Vrai/Faux : Équations dans ℂ
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les équations dans $\mathbb{C}$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Toute équation du second degré à coefficients réels admet au moins une solution dans $\mathbb{C}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Selon le signe du discriminant, l'équation admet soit deux racines réelles distinctes ($\Delta > 0$), soit une racine double réelle ($\Delta = 0$), soit deux racines complexes conjuguées non réelles ($\Delta < 0$). Dans tous les cas, il existe au moins une racine dans $\mathbb{C}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La grande propriété de $\mathbb{C}$ est précisément de garantir l'existence de racines pour toutes les équations polynomiales (théorème de d'Alembert). Pour le second degré, on dispose toujours de la formule $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ quand $\Delta < 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans $\mathbb{C}$, le second degré possède toujours des racines (deux comptées avec multiplicité), quel que soit le signe du discriminant.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Les solutions de l'équation $z^{2} + 4 = 0$ dans $\mathbb{C}$ sont $z = 2i$ et $z = -2i$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$z^{2} + 4 = 0$ équivaut à $z^{2} = -4$. On vérifie : $(2i)^{2} = 4i^{2} = -4$ et $(-2i)^{2} = -4$ également. L'équation a donc bien deux solutions $\pm 2i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour $z^{2} = -a$ (avec $a > 0$), les solutions s'écrivent $z = \pm i\sqrt{a}$. Ici $\sqrt{4} = 2$, ce qui donne $z = 2i$ ou $z = -2i$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $z^{2} = -4$ admet exactement les deux solutions opposées $2i$ et $-2i$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'équation $z^{2} = -3$ admet pour unique solution dans $\mathbb{C}$ le nombre $z = i\sqrt{3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On a oublié l'opposé. Si $z_{0}^{2} = a$, alors $(-z_{0})^{2} = a$ aussi. Les deux solutions sont $z = i\sqrt{3}$ et $z = -i\sqrt{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une équation $z^{2} = a$ avec $a \neq 0$ admet deux solutions opposées dans $\mathbb{C}$. Ici, $i\sqrt{3}$ est solution, mais $-i\sqrt{3}$ aussi : on ne peut pas n'en retenir qu'une.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation $z^{2} = -3$ a deux solutions opposées : $i\sqrt{3}$ et $-i\sqrt{3}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère l'équation $z^{2} - 2z + 5 = 0$.
Affirmation : Si $z_{0}$ est solution de cette équation, alors $\overline{z_{0}}$ aussi.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les coefficients $1, -2, 5$ sont tous réels. En prenant le conjugué de l'équation $z_{0}^{2} - 2z_{0} + 5 = 0$, on obtient $\overline{z_{0}}^{2} - 2\overline{z_{0}} + 5 = 0$ : $\overline{z_{0}}$ est donc aussi solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une propriété générale des polynômes à coefficients réels : leurs racines complexes apparaissent par paires de conjuguées.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les coefficients étant réels, le conjugué d'une racine est encore racine. Ici, les solutions sont $1 + 2i$ et $1 - 2i$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère l'équation $z^{2} - 2z + 10 = 0$ dans $\mathbb{C}$.
Affirmation : La somme des deux solutions de cette équation est un imaginaire pur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme des racines vaut $S = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2}{1} = 2$, qui est un réel (en fait un entier). Plus généralement, pour des coefficients réels avec $\Delta < 0$, les deux racines sont conjuguées et leur somme vaut $2 \, \text{Re}(z_{0})$, donc bien un réel.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On a peut-être pensé que les solutions « complexes » donnent forcément une somme complexe non réelle. Au contraire, les parties imaginaires opposées des deux racines conjuguées s'annulent dans la somme.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les deux racines conjuguées $1 \pm 3i$ ont pour somme $2$, qui est un réel et non un imaginaire pur.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si le discriminant de $az^{2} + bz + c = 0$ ($a, b, c$ réels) vaut $0$, l'équation n'admet aucune solution dans $\mathbb{C}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Quand $\Delta = 0$, l'équation admet une racine double $z = -\dfrac{b}{2a}$, qui est un réel. Ce n'est pas l'absence de solution mais bien une solution unique (de multiplicité $2$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Bien distinguer les trois cas : $\Delta > 0$ donne deux racines réelles distinctes, $\Delta = 0$ donne une racine double réelle, $\Delta < 0$ donne deux racines complexes conjuguées. Dans aucun cas l'ensemble de solutions n'est vide.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Quand $\Delta = 0$, l'équation admet une racine double réelle $z = -\dfrac{b}{2a}$.
[/solution]
[/etape]
QCM : Équations du second degré dans ℂ
[enonce]
Ce QCM porte sur les équations du second degré dans $\mathbb{C}$ à coefficients réels : discriminant négatif, racines conjuguées et relations entre coefficients et racines. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Les solutions de l'équation $z^{2} + 1 = 0$ dans $\mathbb{C}$ sont :
[qcm]
[option]$1$ et $-1$[/option]
[option correct="true"]$i$ et $-i$[/option]
[option]$i$ uniquement[/option]
[option]Aucune solution[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$z^{2} + 1 = 0$ s'écrit $z^{2} = -1$. Or $i^{2} = -1$ et $(-i)^{2} = -1$, donc l'équation admet exactement deux solutions : $z = i$ et $z = -i$.[/reponse]
[reponse motif="$1$ et $-1$"]Non.
Les solutions de $z^{2} = 1$ valent $\pm 1$, mais l'équation porte sur $z^{2} = -1$. Le signe $-$ est essentiel.[/reponse]
[reponse motif="$i$ uniquement"]Non.
On a oublié une solution. Si $z_{0}$ est solution alors $-z_{0}$ aussi : pour une équation du second degré dans $\mathbb{C}$, il y a (en comptant les multiplicités) deux solutions.[/reponse]
[reponse motif="Aucune solution"]Non.
C'est vrai dans $\mathbb{R}$ : aucun réel n'a un carré négatif. Mais dans $\mathbb{C}$ on dispose de $i$ avec $i^{2} = -1$, ce qui résout précisément ce problème.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{2} = a$ avec $a < 0$ admet deux solutions opposées qui font intervenir $i$. Pour $z^{2} = -1$, ces solutions sont $\pm i$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le discriminant de l'équation $z^{2} - 2z + 5 = 0$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$-16$[/option]
[option]$16$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$-24$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Avec $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$ :
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
Erreur de signe : $4 - 20 = -16$, et non $+16$. Penser à effectuer la soustraction dans le bon ordre ($b^{2} - 4ac$).[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
On a appliqué $b^{2} + 4ac$ au lieu de $b^{2} - 4ac$. La formule correcte du discriminant comporte un signe moins.[/reponse]
[reponse motif="$-24$"]Non.
Deux erreurs cumulées de signe. Reprendre proprement $\Delta = b^{2} - 4ac$ avec $b = -2$ et $ac = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $a$, $b$, $c$ et appliquer $\Delta = b^{2} - 4ac$ en respectant le signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Les solutions dans $\mathbb{C}$ de $z^{2} - 2z + 5 = 0$ sont :
[qcm]
[option correct="true"]$1 + 2i$ et $1 - 2i$[/option]
[option]$-1 + 2i$ et $-1 - 2i$[/option]
[option]$1 + 4i$ et $1 - 4i$[/option]
[option]Aucune solution[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $\Delta = -16 < 0$. Les solutions sont $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.
Les deux racines sont conjuguées, ce qui est attendu pour des coefficients réels avec $\Delta < 0$.[/reponse]
[reponse motif="$-1 + 2i$ et $-1 - 2i$"]Non.
Erreur de signe sur la partie réelle : avec $b = -2$, on a $-b = +2$, donc $\dfrac{-b}{2a} = +1$ et non $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$1 + 4i$ et $1 - 4i$"]Non.
On a oublié de prendre la racine carrée dans $i\sqrt{-\Delta}$. $\sqrt{16} = 4$ donne $i\sqrt{-\Delta} = 4i$, mais il faut encore diviser par $2a = 2$.[/reponse]
[reponse motif="Aucune solution"]Non.
Quand $\Delta < 0$, l'équation a bien deux solutions complexes conjuguées dans $\mathbb{C}$. Aucune solution dans $\mathbb{R}$ ne signifie pas aucune solution dans $\mathbb{C}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $\Delta < 0$, appliquer $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ en simplifiant la racine et en divisant chaque terme du numérateur par $2a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $az^{2} + bz + c = 0$ avec $a, b, c$ réels, $a \neq 0$ et $\Delta < 0$. Si $z_{1}$ est solution, alors :
[qcm]
[option correct="true"]$z_{2} = \overline{z_{1}}$[/option]
[option]$z_{2} = -z_{1}$[/option]
[option]$z_{2} = z_{1}$[/option]
[option]$z_{2}$ n'existe pas[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour des coefficients réels, prendre le conjugué de l'équation $az^{2} + bz + c = 0$ donne $a\overline{z}^{2} + b\overline{z} + c = 0$. Donc $\overline{z_{1}}$ est aussi solution. Comme $\Delta < 0$, $z_{1}$ n'est pas réel et $\overline{z_{1}} \neq z_{1}$ : c'est bien la deuxième solution.[/reponse]
[reponse motif="$z_{2} = -z_{1}$"]Non.
$-z_{1}$ est l'opposé, pas le conjugué. Sauf cas particulier (équation de la forme $z^{2} + c = 0$), $-z_{1}$ n'est pas solution.[/reponse]
[reponse motif="$z_{2} = z_{1}$"]Non.
Quand $\Delta < 0$, les deux racines sont distinctes. Une racine double n'apparaît que si $\Delta = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$z_{2}$ n'existe pas"]Non.
Dans $\mathbb{C}$, une équation du second degré a toujours (au moins) deux racines comptées avec multiplicité, contrairement à la situation dans $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour des coefficients réels, les racines complexes apparaissent toujours par paires de conjuguées. C'est la propriété centrale des équations à coefficients réels.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour l'équation $z^{2} - 4z + 13 = 0$, la somme $S$ et le produit $P$ des racines valent :
[qcm]
[option]$S = -4$, $P = 13$[/option]
[option correct="true"]$S = 4$, $P = 13$[/option]
[option]$S = 4$, $P = -13$[/option]
[option]$S = 13$, $P = 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour $az^{2} + bz + c = 0$, on a $S = -\dfrac{b}{a}$ et $P = \dfrac{c}{a}$.
Ici $a = 1$, $b = -4$, $c = 13$ : $S = -\dfrac{-4}{1} = 4$ et $P = \dfrac{13}{1} = 13$.[/reponse]
[reponse motif="$S = -4$, $P = 13$"]Non.
Erreur de signe sur la somme : la formule est $S = -\dfrac{b}{a}$. Avec $b = -4$, on obtient $S = +4$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 4$, $P = -13$"]Non.
Le produit s'obtient avec $P = \dfrac{c}{a}$ (sans signe moins). Ici $c = +13$, donc $P = +13$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 13$, $P = 4$"]Non.
Les rôles de la somme et du produit ont été échangés. La somme se calcule à partir de $b$ (coefficient en $z$), le produit à partir de $c$ (coefficient constant).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Mémoriser les relations de Viète : $S = -\dfrac{b}{a}$ (somme) et $P = \dfrac{c}{a}$ (produit), avec leurs signes respectifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
L'équation $z^{2} + z + 1 = 0$ admet, dans $\mathbb{C}$ :
[qcm]
[option]Deux solutions réelles distinctes[/option]
[option]Une racine réelle double[/option]
[option correct="true"]Deux solutions complexes conjuguées non réelles[/option]
[option]Aucune solution[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\Delta = 1^{2} - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$. Avec un discriminant strictement négatif et des coefficients réels, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées non réelles : $z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="Deux solutions réelles distinctes"]Non.
Deux solutions réelles distinctes correspondent à $\Delta > 0$. Or ici $\Delta = -3$, qui est strictement négatif.[/reponse]
[reponse motif="Une racine réelle double"]Non.
Une racine double correspond à $\Delta = 0$. Ici $\Delta = -3 \neq 0$.[/reponse]
[reponse motif="Aucune solution"]Non.
C'est vrai dans $\mathbb{R}$, mais l'énoncé précise que l'on travaille dans $\mathbb{C}$. Dans $\mathbb{C}$, on dispose toujours de deux racines (à multiplicité près).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le discriminant $\Delta = b^{2} - 4ac$ et conclure : $\Delta > 0$ donne deux racines réelles, $\Delta = 0$ une racine double, $\Delta < 0$ deux racines complexes conjuguées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
