Vrai/Faux : Forme exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la forme exponentielle d'un nombre complexe, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : On a $e^{i\pi} + 1 = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est l'identité d'Euler. On a $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$, donc $e^{i\pi} + 1 = 0$. Cette identité réunit les cinq nombres fondamentaux $0$, $1$, $i$, $\pi$, $e$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer $e^{i\pi}$ avec la définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ : on obtient $-1$, donc $e^{i\pi} + 1 = -1 + 1 = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'identité d'Euler : $e^{i\pi} = -1$ donc $e^{i\pi} + 1 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $\theta$, on a $\left|e^{i\theta}\right| = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc $\left|e^{i\theta}\right| = \sqrt{\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta} = \sqrt{1} = 1$.
Géométriquement, le point d'affixe $e^{i\theta}$ est sur le cercle trigonométrique, donc à distance $1$ de l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le module de $e^{i\theta}$ se calcule à partir de la forme algébrique $\cos\theta + i\sin\theta$ : on retrouve la relation $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left|e^{i\theta}\right|^{2} = \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$, donc $\left|e^{i\theta}\right| = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, on a $e^{i(\theta + \theta')} = e^{i\theta} + e^{i\theta'}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La règle correcte est $e^{i(\theta + \theta')} = e^{i\theta} \times e^{i\theta'}$ (produit, pas somme).
Contre-exemple : $\theta = \theta' = 0$ donne $e^{0} = 1$ à gauche et $1 + 1 = 2$ à droite : l'égalité est fausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Ne pas confondre les deux règles : la propriété de la somme des arguments correspond à un produit des exponentielles, pas à une somme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La règle correcte est $e^{i(\theta + \theta')} = e^{i\theta} \times e^{i\theta'}$ (les arguments s'additionnent quand les exponentielles se multiplient).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, on a $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la propriété fondamentale de la forme exponentielle, hérité des règles habituelles de l'exponentielle réelle. Elle se démontre en développant le produit avec les formules de Moivre ou en observant que $\cos$ et $\sin$ vérifient les formules d'addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La propriété $e^{i\theta} \cdot e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ est l'analogue complexe de la règle $e^{a} \cdot e^{b} = e^{a+b}$. Les arguments s'additionnent lors d'un produit.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la règle de calcul fondamentale de la forme exponentielle : produire des exponentielles revient à additionner les arguments.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On a $e^{2i\pi} = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$e^{2i\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0 = 1$. Un argument $2\pi$ correspond à un tour complet, on revient au point de départ : la valeur est $1$, pas $0$.
Le nombre $0$ n'a d'ailleurs pas de forme exponentielle, puisqu'il n'a ni argument ni module strictement positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Aucune exponentielle complexe $e^{i\theta}$ n'est nulle, car $\left|e^{i\theta}\right| = 1$ et un nombre de module $1$ ne peut pas être nul. Pour $\theta = 2\pi$, on retrouve $e^{i \cdot 2\pi} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $e^{i \cdot 2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1$ (un tour complet ramène à $1$). Aucun $e^{i\theta}$ n'est nul, puisque son module vaut $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $z = re^{i\theta}$ un nombre complexe non nul (avec $r > 0$).

Affirmation : Le conjugué de $z$ s'écrit $\overline{z} = r\,e^{-i\theta}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le passage au conjugué conserve le module ($|\overline{z}| = |z| = r$) et change le signe de l'argument ($\arg(\overline{z}) = -\arg(z) = -\theta$). Donc $\overline{z} = r\,e^{-i\theta}$.
On peut aussi vérifier : $r\,e^{-i\theta} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = r(\cos\theta - i\sin\theta) = \overline{z}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le conjugué correspond à la symétrie par rapport à l'axe $(O\vec{u})$ : la distance à $O$ est inchangée, l'angle est opposé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La conjugaison conserve le module et change le signe de l'argument : $\overline{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Nombres complexes et géométrie

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : forme exponentielle, formule de Moivre, configurations géométriques et inverse d'un complexe. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La forme exponentielle de $z = 2 - 2i$ est :
[qcm]
[option]$2\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[option]$4\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[option]$2\sqrt{2}\,e^{-i\,3\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z| = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Pour l'argument : $\cos\theta = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. L'image de $z$ est dans le quatrième quadrant : $\theta = -\dfrac{\pi}{4}$.
Donc $z = 2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$"]Non.
Le signe de l'argument est faux : la partie imaginaire de $z$ est négative, donc $\sin\theta < 0$ et l'argument est négatif (modulo $2\pi$).[/reponse]
[reponse motif="$4\,e^{-i\pi/4}$"]Non.
Le module est mal calculé : $|z|^{2} = 4 + 4 = 8$, donc $|z| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ (et non $4$).[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}\,e^{-i\,3\pi/4}$"]Non.
$-\dfrac{3\pi}{4}$ correspond au troisième quadrant ($\cos < 0$, $\sin < 0$). Or pour $z = 2 - 2i$, on a $a = 2 > 0$ : on est dans le quatrième quadrant (à droite et en bas).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $|z|$ et déterminer le quadrant à partir des signes de la partie réelle et imaginaire. Pour $z = 2 - 2i$, image en bas à droite, l'argument est entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(0)$, $B(2)$ et $C(1 + i\sqrt{3})$. Le triangle $ABC$ est :
[qcm]
[option]rectangle en $A$ et non isocèle[/option]
[option]isocèle en $A$ mais pas équilatéral[/option]
[option correct="true"]équilatéral[/option]
[option]quelconque[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On forme $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.
Module : $|Z| = \dfrac{\sqrt{1 + 3}}{2} = 1$, donc $AC = AB$ (isocèle en $A$).
Argument : $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\arg(Z) = \dfrac{\pi}{3}$.
Triangle isocèle avec un angle $\dfrac{\pi}{3}$ : c'est un triangle équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="rectangle en $A$ et non isocèle"]Non.
Pour qu'il soit rectangle en $A$, il faudrait $\arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{2}$, donc $Z$ imaginaire pur. Or $Z = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ a une partie réelle non nulle.[/reponse]
[reponse motif="isocèle en $A$ mais pas équilatéral"]Non.
$|Z| = 1$ donne bien isocèle en $A$. Mais l'angle vaut $\dfrac{\pi}{3}$ : un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $\dfrac{\pi}{3}$ a tous ses angles égaux à $\dfrac{\pi}{3}$, il est donc équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="quelconque"]Non.
Calculer effectivement le module et l'argument de $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ révèle ici une structure très particulière (module $1$, argument $\dfrac{\pi}{3}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Méthode : poser $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$, calculer $|Z|$ et $\arg(Z)$. Le module donne le rapport $\dfrac{AC}{AB}$, l'argument donne l'angle $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module du nombre complexe $z = \dfrac{(1 + i)^{4}}{2 - 2i}$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$\sqrt{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$2\sqrt{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise $\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ et $|z_{1}^{n}| = |z_{1}|^{n}$ :
$|1 + i| = \sqrt{2}$ donc $|(1+i)^{4}| = (\sqrt{2})^{4} = 4$.
$|2 - 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$.
Donc $|z| = \dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Erreur de simplification : $\dfrac{4}{2\sqrt{2}}$ ne vaut pas $2$ ; en effet $\dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ (en multipliant haut et bas par $\sqrt{2}$).[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}$"]Non.
$2\sqrt{2}$ est le module du dénominateur $2 - 2i$, et non celui du quotient. Penser à diviser le module du numérateur par celui du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$"]Non.
On a inversé numérateur et dénominateur : c'est $|2 - 2i| / |(1+i)^{4}| = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, qui est le module de $\dfrac{1}{z}$ et non de $z$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément les modules du numérateur et du dénominateur, puis faire le quotient. Penser que $|z^{n}| = |z|^{n}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La partie réelle du nombre $z = e^{i\pi/3}$ vaut :
[qcm]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc la partie réelle vaut $\cos\theta$. Ici $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est la valeur de $\sin\dfrac{\pi}{3}$, donc la partie imaginaire de $e^{i\pi/3}$. La partie réelle est $\cos\dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\cos\dfrac{\pi}{3} = +\dfrac{1}{2}$ (et non $-\dfrac{1}{2}$). $\dfrac{\pi}{3}$ est dans le premier quadrant, donc cosinus positif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Confusion entre l'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la valeur de son cosinus. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, pas $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. La partie réelle est $\cos\theta$, la partie imaginaire est $\sin\theta$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En appliquant la formule de Moivre, $\cos(2\theta)$ s'exprime en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ par :
[qcm]
[option]$2\cos\theta\sin\theta$[/option]
[option]$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta$[/option]
[option correct="true"]$\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$[/option]
[option]$2\cos\theta$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$.
En développant : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos^{2}\theta + 2i\cos\theta\sin\theta - \sin^{2}\theta$.
En identifiant les parties réelles : $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$.[/reponse]
[reponse motif="$2\cos\theta\sin\theta$"]Non.
$2\cos\theta\sin\theta$ est la partie imaginaire du développement, donc l'expression de $\sin(2\theta)$ et non de $\cos(2\theta)$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta$"]Non.
$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ est l'identité fondamentale (constante), pas une expression dépendant de $\theta$. $\cos(2\theta)$ varie entre $-1$ et $1$, donc ne peut pas être constamment égal à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$2\cos\theta$"]Non.
Cette expression ne provient d'aucun développement correct. La formule de Moivre fait apparaître à la fois $\cos^{2}\theta$ et $\sin^{2}\theta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2}$ comme un carré et identifier avec $\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$. La partie réelle donne $\cos(2\theta)$, la partie imaginaire donne $\sin(2\theta)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme exponentielle $z = r\,e^{i\theta}$ (avec $r > 0$). L'inverse $\dfrac{1}{z}$ s'écrit :
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{r}\,e^{i\theta}$[/option]
[option]$r\,e^{-i\theta}$[/option]
[option]$-r\,e^{i\theta}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r\,e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r} \times \dfrac{1}{e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r} \times e^{-i\theta}$.
Le module est inversé ($\dfrac{1}{r}$), l'argument est opposé ($-\theta$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{r}\,e^{i\theta}$"]Non.
Le module est bien inversé, mais l'argument doit être opposé aussi : $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = -\arg(z)$, donc $-\theta$.[/reponse]
[reponse motif="$r\,e^{-i\theta}$"]Non.
L'argument est correctement opposé, mais le module aussi doit être inversé : $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = \dfrac{1}{r}$, et non $r$.[/reponse]
[reponse motif="$-r\,e^{i\theta}$"]Non.
$-r\,e^{i\theta} = -z$ est l'opposé de $z$, pas son inverse. L'inverse change à la fois le module ($\dfrac{1}{r}$) et le signe de l'argument ($-\theta$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour l'inverse d'un complexe non nul en forme exponentielle : module inversé ($\dfrac{1}{r}$), argument opposé ($-\theta$). Cela donne $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Forme exponentielle

[enonce]
Ce QCM porte sur la forme exponentielle d'un nombre complexe : conversion algébrique↔exponentielle, calculs de produits, quotients et puissances. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La forme exponentielle du nombre complexe $z = 1 + i$ est :
[qcm]
[option]$2\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option]$\sqrt{2}\,e^{i\pi/3}$[/option]
[option]$\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ et un argument vérifiant $\cos\theta = \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, soit $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.
La forme exponentielle est donc $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,e^{i\pi/4}$"]Non.
Le module est $|z| = \sqrt{2}$ (et non $2$). On a $|z|^{2} = 1 + 1 = 2$, donc $|z| = \sqrt{2}$ après prise de la racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\,e^{i\pi/3}$"]Non.
À $\dfrac{\pi}{3}$, on a $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : ces valeurs ne sont pas égales, contrairement à ce qui est attendu pour $1 + i$ où parties réelle et imaginaire coïncident.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$"]Non.
Avec un argument $-\dfrac{\pi}{4}$, on aurait $\sin\theta < 0$ donc une partie imaginaire négative. Or $1 + i$ a une partie imaginaire $+1 > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Procédure : calculer $r = |z|$, déterminer $\theta$ tel que $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$, puis écrire $z = r\,e^{i\theta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le produit $e^{i\pi/3} \times e^{i\pi/6}$ vaut :
[qcm]
[option]$e^{i\pi/9}$[/option]
[option]$e^{i\pi/18}$[/option]
[option correct="true"]$e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$e^{i\,2\pi/3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La règle est $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$. Ici on additionne les arguments :
$\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.
Donc le produit vaut $e^{i\pi/2}$ (qui vaut aussi $i$).[/reponse]
[reponse motif="$e^{i\pi/9}$"]Non.
On a additionné les dénominateurs $3 + 6 = 9$ sans mettre les fractions au même dénominateur. La somme correcte est $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi + \pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$e^{i\pi/18}$"]Non.
Les arguments ont été multipliés au lieu d'être additionnés : c'est une confusion avec la propriété de la puissance. La propriété est $e^{i\theta} \cdot e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.[/reponse]
[reponse motif="$e^{i\,2\pi/3}$"]Non.
La somme $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}$ ne vaut pas $\dfrac{2\pi}{3}$. Bien mettre au même dénominateur ($6$) avant d'additionner les numérateurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour multiplier deux exponentielles complexes de modules $1$, on conserve le module $1$ et on additionne les arguments. Mettre les fractions au même dénominateur avant d'additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le quotient $\dfrac{6\,e^{i\,2\pi/3}}{2\,e^{i\pi/6}}$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$3\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$4\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$3\,e^{i\,5\pi/6}$[/option]
[option]$3\,e^{-i\pi/2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On divise les modules et on soustrait les arguments :
Module : $\dfrac{6}{2} = 3$.
Argument : $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi - \pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.
Donc le quotient vaut $3\,e^{i\pi/2}$.[/reponse]
[reponse motif="$4\,e^{i\pi/2}$"]Non.
Pour les modules, il faut diviser $6$ par $2$ (et non soustraire). $6 - 2 = 4$ alors que $\dfrac{6}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,e^{i\,5\pi/6}$"]Non.
Les arguments doivent être soustraits (pas additionnés) lors d'une division : $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$, pas $\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,e^{-i\pi/2}$"]Non.
On a inversé l'ordre dans la soustraction des arguments. Pour $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}$, c'est $\theta - \theta'$ et non $\theta' - \theta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour diviser deux complexes en forme exponentielle, $\dfrac{r\,e^{i\theta}}{r'\,e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')}$. Diviser les modules, soustraire les arguments.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La puissance $\left(2\,e^{i\pi/4}\right)^{3}$ vaut :
[qcm]
[option]$6\,e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[option]$2\,e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[option]$8\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$8\,e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On élève le module à la puissance et on multiplie l'argument par l'exposant :
Module : $2^{3} = 8$.
Argument : $3 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$.
Donc $\left(2\,e^{i\pi/4}\right)^{3} = 8\,e^{i\,3\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$6\,e^{i\,3\pi/4}$"]Non.
Pour le module, il faut élever $2$ au cube : $2^{3} = 8$ (et non $2 \times 3 = 6$).[/reponse]
[reponse motif="$2\,e^{i\,3\pi/4}$"]Non.
Le module a été oublié dans le calcul : $2^{3} = 8$, pas $2$. La règle est $(re^{i\theta})^{n} = r^{n}\,e^{in\theta}$.[/reponse]
[reponse motif="$8\,e^{i\pi/4}$"]Non.
L'argument doit être multiplié par l'exposant : $3 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$, et non rester $\dfrac{\pi}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour élever à la puissance $n$ : élever le module à la puissance $n$ et multiplier l'argument par $n$. Formellement, $\left(re^{i\theta}\right)^{n} = r^{n}\,e^{in\theta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur exacte de $e^{i\pi}$ est :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$i$[/option]
[option]$-i$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est l'identité d'Euler : $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1$. On en déduit la célèbre relation $e^{i\pi} + 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$e^{i \cdot 0} = 1$ et $e^{i \cdot 2\pi} = 1$, mais $e^{i\pi}$ correspond à un demi-tour, pas à un tour complet : on tombe sur le réel négatif $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$i$"]Non.
$e^{i\pi/2} = i$ correspond à un quart de tour. Le demi-tour ($\theta = \pi$) donne $-1$, pas $i$.[/reponse]
[reponse motif="$-i$"]Non.
$e^{-i\pi/2} = -i$ correspond à un quart de tour dans le sens horaire. Pour $\theta = \pi$, le résultat est réel : $-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ avec $\theta = \pi$ : $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme exponentielle de $z = -3i$ est :
[qcm]
[option]$3\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$-3\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option correct="true"]$3\,e^{-i\pi/2}$[/option]
[option]$9\,e^{-i\pi/2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z| = |-3i| = 3$ (le module est toujours positif).
L'image de $-3i$ a pour coordonnées $(0\,;\, -3)$ : c'est sur l'axe des ordonnées en dessous de $O$, d'argument $-\dfrac{\pi}{2}$.
Donc $z = 3\,e^{-i\pi/2}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,e^{i\pi/2}$"]Non.
Cela donnerait $3 \times i = 3i$ (et non $-3i$). L'argument doit être négatif puisque la partie imaginaire est négative.[/reponse]
[reponse motif="$-3\,e^{i\pi/2}$"]Non.
Le module d'un nombre complexe est toujours positif ou nul, jamais négatif. Le signe doit être absorbé par l'argument.[/reponse]
[reponse motif="$9\,e^{-i\pi/2}$"]Non.
On a confondu module et carré du module : $|z|^{2} = 9$ mais $|z| = \sqrt{9} = 3$. Ne pas oublier la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un imaginaire pur $z = ib$ : si $b > 0$, l'argument est $\dfrac{\pi}{2}$ ; si $b < 0$, l'argument est $-\dfrac{\pi}{2}$. Le module est $|b|$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2018

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}) $.

Les points A, B et C ont pour affixes respectives $ a = - 4,\: b = 2 $ et $ c = 4 $.

On considère les trois points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ d'affixes respectives $ a^{\prime}= ja $, $ b^{\prime}= jb $ et $ c^{\prime}= jc $ où $ j $ est le nombre complexe $ - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
1. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $ j $.
  
  En déduire les formes algébriques et exponentielles de $ a^{\prime} $, $ b^{\prime} $ et $ c^{\prime} $.
2. Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
  
  Placer les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sur ce graphique.
Montrer que les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sont alignés.
On note M le milieu du segment [A$ ^{\prime} $C], N le milieu du segment [C$ ^{\prime} $C] et P le milieu du segment $ [\text{C}^{\prime}\text{A}] $.

Démontrer que le triangle MNP est isocèle.

ANNEXE

À compléter et à remettre avec la copie

Plan complexe avec les points A, B, C et les cercles de centre O de rayons 2, 3 et 4

Corrigé

1. $ j= - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  $ \left| j \right| = \sqrt{\left( - \dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1 $
  $ \theta $ est un argument de $ j $ si et seulement si $ \cos \theta = - \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $. Donc $ \dfrac{2\pi}{3} $ est un argument de $ j $.
  
  La forme trigonométrique de $ j $ est :
  
  $ j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ j= \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
  
  La forme algébrique de $ a^{\prime} $ est :
  
  $ a^{\prime}=aj= - 4j=2 - 2\text{i}\sqrt{3} $.
  
  Par ailleurs :
  
  $ a^{\prime}= - 4j= - 4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
  
  Toutefois $ - 4 $ étant négatif, l'écriture ci-dessus n'est pas la forme exponentielle de $ a^{\prime} $.
  
  Pour obtenir la forme exponentielle de $ a^{\prime} $ on utilise le fait que $ - 1=\text{e}^{\text{i}\pi} $ ; par conséquent :
  
  $ a^{\prime}= - 4\left( \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right) $
  $ \phantom{a^{\prime}}=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
  $ \phantom{a^{\prime}}=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\frac{2\pi}{3}\right) } $.
  
  La forme exponentielle de $ a^{\prime} $ est donc :
  
  $ a^{\prime}=4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{3}} $.
  
  La forme algébrique de $ b^{\prime} $ est :
  
  $ b^{\prime}= bj=2j= - 1+\text{i}\sqrt{3} $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ b^{\prime}=2j=2\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
  
  Enfin, la forme algébrique de $ c^{\prime} $ est :
  
  $ c^{\prime}= cj=4j= - 2+2\text{i}\sqrt{3} $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ c^{\prime}=4j=4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
2. Voir figure ci-après.
L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ est :

$ b^{\prime} - a^{\prime}=2j - ( - 4j)=6j $.

L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ est :

$ c^{\prime} - b^{\prime}=4j - 2j=2j $.

Par conséquent $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ =3$ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $.

Les vecteurs $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ et $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ sont colinéaires donc les points $ A^{\prime} $, $ B^{\prime} $ et $ C^{\prime} $ sont alignés.
L'affixe de M est :

$ m=\dfrac{a^{\prime}+c}{2}=3 - \text{i}\sqrt{3} $

L'affixe de N est :

$ n=\dfrac{c^{\prime}+c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3} $

L'affixe de P est :

$ p=\dfrac{c^{\prime}+a}{2}= - 3+\text{i}\sqrt{3} $

Montrons que $ MN=PN $
$ MN=\left|m - n \right| = \left|2 - 2\text{i}\sqrt{3} \right| $
$ \phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4 $
$ PN=\left|n - p \right| =\left|4 \right| = 4 $

Le triangle $ MNP $ est donc isocèle en $ N $.

Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

On considère les nombres complexes $ z_n $ définis, pour tout entier naturel $ n $, par

$ z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n. $

On note $ A_n $ le point d'affixe $ z_n $ dans le repère orthonormé $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $ (voir figure en fin de sujet).

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $ A_n $.

1. Vérifier que $ 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $.
2. En déduire $ z_1 $ et $ z_2 $ sous forme exponentielle.
1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}. $
2. Pour quelles valeurs de $ n $, les points $ O,~A_0 $ et $ A_n $ sont-ils alignés ?
Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right| $.
1. Interpréter géométriquement $ d_n $.
2. Calculer $ d_0 $.
3. Montrer que pour tout entier naturel $ n $ non nul,
  
  $ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right). $
4. En déduire que la suite $ \left(d_n\right)_{n \geqslant 0} $ est géométrique puis que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n. $
1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ \left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2. $
2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, le triangle $ OA_nA_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.
3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $ A_5 $ sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.
4. Justifier cette construction.

Corrigé

1. Soit le nombre complexe $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} $. Il s'écrit $ c = r\text{e}^{\text{i}\theta} $ sous forme exponentielle, $ r $ étant son module et $ \theta $ son argument.
  On a :
  
  $ r = |c| = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \dfrac{3}{9}} = \sqrt{\dfrac{12}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $
  
  $ \cos\theta = \dfrac{1}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $
  
  On en déduit que $ \theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $.
  Alors :
  
  $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $
2. $ z_0 = 1 $ et $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n \implies z_1 = c \times z_0 = c $.
  D'où :
  
  $ z_1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $
  
  $ z_2 = c \times z_1 = c^2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\right)^2 = \dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $
1. On peut écrire $ z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^1 \text{e}^{\text{i}1\frac{\pi}{6}} $ et $ z_2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \text{e}^{\text{i}2\frac{\pi}{6}} $.
  Si la proposition $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} $ est vraie au rang $ n $, elle est aussi vraie pour $ z_{n+1} $ car :
  
  $ z_{n+1} = z_1 \times z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1} \text{e}^{\text{i}(n+1)\frac{\pi}{6}} $
  
  Par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel $ n $.
2. Les points $ O, A_0 $ et $ A_n $ sont respectivement les points d'affixe $ 0, z_0 $ et $ z_n $. Pour qu'ils soient alignés, il faut que leurs arguments soient égaux à $ k\pi $ près, avec $ k \in \mathbb{Z} $.
  Les arguments de $ O $ (non défini) et $ z_0 $ sont $ 0 $ (argument de $ 1 $).
  Il faut donc que $ \arg(z_n) = n\dfrac{\pi}{6} \equiv 0 \pmod{\pi} $, ce qui donne $ n = 6k $.
1. $ d_n = |z_{n+1} - z_n| $ est le module du complexe $ z_{n+1} - z_n $ dont l'image $ A_d $ dans le repère orthonormé est telle que $ \overrightarrow{OA_d} = \overrightarrow{OA_{n+1}} - \overrightarrow{OA_n} = \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $.
  Ceci revient à dire que $ d_n $ est égale à la norme du vecteur $ \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $, soit la distance $ A_n A_{n+1} $ :
  
  $ d_n = A_n A_{n+1} = \left\| \overrightarrow{A_n A_{n+1}} \right\| $
2. $ d_0 = |z_1 - z_0| = \left| 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right| = \left| \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $.
3. Pour tout entier $ n \geqslant 0 $ :
  
  $ z_{n+2} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1} $
  
  $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n} $
  
  Par différence, on obtient :
  
  $ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right) $
4. Le module du produit de deux complexes étant égal au produit de leurs modules, on a :
  
  $ |z_{n+2} - z_{n+1}| = \left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right| \times |z_{n+1} - z_n| $
  
  C'est-à-dire $ d_{n+1} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} d_n $.
  La suite $ (d_n)_{n \geqslant 0} $ est une suite géométrique de premier terme $ d_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ et de raison $ q = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $.
  Ainsi, pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $ d_n = d_0 q^n = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $
1. D'après la question 2.a, on a $ |z_n| = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $.
  D'où :
  
  $ |z_{n+1}|^2 = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{2(n+1)} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{n+1} = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $
  
  D'autre part :
  
  $ |z_n|^2 + d_n^2 = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \dfrac{3}{9} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $
  
  On a bien $ |z_{n+1}|^2 = |z_n|^2 + d_n^2 $.
2. D'après l'égalité précédente et le théorème de Pythagore, on a $ OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_n A_{n+1}^2 $.
  Ceci implique que le triangle $ OA_n A_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.
3. Construction : On construit le symétrique $ A'_1 $ de $ A_1 $ par rapport à l'axe des abscisses. On trace les cercles de centre $ O $ de rayon $ OA_1 $ et de centre $ A_0 $ de rayon $ A_0 A_1 $. Ces deux cercles se coupent en $ A_1 $ et $ A'_1 $. On trace la droite $ (OA'_1) $, nommée $ (D) $ (en vert).
  
  On trace ensuite la droite $ (A_1 A_2) $ et le cercle de centre $ A_1 $ de rayon $ R = OA_4 $. Ils se coupent en $ A'_4 $. On trace la droite $ (A'_4 A_4) $, nommée $ (D') $ (en rouge). Le point d'intersection de $ (D) $ et $ (D') $ est $ A_5 $.
4. Justification : L'argument de l'affixe de $ A_5 $ est $ 5\dfrac{\pi}{6} $. L'argument de l'affixe de $ A'_1 $, conjugué de l'affixe de $ A_1 $, vérifie $ \arg(z_{A'_1}) \equiv -\dfrac{\pi}{6} \equiv 11\dfrac{\pi}{6} \equiv \pi + 5\dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $. Donc $ A'_1 $ et $ A_5 $ sont alignés avec $ O $ sur la droite $ (D) $.
  
  Les arguments des affixes de $ A_1 $ et $ A_4 $ diffèrent de $ 4\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} $. Donc $ (OA_1) $ et $ (OA_4) $ sont perpendiculaires. Par ailleurs, d'après 4.b, $ (A_1 A_2) $ est perpendiculaire à $ (OA_1) $. Donc $ (A_1 A_2) $ est parallèle à $ (OA_4) $. Par construction, $ A_1 A'_4 = OA_4 $. On en déduit que $ OA_1 A'_4 A_4 $ est un rectangle et que $ (A'_4 A_4) $ est perpendiculaire à $ (OA_4) $.
  
  D'après 4.b, $ A_5 $ doit se trouver sur la droite $ (D') $ perpendiculaire à $ (OA_4) $.
  
  Donc $ A_5 $ se trouve à l'intersection de $ (D) $ et $ (D') $.

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2013

Exercice 3 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

On note $ i $ le nombre complexe tel que $ i^{2} = - 1 $.

On considère le point $ A $ d'affixe $ z_{\text{A}}=1 $ et le point $ B $ d'affixe $ z_{\text{B}}=i $.

A tout point $ M $ d'affixe $ z_{M}=x+iy $, avec $ x $ et $ y $ deux réels tels que $ y \neq 0 $, on associe le point $ M^{\prime} $ d'affixe $ z_{M^{\prime}} = - i z_{M} $.

On désigne par $ I $ le milieu du segment $ \left[AM\right] $.

Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $ M $ n'appartenant pas à $ \left(OA\right) $, la médiane $ \left(OI\right) $ du triangle $ OAM $ est aussi une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $ (propriété 1) et que $ BM^{\prime}=2OI $ (propriété 2).

Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $ z_{M}=2e^{ - i\frac{\pi}{3}} $.
1. Déterminer la forme algébrique de $ z_{M} $.
2. Montrer que $ z_{M^{\prime}} = - \sqrt{3} - i $.
  
  Déterminer le module et un argument de $ z_{M^{\prime}} $.
3. Placer les points $ A, B, M, M^{\prime} $ et $ I $ dans le repère $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $ en prenant 2 cm pour unité graphique.
  
  Tracer la droite $ \left(OI\right) $ et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
On revient au cas général en prenant $ z_{M}=x+iy $ avec $ y \neq 0 $.
1. Déterminer l'affixe du point $ I $ en fonction de $ x $ et $ y $.
2. Déterminer l'affixe du point $ M^{\prime} $ en fonction de $ x $ et $ y $.
3. Écrire les coordonnées des points $ I, B $ et $ M^{\prime} $.
4. Montrer que la droite $ \left(OI\right) $ est une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $.
5. Montrer que $ BM^{\prime}=2OI $.

Corrigé

1. $ z_{M}=2\left(\cos\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)+i\sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 - i\sqrt{3} $
2. $ z_{M^{\prime}}= - iz_{M}= - i\left(1 - i\sqrt{3}\right)= - \sqrt{3} - i $
  
  $ |z_{M^{\prime}}|=| - iz_{M}|=| - i|\times |z_{M}|=1\times 2=2 $
  
  $ \text{arg}\left(z_{M^{\prime}}\right)=\text{arg}\left( - iz_{M}\right) =\text{arg}\left( - i\right)+\text{arg}\left(z_{M}\right)=\dfrac{3\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} =\dfrac{7\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right) $
1. $ z_{I}=\dfrac{z_{A}+z_{M}}{2}=\dfrac{1+x}{2}+i \dfrac{y}{2} $
2. $ z_{M^{\prime}}= - iz_{M}= - i\left(x+iy\right)=y - ix $
3. $ I\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right) $
  
  $ B\left(0;1\right) $
  
  $ M^{\prime}\left(y ; - x\right) $
4. $ \overrightarrow{OI}\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right) $ et $ \overrightarrow{BM^{\prime}}\left(y ; - x - 1\right) $ donc
  
  $ \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BM^{\prime}}=y\times \dfrac{1+x}{2}+\left( - x - 1\right)\times \dfrac{y}{2}=0 $
  
  Les vecteurs $ \overrightarrow{OI} $ et $ \overrightarrow{BM^{\prime}} $ sont orthogonaux donc la droite $ \left(OI\right) $ est une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $.
5. $ BM^{\prime}= \sqrt{y^{2}+\left( - 1 - x\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1} $
  
  $ OI^{2}=\left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}+2x+1\right) $
  
  donc
  
  $ OI=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1}=\dfrac{1}{2}BM^{\prime} $.
  
  Donc : $ BM^{\prime}=2OI $.

→ Pour réviser : Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2014

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

Pour tout entier naturel $ n $, on note $ A_{n} $ le point d'affixe $ z_{n} $ défini par :

$ z_{0}=1 $ et $ z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} $

On définit la suite $ \left(r_{n}\right) $ par $ r_{n}=|z_{n}| $ pour tout entier naturel $ n $.

Donner la forme exponentielle du nombre complexe $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $.
1. Montrer que la suite $ \left(r_{n}\right) $ est géométrique de raison $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
2. En déduire l'expression de $ r_{n} $ en fonction de $ n $.
3. Que dire de la longueur $ OA_{n} $ lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $ ?

On considère l'algorithme suivant :

Variables	$ n $ entier naturel
	$ R $ réel
	$ P $ réel strictement positif
Entrée	Demander la valeur de $ P $
Traitement	$ R $ prend la valeur $ 1 $
	$ n $ prend la valeur $ 0 $
	Tant que $ R > P $
	$ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $
	$ \quad \quad R $ prend la valeur $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}R $
	Fin tant que
Sortie	Afficher $ n $

Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $ P=0{,}5 $ ?
Pour $ P=0{,}01 $ on obtient $ n=33 $. Quel est le rôle de cet algorithme ?

1. Démontrer que le triangle $ OA_{n}A_{n+1} $ est rectangle en $ A_{n+1} $.
2. On admet que $ z_{n}=r_{n}e^{i\frac{n\pi }{6}} $.
  
  Déterminer les valeurs de $ n $ pour lesquelles $ A_{n} $ est un point de l'axe des ordonnées.
3. Compléter la figure ci-dessous, à rendre avec la copie, en représentant les points $ A_{6}, A_{7}, A_{8} $ et $ A_{9} $.
  
  Les traits de construction seront apparents.

Corrigé

Soit $ r $ le module de $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ :

$ r^2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4} $

Donc :

$ r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

$ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right) $

Si $ \theta $ est un argument de $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ :

$ \cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{1}{2} $ donc $ \theta = \dfrac{\pi }{6} + 2k\pi $.

La forme exponentielle du nombre complexe $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ est donc $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi }{6}} $
1. $ z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} $ donc :
  
  $ |z_{n+1}|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right|\times \left|z_{n}\right| $
  
  $ r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n} $
  
  La suite $ \left(r_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et de premier terme $ r_{0}=|z_{0}|=1 $.
2. $ r_{n}=r_{0}\times q^{n}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n} $
3. $ OA_{n}=r_{n} $.
  
  $ \left(r_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $. Comme $ 0 < q < 1 $ la suite $ \left(r_{n}\right) $ converge vers 0 lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $ .

Voici les valeurs prises par les variables lors de l'exécution pas à pas de l'algorithme pour $ P=0{,}5 $ :

$ n $	$ R $	$ P $	condition $ R > P $
0	1	0{,}5	Vraie
1	0{,}866	0{,}5	Vraie
2	0{,}75	0{,}5	Vraie
3	0{,}6495	0{,}5	Vraie
4	0{,}5625	0{,}5	Vraie
5	0{,}487	0{,}5	Fausse

À la fin, l'algorithme affiche la valeur $ 5 $.

Cet algorithme affiche la plus petite valeur de $ n $ telle que $ OA_{n} \leqslant P $.

1. $ OA_{n}=r_{n} , OA_{n+1}=r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n} $ et :
  
  $ A_{n}A_{n+1}= | z_{n+1} - z_{n} | = \left| \left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} - z_{n} \right| = \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) z_{n} \right| $
  
  $ A_{n}A_{n+1}= \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| \times r_{n} $
  
  Or :
  
  $ \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| ^{2} = \dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{1}{4} $
  
  donc $ \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| = \dfrac{1}{2} $ et $ A_{n}A_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_{n} $
  
  Finalement :
  
  $ OA_{n+1}^{2} + A_{n}A_{n+1}^{2} = \dfrac{3}{4}r_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}r_{n}^{2} = r_{n}^{2} = OA_{n}^{2} $
  
  Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ OA_{n}A_{n+1} $ est rectangle en $ A_{n+1} $.
2. $ z_{n}=r_{n} \left(\cos\dfrac{n\pi }{6}+i \sin\dfrac{n\pi }{6}\right) $
  
  Le point $ A_{n} $ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $ \cos\dfrac{n\pi }{6} = 0 $, c'est à dire $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $ ou $ n\dfrac{\pi }{6}=\left(3\dfrac{\pi }{2}\right)+2k\pi $ ou encore $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $
  
  Or :
  
  $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow \left(n\pi \right)=3\pi + 6k\pi \Leftrightarrow n= 3 + 6k $ (avec $ k \in \mathbb{Z} $)
  
  Comme $ n\geqslant 0 $, $ k $ doit être positif ou nul (donc appartenir à $ \mathbb{N} $).
  
  Les valeurs de $ n $ pour lesquelles $ A_{n} $ est un point de l'axe des ordonnées sont donc
  
  $ n= 3 + 6k $ avec $ k \in \mathbb{N} $ (soit $ n = 3, 9, 15, 21, $ etc.).
3. Pour la construction (à l'équerre ou au compas) on utilise le fait que les triangles $ OA_{n}A_{n+1} $ sont rectangles en $ A_{n+1} $.

→ Pour réviser : Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe

Nombres Complexes – Bac S Métropole 2014

On désigne par (E) l'équation

$ z^{4}+4z^{2}+16=0 $

d'inconnue complexe $ z $.

Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation $ Z^{2} +4Z+16=0 $.

Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
On désigne par $ a $ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $ \dfrac{\pi }{3} $.

Calculer $ a^{2} $ sous forme algébrique.

En déduire les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation $ z^{2} = - 2+2i\sqrt{3} $. On écrira les solutions sous forme algébrique.
Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $ z=x+iy $ où $ x \in \mathbb{R} $ et $ y \in R $, le conjugué de $ z $ est le nombre complexe $ z $ défini par $ z=x - i y $.

Démontrer que :
Pour tous nombres complexes $ z_{1} $ et $ z_{2} $, $ \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}} $.
Pour tout nombre complexe $ z $ et tout entier naturel non nul $ n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $.
Démontrer que si $ z $ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $ \overline{z} $ est également une solution de (E).

En déduire les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

Corrigé

Le discriminant vaut :

$ \Delta = 4^{2} - 4\times16\times1= - 48 $

Le discriminant est strictement négatif donc l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :

$ Z_{1}=\dfrac{ - 4 - i\sqrt{48}}{2} = - 2 - 2\sqrt{3}i $

$ Z_{2}=\dfrac{ - 4+i\sqrt{48}}{2} = - 2+2\sqrt{3}i $

$ |Z_{1}|=\sqrt{4+12}=4 $

Si $ \theta $ est un argument de $ Z_{1} $ :

$ \cos \theta = - \dfrac{2}{4}= - \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = - \dfrac{2\sqrt{3}}{4}= - \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ donc $ \theta = - \dfrac{2\pi }{3} $ (mod. $ 2\pi $)

La forme exponentielle de $ Z_{1} $ est donc :

$ Z_{1}=4e^{ - 2i\frac{\pi }{3}} $

$ Z_{2} $ est le conjugué de $ Z_{1} $ donc :

$ Z_{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}} $
$ a=2e^{i\frac{\pi }{3}} $ donc

$ a^{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}=Z_{2}= - 2+2\sqrt{3}i $

L'équation $ z^{2} = - 2+2i\sqrt{3} $ est donc identique à $ z^{2}=a^{2} $ dont les solutions sont $ a=1+i\sqrt{3} $ et $ - a= - 1 - i\sqrt{3} $.
Posons $ z_{1}=x_{1}+iy_{1} $ et $ z_{2}=x_{2}+iy_{2} $

$ z_{1}\times z_{2}=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(x_{2}+iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i $

Donc

$ \overline{z_{1}\times z_{2}}= x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} - \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i $

Par ailleurs :

$ \overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}=\left(x_{1} - iy_{1}\right)\left(x_{2} - iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left( - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}\right)i = \overline{z_{1}\times z_{2}} $

La proposition «Pour tout nombre complexe $ z $ et tout entier naturel non nul $ n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $ » se montre par récurrence.

-Elle est vraie au rang 1 car $ \overline{z^{1}}=\left(\overline{z}\right)^{1} \left(=\overline{z}\right) $

-Si on suppose qu'elle est vraie au rang $ n $, c'est à dire que $ \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $ alors :

$ \overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z} $

Or d'après ce qui précède : $ \overline{z^{n}\times z} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} $ donc :

$ \overline{z^{n+1}} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} $

$ \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n}\times \overline{z} $ (hypothèse de récurrence)

$ \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1} $

ce qui montre la proposition par récurrence.
Si $ z $ est une solution de (E) alors $ z^{4}+4z^{2}+16=0 $ donc $ \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{0}=0 $.

Or d'après les propriétés que l'on vient de démontrer $ \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16 $ donc

$ \overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16=0 $ et $ \overline{z} $ est également solution de (E).

D'après les questions 1. et 2., $ a $ et $ - a $ sont solutions de (E).

D'après ce qui précède, $ \overline{a} $ et $ - \overline{a} $ sont aussi solutions de (E).

Les quatre solutions de (E) sont donc:

$ a=1+i\sqrt{3} $

$ - a= - 1 - i\sqrt{3} $

$ \overline{a}=1 - i\sqrt{3} $

$ - \overline{a}= - 1+i\sqrt{3} $