[qcm]
[option]$34\,\%$[/option]
[option]$43\,\%$[/option]
[option]$0{,}75\,\%$[/option]
[option correct="true"]$75\,\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On écrit la fraction avec un dénominateur $100$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{75}{100} = 75\,\%$.[/reponse]
[reponse motif="$34\,\%$"]Non.
Les chiffres $3$ et $4$ ont été collés tels quels : un pourcentage ne s'obtient pas par juxtaposition du numérateur et du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$43\,\%$"]Non.
Comme dans la confusion précédente, le numérateur et le dénominateur ont été collés (et ici inversés). Il faut transformer la fraction pour obtenir un dénominateur $100$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75\,\%$"]Non.
La valeur $0{,}75$ est le résultat de $3 \div 4$ exprimé en décimal. Pour obtenir le pourcentage, il faut multiplier ce décimal par $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver le coefficient qui transforme $4$ en $100$ (ici $25$), puis l'appliquer au numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Convertir $35\,\%$ sous forme de fraction irréductible.
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{35}{100}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{35}$[/option]
[option]$\dfrac{35}{1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$35\,\% = \dfrac{35}{100}$. On simplifie en divisant par $5$ : $\dfrac{35 \div 5}{100 \div 5} = \dfrac{7}{20}$. Les nombres $7$ et $20$ n'ont plus de diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{35}{100}$"]Non.
La fraction est correcte, mais elle n'est pas irréductible : numérateur et dénominateur sont tous deux divisibles par $5$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{35}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. Un pourcentage s'écrit avec $100$ au dénominateur, pas au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{35}{1}$"]Non.
Le dénominateur $100$ a disparu : un pourcentage est par définition une fraction de dénominateur $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire le pourcentage sous la forme $\dfrac{35}{100}$, puis simplifier en divisant numérateur et dénominateur par leurs diviseurs communs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois proportions sont à comparer : $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{45}{100}$ et $\dfrac{3}{8}$. Laquelle est la plus grande ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{45}{100}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option]Elles sont toutes égales[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Convertissons en pourcentages : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$, $\dfrac{45}{100} = 45\,\%$ et $\dfrac{3}{8} = \dfrac{37{,}5}{100} = 37{,}5\,\%$. Le plus grand est $45\,\%$, soit $\dfrac{45}{100}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5} = 40\,\%$. Comparer ce résultat aux deux autres.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
$\dfrac{3}{8} = 37{,}5\,\%$, c'est en fait la plus petite des trois.[/reponse]
[reponse motif="Elles sont toutes égales"]Non.
Une fois ramenées au même dénominateur (par exemple $100$ ou $40$), les numérateurs apparaissent différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir chaque fraction en pourcentage (dénominateur $100$) ou réduire au même dénominateur, puis comparer les numérateurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un pull qui coûtait $80$ € est soldé : on enlève $\dfrac{1}{4}$ du prix initial. Quel est son nouveau prix ?
[qcm]
[option]$20$ €[/option]
[option]$76$ €[/option]
[option]$79$ €[/option]
[option correct="true"]$60$ €[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La réduction vaut $\dfrac{1}{4}$ de $80$, soit $80 \div 4 = 20$ €. Le nouveau prix est donc $80 - 20 = 60$ €.[/reponse]
[reponse motif="$20$ €"]Non.
La valeur $20$ € est le montant de la réduction, pas le nouveau prix. Il faut encore la retrancher du prix initial.[/reponse]
[reponse motif="$76$ €"]Non.
Seule la valeur $4$ a été soustraite : la fraction $\dfrac{1}{4}$ a été lue comme $4$ €. Or il faut retrancher $\dfrac{1}{4}$ du prix, c'est-à-dire $80 \div 4$.[/reponse]
[reponse motif="$79$ €"]Non.
Seul le numérateur $1$ a été retranché : on a calculé $80 - 1$ au lieu de retrancher $\dfrac{1}{4}$ de $80$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord le montant de la réduction ($\dfrac{1}{4}$ de $80$), puis le retrancher du prix initial.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un parking, $\dfrac{2}{5}$ des voitures sont blanches et $30\,\%$ sont noires. Quelle proportion représente la plus grande couleur ?
[qcm]
[option]$30\,\%$ (noires)[/option]
[option]Les deux proportions sont égales[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{5}$ (blanches)[/option]
[option]Impossible à comparer[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On écrit les deux proportions avec un dénominateur $100$ : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$ et $30\,\% = \dfrac{30}{100}$. Comme $40 > 30$, les blanches sont plus nombreuses.[/reponse]
[reponse motif="$30\,\%$ (noires)"]Non.
Le pourcentage $30\,\%$ semble plus grand que la fraction $\dfrac{2}{5}$ « à l'œil », mais en convertissant cette fraction en pourcentage, l'ordre s'inverse.[/reponse]
[reponse motif="Les deux proportions sont égales"]Non.
Une fois écrites avec le même dénominateur, les deux fractions ont des numérateurs différents.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à comparer"]Non.
Une fraction et un pourcentage peuvent toujours être comparés : il suffit de les écrire avec le même dénominateur (souvent $100$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir la fraction en pourcentage (dénominateur $100$), puis comparer les deux pourcentages.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Fractions égales et simplification

[enonce]
Ce QCM porte sur les fractions égales et la simplification. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Compléter l'égalité : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{?}{20}$.
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$15$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$20$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour passer du dénominateur $4$ à $20$, on multiplie par $5$. On multiplie aussi le numérateur par $5$ : $3 \times 5 = 15$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
La valeur $5$ correspond au coefficient multiplicateur, pas au nouveau numérateur. Une fois le coefficient trouvé, il faut l'appliquer au numérateur initial.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Le numérateur a été multiplié par $3$ au lieu de $5$. Vérifier le coefficient à utiliser : par combien faut-il multiplier $4$ pour obtenir $20$ ?[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
Cette valeur donnerait $\dfrac{20}{20} = 1$, ce qui n'est pas égal à $\dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver le coefficient qui transforme l'ancien dénominateur en nouveau, puis appliquer ce coefficient au numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Compléter l'égalité : $\dfrac{?}{15} = \dfrac{12}{45}$.
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$36$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour passer de $45$ à $15$, on divise par $3$. On divise aussi le numérateur par $3$ : $12 \div 3 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Le numérateur initial a été recopié sans simplification. Or, en changeant le dénominateur, on doit aussi modifier le numérateur en conséquence.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
Le numérateur a été multiplié par $3$. Mais le dénominateur a été divisé par $3$ ($45 \to 15$) : il faut donc également diviser le numérateur, pas le multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Cette valeur ne correspond pas à une opération cohérente entre numérateur et dénominateur. Identifier d'abord le coefficient qui relie $45$ à $15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier l'opération (multiplication ou division) qui passe de l'ancien dénominateur au nouveau, puis appliquer la même opération au numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme irréductible de $\dfrac{18}{24}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{9}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD, $6$ : $\dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$. Les nombres $3$ et $4$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{12}$"]Non.
La simplification est incomplète : on a divisé seulement par $2$. Or $9$ et $12$ ont encore un diviseur commun, $3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{8}$"]Non.
La simplification est incomplète : on a divisé seulement par $3$. Or $6$ et $8$ ont encore un diviseur commun, $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{3}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. La fraction obtenue est plus grande que $1$, ce qui ne peut pas être le cas de $\dfrac{18}{24}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Diviser numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun (ici $6$) pour obtenir directement la forme irréductible.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces fractions, laquelle est irréductible ?
[qcm]
[option]$\dfrac{15}{25}$[/option]
[option]$\dfrac{14}{21}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{8}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{18}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les diviseurs de $8$ sont $1, 2, 4, 8$ ; ceux de $15$ sont $1, 3, 5, 15$. Le seul diviseur commun est $1$ : la fraction est irréductible.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{25}$"]Non.
Cette fraction se simplifie : $15$ et $25$ sont tous deux divisibles par $5$. On obtient $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{14}{21}$"]Non.
Cette fraction se simplifie : $14$ et $21$ sont tous deux divisibles par $7$. On obtient $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{18}$"]Non.
Cette fraction se simplifie : $12$ et $18$ sont tous deux divisibles par $6$. On obtient $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$. Tester les petits diviseurs ($2$, $3$, $5$, $7$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle fraction est égale à $\dfrac{4}{7}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{12}{21}$[/option]
[option]$\dfrac{8}{21}$[/option]
[option]$\dfrac{14}{17}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On multiplie numérateur et dénominateur par $3$ : $\dfrac{4 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{12}{21}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{21}$"]Non.
Le numérateur a été multiplié par $2$ et le dénominateur par $3$ : ce sont des coefficients différents. Pour conserver la valeur, on doit appliquer le même coefficient en haut et en bas.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{14}{17}$"]Non.
On a ajouté $10$ en haut et en bas : la propriété fondamentale concerne la multiplication et la division, pas l'addition.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{4}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été échangés. Cette inversion change la valeur de la fraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour obtenir une fraction égale, on multiplie (ou divise) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\dfrac{36}{60}$ jusqu'à sa forme irréductible.
[qcm]
[option]$\dfrac{18}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{10}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{9}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On divise numérateur et dénominateur par $12$ : $\dfrac{36 \div 12}{60 \div 12} = \dfrac{3}{5}$. Les nombres $3$ et $5$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{18}{30}$"]Non.
La simplification s'est arrêtée au premier diviseur commun ($2$). Or $18$ et $30$ sont encore tous deux divisibles par $6$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{10}$"]Non.
La simplification s'est arrêtée à $6$ alors qu'il restait $2$ comme diviseur commun à $6$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{15}$"]Non.
La simplification s'est arrêtée à $4$ alors qu'il restait $3$ comme diviseur commun à $9$ et $15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Continuer à diviser numérateur et dénominateur par les diviseurs communs jusqu'à ce qu'il n'en reste plus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]