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Réservoir cylindrique : volume exact et approché

Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre de révolution. Le rayon de sa base est $ r = 40 $ cm et sa hauteur est $ h = 90 $ cm.

Réservoir cylindrique de rayon de base 40 cm et de hauteur 90 cm
  1. Donner la valeur exacte du volume de ce réservoir, en fonction de $ \pi $, en cm³.
  2. En prenant $ \pi \approx 3{,}14 $, donner une valeur approchée de ce volume, en cm³.
  3. Convertir ce volume approché en litres (rappel : $ 1 $ L $ = 1\,000 $ cm³).

Corrigé

  1. Le volume d'un cylindre de révolution de rayon $ r $ et de hauteur $ h $ est $ V = \pi \times r^2 \times h $. On remplace $ r $ par $ 40 $ et $ h $ par $ 90 $ :
    $ V = \pi \times 40^2 \times 90 $
    $ V = \pi \times 1\,600 \times 90 $
    La valeur exacte du volume est $\mathbf{144\,000\,\pi}$ cm³.
  2. Pour obtenir une valeur approchée, on remplace $ \pi $ par $ 3{,}14 $ :
    $ V \approx 144\,000 \times 3{,}14 $
    Le volume est environ $\mathbf{452\,160}$ cm³.
  3. Pour convertir des cm³ en litres, on divise par $ 1\,000 $ :
    $ V \approx 452\,160 \div 1\,000 $
    Le réservoir contient environ $\mathbf{452}$ L.

Pour réviser : Calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre

Piscine en prisme trapézoïdal : volume et durée de remplissage

Une piscine privée a la forme d'un prisme droit. Vue de côté (le long de la longueur), sa section est un trapèze rectangle : la profondeur est de $ 1 $ m côté petit bain et de $ 2 $ m côté grand bain, sur une longueur totale de $ 8 $ m. La largeur de la piscine est de $ 4 $ m.

Piscine en prisme droit à base trapézoïdale, vue de côté avec longueur 8 m, profondeurs 1 m et 2 m, largeur 4 m
  1. Quelle est la nature du polygone qui sert de base à ce prisme ?
  2. Calculer l'aire de cette base, en m².
  3. En déduire le volume de la piscine, en m³.
  4. Convertir ce volume en litres (rappel : $ 1 $ m³ $ = 1\,000 $ L).
  5. La piscine est remplie par un robinet de débit constant $ 400 $ L par minute. Calculer la durée nécessaire pour la remplir entièrement, en heures et minutes.

Corrigé

  1. La base du prisme est un trapèze rectangle : il possède deux côtés parallèles (les profondeurs $ 1 $ m et $ 2 $ m) et un angle droit entre la longueur et l'une des profondeurs.
  2. L'aire d'un trapèze de bases $ B $ et $ b $ et de hauteur $ h $ est :
    $ \mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2} $
    Ici, $ B = 2 $ m, $ b = 1 $ m et $ h = 8 $ m (la longueur sépare les deux côtés parallèles) :
    $ \mathcal{A} = \dfrac{(2 + 1) \times 8}{2} = \dfrac{24}{2} $ = $ 12 $ m²
  3. Le volume d'un prisme droit est égal au produit de l'aire de sa base par sa hauteur. Ici, la hauteur du prisme est la largeur de la piscine, soit $ 4 $ m :
    $ V = \mathcal{A} \times h = 12 \times 4 $ = $ 48 $ m³
  4. Pour convertir des m³ en litres, on multiplie par $ 1\,000 $ :
    $ V = 48 \times 1\,000 $ = $ 48\,000 $ L
  5. La durée de remplissage est le quotient du volume à remplir par le débit :
    $ d = \dfrac{48\,000}{400} = 120 $ min
    On effectue la division euclidienne par $ 60 $ : $ 120 = 2 \times 60 + 0 $.
    La durée est de $ 2 $ h $ 0 $ min, soit $ 2 $ heures.

Pour réviser : Calculer le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre

Carte au trésor : coordonnées de points dans un repère

Une vieille carte au trésor est représentée dans un repère. Six éléments y sont placés : la palmier $ P $, le rocher $ R $, la cabane $ C $, le puits $ U $, le navire $ N $ et le trésor $ T $.

Repère orthogonal avec six points P, R, C, U, N et T positionnés à coordonnées entières représentant les éléments d'une carte au trésor
  1. Donner les coordonnées de chacun des six points.
  2. Parmi ces points, lequel se trouve sur l'axe des abscisses ? Lequel se trouve sur l'axe des ordonnées ?
  3. Le coffre $ K $ a pour coordonnées $ (-1\,;\,2) $. Reproduire le repère et y placer le point $ K $.
  4. Donner les coordonnées d'un point $ A $, situé sur l'axe des ordonnées, dont l'ordonnée est $ -1 $.
  5. Vrai ou faux : le point $ B(2\,;\,-3) $ et le point $ B'(-3\,;\,2) $ ont les mêmes coordonnées. Justifier.

Corrigé

  1. On lit l'abscisse sur l'axe horizontal puis l'ordonnée sur l'axe vertical :

    • $\mathbf{P(3\,;\,2)}$
    • $\mathbf{R(-2\,;\,3)}$
    • $\mathbf{C(-3\,;\,-2)}$
    • $\mathbf{U(0\,;\,-3)}$
    • $\mathbf{N(4\,;\,0)}$
    • $\mathbf{T(-4\,;\,1)}$
  2. Un point sur l'axe des abscisses a une ordonnée égale à $ 0 $ : c'est le cas de $\mathbf{N(4\,;\,0)}$.
    Un point sur l'axe des ordonnées a une abscisse égale à $ 0 $ : c'est le cas de $\mathbf{U(0\,;\,-3)}$.
  3. Le coffre $ K(-1\,;\,2) $ se place à $ -1 $ unité à gauche de l'origine, puis $ 2 $ unités vers le haut.
  4. Un point situé sur l'axe des ordonnées a une abscisse nulle. Avec une ordonnée de $ -1 $, ses coordonnées sont $\mathbf{A(0\,;\,-1)}$.
  5. Faux. L'ordre dans un couple de coordonnées est important : le premier nombre est l'abscisse, le second est l'ordonnée. Le point $ B(2\,;\,-3) $ a pour abscisse $ 2 $ et pour ordonnée $ -3 $, alors que $ B'(-3\,;\,2) $ a pour abscisse $ -3 $ et pour ordonnée $ 2 $. Ces deux points sont donc différents.

Pour réviser : Repérer un point dans le plan

Vrai/Faux : Volumes et perspective cavalière

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les volumes des solides et la perspective cavalière, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : En perspective cavalière, les arêtes parallèles d'un solide sont représentées par des segments parallèles sur le dessin.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La perspective cavalière conserve le parallélisme : deux arêtes parallèles dans le solide donnent deux segments parallèles sur le dessin.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le parallélisme est conservé en perspective cavalière. C'est l'une des règles essentielles de cette représentation.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En perspective cavalière, le parallélisme est conservé.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : En perspective cavalière, les arêtes cachées sont représentées en trait plein.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les arêtes cachées (situées derrière le solide, non visibles directement) sont représentées en pointillés. Seules les arêtes visibles sont en trait plein.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour distinguer ce qui est visible de ce qui est caché, on utilise des pointillés pour les arêtes cachées. Le trait plein est réservé aux arêtes visibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1$ litre est égal à $1\,000$ cm³.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La conversion standard est $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³ (puisque $1$ dm $= 10$ cm, et donc $(10)^3 = 1\,000$ cm³).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$1$ litre correspond à $1$ dm³, et puisque $1$ dm $= 10$ cm, on a $1$ dm³ $= 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ cm³.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un prisme droit a pour base un carré de côté $4$ cm et pour hauteur $5$ cm. Son volume est $80$ cm³.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Aire de la base : $4 \times 4 = 16$ cm². Volume : $V = 16 \times 5 = 80$ cm³.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reposer le calcul : aire de la base ($4^2 = 16$ cm²) puis volume ($16 \times 5 = 80$ cm³).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h = 16 \times 5 = 80$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on double toutes les arêtes d'un cube, son volume est aussi multiplié par $2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$V = c^3$. En remplaçant $c$ par $2c$, on obtient $(2c)^3 = 8 c^3$ : le volume est multiplié par $8$, pas par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour un solide en trois dimensions, multiplier toutes les longueurs par $k$ multiplie le volume par $k^3$. Ici, doubler les arêtes multiplie le volume par $2^3 = 8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le volume est multiplié par $2^3 = 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : En perspective cavalière, les angles droits du solide sont toujours dessinés comme des angles droits sur le papier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La perspective cavalière ne conserve pas les angles. Seules les figures placées dans le plan de face sont dessinées en vraie grandeur (avec leurs angles). Les fuyantes utilisent un angle conventionnel (souvent $30°$ ou $45°$), ce qui modifie les angles droits de profondeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La perspective cavalière conserve le parallélisme et les longueurs dans le plan de face, mais pas tous les angles : les fuyantes sont dessinées en oblique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les angles droits ne sont conservés que dans le plan de face. Les fuyantes utilisent un angle conventionnel.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Cylindre de révolution

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le cylindre de révolution, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les deux bases d'un cylindre de révolution sont des disques de même rayon.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un cylindre de révolution est obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés : ses deux bases sont deux disques superposables, donc de même rayon.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par construction, les deux bases d'un cylindre de révolution sont identiques : ce sont deux disques de même rayon, dans des plans parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux bases d'un cylindre de révolution sont des disques superposables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur le patron d'un cylindre, la surface latérale est un disque.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand on déroule la surface latérale d'un cylindre, on obtient un rectangle. Ce sont les deux bases qui sont des disques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La surface latérale d'un cylindre, une fois mise à plat, donne un rectangle. Les disques correspondent uniquement aux deux bases.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sur le patron, la surface latérale est un rectangle ; ce sont les bases qui sont des disques.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur le patron d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$, le rectangle de la surface latérale a pour longueur $2\pi r$ et pour largeur $h$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La longueur correspond au périmètre du cercle de base, soit $2\pi r$. La largeur correspond à la hauteur du cylindre, soit $h$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En déroulant la surface latérale, le côté qui correspondait au cercle de base devient la longueur ($2\pi r$) ; le côté correspondant à la hauteur reste $h$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rectangle latéral a pour dimensions $2\pi r$ (longueur) et $h$ (largeur).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le volume d'un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ est $V = \pi \times r \times h$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule correcte est $V = \pi \times r^2 \times h$ : le rayon est élevé au carré. La formule $\pi \times r \times h$ ne correspond à aucune grandeur usuelle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le volume du cylindre s'obtient en multipliant l'aire de la base ($\pi r^2$) par la hauteur. Il y a donc un $r^2$, pas un simple $r$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $V = \pi \times r^2 \times h$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on double le rayon d'un cylindre sans changer sa hauteur, alors son volume est multiplié par $4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V = \pi r^2 h$. En remplaçant $r$ par $2r$, on obtient $V' = \pi \times (2r)^2 \times h = \pi \times 4r^2 \times h = 4 \times V$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme le rayon intervient au carré dans la formule $V = \pi r^2 h$, doubler le rayon multiplie le volume par $2^2 = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Doubler le rayon multiplie $r^2$ par $4$, donc le volume aussi.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un cylindre de révolution est un cas particulier de prisme droit.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule générale du volume d'un prisme droit ($V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$) reste valable pour le cylindre, dont la base est un disque (cas limite d'un polygone à un très grand nombre de côtés). On considère donc le cylindre comme un prisme particulier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le cylindre vérifie le schéma général d'un prisme droit : deux bases parallèles identiques et une surface latérale perpendiculaire. La seule particularité est que la base est un disque, pas un polygone.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le cylindre se comporte comme un prisme droit dont la base est un disque, ce qui justifie la même formule $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Repérage sur une droite et dans le plan

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le repérage (sur une droite graduée et dans un repère du plan), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'origine d'une droite graduée est toujours le point d'abscisse $0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'origine est définie comme le point de référence à partir duquel on mesure les abscisses : c'est par convention le point d'abscisse $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Sur toute droite graduée, l'origine sert de référence pour les abscisses. C'est le seul point dont l'abscisse vaut $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'origine d'une droite graduée correspond au point d'abscisse $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur une droite graduée, la distance entre deux points peut être un nombre négatif.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une distance est toujours positive. Elle se calcule en retranchant la plus petite abscisse à la plus grande, ce qui donne forcément un résultat positif (ou nul si les points sont confondus).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une distance représente une longueur : elle ne peut pas être négative. Si on obtient un résultat négatif lors d'un calcul, c'est qu'on a soustrait dans le mauvais sens.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une distance est toujours positive ou nulle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un repère du plan, les couples $(2\,;\,5)$ et $(5\,;\,2)$ désignent le même point.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'ordre est important dans les coordonnées : le premier nombre est l'abscisse, le second l'ordonnée. Le point $(2\,;\,5)$ se trouve à $2$ à droite et $5$ au-dessus de l'origine, alors que $(5\,;\,2)$ se trouve à $5$ à droite et $2$ au-dessus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'ordre des coordonnées indique des positions différentes : $(2\,;\,5)$ et $(5\,;\,2)$ sont deux points distincts du plan.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les couples $(2\,;\,5)$ et $(5\,;\,2)$ désignent deux points distincts.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un repère du plan, un point dont l'abscisse est nulle est sur l'axe des ordonnées.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'axe des ordonnées est l'axe vertical. Tous ses points ont une abscisse égale à $0$ : ils sont à la verticale de l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'axe des ordonnées regroupe précisément les points d'abscisse nulle (ils sont alignés verticalement avec l'origine).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Un point d'abscisse nulle se trouve sur l'axe des ordonnées (axe vertical).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur une droite graduée, deux points distincts peuvent avoir la même abscisse.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur une droite graduée, à chaque abscisse correspond un unique point. Si deux points ont la même abscisse, ils sont confondus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La correspondance entre point et abscisse est unique : un seul nombre correspond à chaque point, et un seul point à chaque nombre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sur une droite graduée, à chaque abscisse correspond un unique point.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le point $K(-3\,;\,2)$ est situé en bas à gauche de l'origine d'un repère.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'abscisse $-3$ est négative donc $K$ est à gauche de l'origine, mais l'ordonnée $2$ est positive : $K$ se trouve donc en haut à gauche, pas en bas à gauche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'abscisse négative place bien $K$ à gauche, mais l'ordonnée positive le place au-dessus de l'axe des abscisses, donc en haut à gauche.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le point $K(-3\,;\,2)$ est en haut à gauche (abscisse négative, ordonnée positive).
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Solides et repérage

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : repérage (droite graduée et plan), prismes droits, cylindres de révolution et volumes. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur une droite graduée, $A(-4{,}5)$ et $B(2{,}5)$. Le point $J$ est le milieu de $[AB]$. Quelle est l'abscisse de $J$ ?
[qcm]
[option]$3{,}5$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$-3{,}5$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses : $\dfrac{-4{,}5 + 2{,}5}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}5$"]Non.
La distance $AB$ a été calculée puis divisée par $2$ : c'est la demi-distance, pas l'abscisse du milieu. Le milieu se trouve avec une moyenne, qui dépend des deux abscisses.[/reponse]
[reponse motif="$-3{,}5$"]Non.
La somme $-4{,}5 + 2{,}5$ a été mal calculée (en oubliant un signe). Reprendre soigneusement : $-4{,}5 + 2{,}5 = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le signe de la somme a été inversé. Quand le négatif a la plus grande valeur absolue, le résultat est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le milieu d'un segment $[AB]$ a pour abscisse $\dfrac{x_A + x_B}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un repère, $A(-2\,;\,4)$, $B(3\,;\,4)$ et $C(3\,;\,-1)$. Que peut-on dire des points $A$, $B$ et $C$ ?
[qcm]
[option]$A$, $B$ et $C$ sont alignés sur l'axe des abscisses.[/option]
[option correct="true"]$A$ et $B$ ont la même ordonnée ; $B$ et $C$ ont la même abscisse.[/option]
[option]$A$ et $C$ sont confondus.[/option]
[option]$A$, $B$ et $C$ sont sur l'axe des ordonnées.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$A(-2\,;\,4)$ et $B(3\,;\,4)$ ont la même ordonnée $4$ : ils sont sur la même ligne horizontale. $B(3\,;\,4)$ et $C(3\,;\,-1)$ ont la même abscisse $3$ : ils sont sur la même verticale.[/reponse]
[reponse motif="$A$, $B$ et $C$ sont alignés sur l'axe des abscisses."]Non.
Pour être sur l'axe des abscisses, un point doit avoir une ordonnée nulle. Or aucun de ces trois points n'a $0$ comme ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="$A$ et $C$ sont confondus."]Non.
$A$ et $C$ ont des coordonnées différentes (abscisses et ordonnées) : ce sont deux points distincts.[/reponse]
[reponse motif="$A$, $B$ et $C$ sont sur l'axe des ordonnées."]Non.
Pour être sur l'axe des ordonnées, l'abscisse doit être nulle. Or aucune des trois abscisses n'est nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer chaque coordonnée deux à deux : deux points ont la même abscisse s'ils sont sur la même verticale, la même ordonnée s'ils sont sur la même horizontale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un prisme droit a pour base un triangle de côtés $5$ cm, $5$ cm et $6$ cm. Sa hauteur est $h = 10$ cm. La hauteur du triangle de base, relative au côté de $6$ cm, vaut $4$ cm. Quel est le volume du prisme ?
[qcm]
[option correct="true"]$120$ cm³[/option]
[option]$240$ cm³[/option]
[option]$60$ cm³[/option]
[option]$200$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Aire de la base : $\dfrac{6 \times 4}{2} = 12$ cm². Volume : $V = 12 \times 10 = 120$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$240$ cm³"]Non.
La division par $2$ pour l'aire du triangle a été oubliée : $6 \times 4 = 24$ a été utilisé pour l'aire au lieu de $12$.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm³"]Non.
La hauteur du prisme a été divisée par $2$ à tort, en confondant avec la formule de l'aire du triangle. La division par $2$ ne sert qu'à calculer l'aire de base.[/reponse]
[reponse motif="$200$ cm³"]Non.
Le côté $5$ cm du triangle a été utilisé comme hauteur du triangle de base. Or la hauteur relative au côté de $6$ vaut $4$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord l'aire du triangle de base ($\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$), puis multiplier par la hauteur du prisme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un récipient en forme de cylindre a un rayon de base $r = 10$ cm et une hauteur $h = 20$ cm. On le remplit entièrement d'eau. Quel volume d'eau contient-il, en valeur approchée au litre près ? On prendra $\pi \approx 3{,}14$.
[qcm]
[option]$628$ L[/option]
[option]$2$ L[/option]
[option correct="true"]$6$ L[/option]
[option]$63$ L[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V = \pi r^2 h = \pi \times 100 \times 20 = 2\,000\pi \approx 6\,280$ cm³. Or $1\,000$ cm³ $= 1$ L, donc $V \approx 6{,}28$ L, soit $6$ L au litre près.[/reponse]
[reponse motif="$628$ L"]Non.
Le volume en cm³ a été lu directement comme des litres. Il faut convertir : $1\,000$ cm³ correspondent à $1$ L.[/reponse]
[reponse motif="$2$ L"]Non.
Le facteur $\pi$ semble avoir été oublié. $V = \pi r^2 h$ ; sans $\pi$, on n'obtient que $2\,000$ cm³ $= 2$ L, ce qui n'est pas la formule.[/reponse]
[reponse motif="$63$ L"]Non.
Le facteur de conversion $100$ a été utilisé au lieu de $1\,000$. Reprendre : $1\,000$ cm³ $= 1$ dm³ $= 1$ L.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le volume en cm³ avec $V = \pi r^2 h$, puis convertir en litres en divisant par $1\,000$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur le patron d'un cylindre de hauteur $h = 6$ cm et de rayon $r = 4$ cm, quelles sont les dimensions exactes du rectangle de la surface latérale ?
[qcm]
[option]Longueur $4\pi$ cm, largeur $6$ cm.[/option]
[option correct="true"]Longueur $8\pi$ cm, largeur $6$ cm.[/option]
[option]Longueur $16\pi$ cm, largeur $6$ cm.[/option]
[option]Longueur $8\pi$ cm, largeur $4$ cm.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La longueur du rectangle est le périmètre du cercle : $2\pi r = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi$ cm. La largeur est la hauteur du cylindre : $6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="Longueur $4\pi$ cm, largeur $6$ cm."]Non.
La formule $\pi r$ a été utilisée pour le périmètre. Le périmètre du cercle est $2\pi r$, pas $\pi r$.[/reponse]
[reponse motif="Longueur $16\pi$ cm, largeur $6$ cm."]Non.
La formule $\pi r^2$ a été utilisée : c'est l'aire du disque, pas son périmètre. Le périmètre est $2\pi r$.[/reponse]
[reponse motif="Longueur $8\pi$ cm, largeur $4$ cm."]Non.
Les rôles de $r$ et $h$ ont été inversés. La largeur du rectangle latéral est la hauteur du cylindre, pas le rayon.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur le patron : longueur $=$ périmètre du cercle de base ($2\pi r$) ; largeur $=$ hauteur du cylindre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cube en bois a un volume de $216$ cm³. Quelle est la longueur de son arête ?
[qcm]
[option]$72$ cm[/option]
[option]$108$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[option]$36$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le volume d'un cube d'arête $c$ est $V = c^3$. On cherche le nombre dont le cube vaut $216$. Or $6 \times 6 \times 6 = 216$, donc $c = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$72$ cm"]Non.
La division par $3$ ($216 \div 3 = 72$) a été utilisée à la place de l'extraction de la racine cubique. Le cube est défini par $c^3$, pas $3c$.[/reponse]
[reponse motif="$108$ cm"]Non.
La division par $2$ ($216 \div 2 = 108$) a été utilisée. Or pour un cube, $V = c^3$ et il faut chercher un nombre dont le cube est $216$.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm"]Non.
$36$ est le carré de $6$, pas son cube. La formule du volume utilise $c^3$, donc il faut tester des cubes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un cube, $V = c^3$. Chercher un nombre dont le produit par lui-même trois fois donne $216$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Volumes de prismes droits et de cylindres

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul des volumes des prismes droits et des cylindres de révolution. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Un prisme droit a pour base un rectangle d'aire $\mathcal{A}_{\text{base}} = 12$ cm² et sa hauteur est $h = 5$ cm. Quel est son volume ?
[qcm]
[option]$17$ cm³[/option]
[option correct="true"]$60$ cm³[/option]
[option]$60$ cm²[/option]
[option]$30$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h = 12 \times 5 = 60$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$17$ cm³"]Non.
L'aire de base et la hauteur ont été additionnées au lieu d'être multipliées. La formule $V = \mathcal{A} \times h$ est un produit.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm²"]Non.
Le résultat numérique est correct mais l'unité est fausse. Un volume s'exprime en cm³ (centimètres cubes), pas en cm².[/reponse]
[reponse motif="$30$ cm³"]Non.
La division par $2$ utilisée pour l'aire d'un triangle a été appliquée à tort. Pour un volume de prisme, on multiplie aire et hauteur, sans division.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un prisme droit, le volume est : aire d'une base $\times$ hauteur. Et un volume s'exprime en cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cylindre de révolution a un rayon de base $r = 3$ cm et une hauteur $h = 10$ cm. Quel est son volume exact, en fonction de $\pi$ ?
[qcm]
[option]$30 \pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$90 \pi$ cm³[/option]
[option]$60 \pi$ cm³[/option]
[option]$100 \pi$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$30 \pi$ cm³"]Non.
La formule $\pi \times r \times h$ a été utilisée : le rayon n'a pas été élevé au carré. La formule correcte est $V = \pi r^2 h$.[/reponse]
[reponse motif="$60 \pi$ cm³"]Non.
La formule $2\pi r \times h$ a été utilisée : c'est l'aire de la surface latérale, pas le volume. Le volume utilise $r^2$.[/reponse]
[reponse motif="$100 \pi$ cm³"]Non.
La hauteur $10$ a été élevée au carré au lieu du rayon. C'est le rayon $r$ qui est au carré dans la formule du volume.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume d'un cylindre est $V = \pi \times r^2 \times h$. Bien élever le rayon au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés $3$ cm et $4$ cm (les côtés de l'angle droit). Sa hauteur est $h = 8$ cm. Quel est son volume ?
[qcm]
[option]$96$ cm³[/option]
[option correct="true"]$48$ cm³[/option]
[option]$24$ cm³[/option]
[option]$36$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Aire de la base : $\mathcal{A} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm². Volume : $V = 6 \times 8 = 48$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$96$ cm³"]Non.
Le triangle a été traité comme un rectangle : la division par $2$ a été oubliée. L'aire d'un triangle est $\dfrac{b \times h}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$24$ cm³"]Non.
Une division par $2$ a été appliquée au volume final, mais elle ne sert qu'à calculer l'aire de la base, pas le volume.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm³"]Non.
Les trois nombres $3$, $4$ et $8$ ont été additionnés ou combinés sans appliquer la formule. Reposer le calcul : aire de la base $\times$ hauteur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord l'aire de la base (triangle rectangle : $\dfrac{c_1 \times c_2}{2}$), puis multiplier par la hauteur du prisme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cylindre a un volume de $50\pi$ cm³ et une hauteur de $h = 2$ cm. Quel est le rayon de sa base ?
[qcm]
[option]$25$ cm[/option]
[option correct="true"]$5$ cm[/option]
[option]$10$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V = \pi r^2 h$ donne $50\pi = \pi \times r^2 \times 2$, donc $r^2 = \dfrac{50}{2} = 25$. Le nombre dont le carré vaut $25$ est $5$ (car $5 \times 5 = 25$), donc $r = 5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$25$ cm"]Non.
La valeur de $r^2$ a été donnée à la place de $r$. Il fallait chercher le nombre dont le carré vaut $25$ : c'est $5$ (car $5 \times 5 = 25$).[/reponse]
[reponse motif="$10$ cm"]Non.
Le calcul $5 \times 2 = 10$ a été effectué, mais la hauteur a déjà été utilisée pour trouver $r^2$. Une fois $r^2 = 25$ obtenu, il faut juste chercher le nombre dont le carré vaut $25$.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
$7 \times 7 = 49$, ce qui ne donne pas $25$. Il faut le nombre dont le carré vaut exactement $25$, c'est-à-dire $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Isoler $r^2$ dans la formule $V = \pi r^2 h$, puis chercher le nombre dont le carré donne ce résultat.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un prisme droit a pour base un trapèze d'aire $\mathcal{A}_{\text{base}} = 18$ cm² et son volume est $V = 144$ cm³. Quelle est la hauteur de ce prisme ?
[qcm]
[option]$162$ cm[/option]
[option]$126$ cm[/option]
[option correct="true"]$8$ cm[/option]
[option]$2\,592$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
À partir de $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$, on isole $h = \dfrac{V}{\mathcal{A}_{\text{base}}} = \dfrac{144}{18} = 8$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$162$ cm"]Non.
$144 + 18 = 162$ : une addition a été effectuée à la place d'une division. Reprendre la formule $V = \mathcal{A} \times h$ et isoler $h$.[/reponse]
[reponse motif="$126$ cm"]Non.
$144 - 18 = 126$ : une soustraction a été effectuée. La relation entre volume, aire et hauteur est multiplicative, donc on divise.[/reponse]
[reponse motif="$2\,592$ cm"]Non.
$144 \times 18$ a été calculé : c'est une multiplication au lieu d'une division. Pour isoler $h$, diviser le volume par l'aire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule du volume d'un prisme s'inverse en : $h = \dfrac{V}{\mathcal{A}_{\text{base}}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cylindre a un rayon de base $r = 5$ cm et une hauteur $h = 4$ cm. Quelle est la valeur approchée de son volume au cm³ près ? On prendra $\pi \approx 3{,}14$.
[qcm]
[option]$31$ cm³[/option]
[option]$63$ cm³[/option]
[option correct="true"]$314$ cm³[/option]
[option]$1\,256$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 25 \times 4 = 100\pi \approx 100 \times 3{,}14 = 314$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$31$ cm³"]Non.
Seul le facteur $\pi$ a été utilisé sans multiplier par $100$. Reprendre : $r^2 \times h = 25 \times 4 = 100$, à multiplier par $\pi$.[/reponse]
[reponse motif="$63$ cm³"]Non.
Le rayon n'a pas été élevé au carré : $\pi \times 5 \times 4 = 20\pi \approx 62{,}8$. La formule est $V = \pi r^2 h$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,256$ cm³"]Non.
Le diamètre $d = 10$ a été utilisé à la place du rayon : $\pi \times 100 \times 4 = 400\pi \approx 1\,256$. Diviser le diamètre par $2$ pour obtenir le rayon.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $r^2$, puis multiplier par $h$, puis par $\pi$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Coordonnées d’un point dans un repère

[enonce]
Ce QCM porte sur le repérage dans un repère du plan : abscisse, ordonnée et coordonnées d'un point. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans un repère du plan, le point $M$ a pour coordonnées $M(4\,;\,3)$. Quelle est son abscisse ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un couple de coordonnées $(x\,;\,y)$, le premier nombre est l'abscisse et le second l'ordonnée. Ici, l'abscisse est $4$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Le second nombre du couple a été choisi : il s'agit de l'ordonnée, pas de l'abscisse. L'ordre est important : abscisse en premier.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Les deux coordonnées ont été additionnées. Une coordonnée est l'un des deux nombres du couple, pas leur somme.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La différence des deux coordonnées a été calculée. L'abscisse se lit directement comme le premier nombre du couple.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans la notation $M(x\,;\,y)$, $x$ est l'abscisse et $y$ est l'ordonnée. Lire le premier nombre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un repère du plan, le point $P$ a une ordonnée nulle. Sur quel axe est-il situé ?
[qcm]
[option correct="true"]L'axe des abscisses.[/option]
[option]L'axe des ordonnées.[/option]
[option]Les deux axes en même temps.[/option]
[option]Aucun des deux axes.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un point d'ordonnée $0$ est situé à hauteur de l'axe horizontal : il appartient donc à l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="L'axe des ordonnées."]Non.
Confusion entre les deux axes : l'axe des ordonnées contient les points dont l'abscisse est nulle, pas l'ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="Les deux axes en même temps."]Non.
Un point n'appartient aux deux axes que s'il est à la fois d'abscisse $0$ et d'ordonnée $0$, c'est-à-dire s'il est l'origine. Ici, seule l'ordonnée est imposée.[/reponse]
[reponse motif="Aucun des deux axes."]Non.
Une ordonnée nulle place le point sur la même ligne horizontale que l'origine, donc sur un axe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'axe horizontal regroupe tous les points dont l'ordonnée vaut $0$ ; l'axe vertical regroupe tous les points dont l'abscisse vaut $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un repère, le point $A$ a pour abscisse $-2$ et pour ordonnée $5$. Quelles sont ses coordonnées ?
[qcm]
[option]$A(5\,;\,-2)$[/option]
[option correct="true"]$A(-2\,;\,5)$[/option]
[option]$A(2\,;\,5)$[/option]
[option]$A(-2\,;\,-5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On note $A(x\,;\,y)$ avec $x$ l'abscisse et $y$ l'ordonnée. Donc $A(-2\,;\,5)$.[/reponse]
[reponse motif="$A(5\,;\,-2)$"]Non.
L'abscisse et l'ordonnée ont été inversées. L'abscisse s'écrit toujours en premier.[/reponse]
[reponse motif="$A(2\,;\,5)$"]Non.
Le signe $-$ de l'abscisse a été oublié. Une abscisse négative correspond à un point à gauche de l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$A(-2\,;\,-5)$"]Non.
Un signe $-$ a été ajouté à tort à l'ordonnée. Bien lire : l'ordonnée vaut $5$, pas $-5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans la notation des coordonnées, l'abscisse vient en premier puis l'ordonnée, séparés par un point-virgule.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un repère du plan, quel point est situé à l'origine ?
[qcm]
[option]$A(1\,;\,1)$[/option]
[option]$B(1\,;\,0)$[/option]
[option]$C(0\,;\,1)$[/option]
[option correct="true"]$D(0\,;\,0)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'origine $O$ a pour coordonnées $(0\,;\,0)$ : son abscisse et son ordonnée sont nulles.[/reponse]
[reponse motif="$A(1\,;\,1)$"]Non.
Ce point a une abscisse et une ordonnée non nulles : il n'est pas à l'origine. Il se trouve à $1$ à droite et $1$ au-dessus de l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$B(1\,;\,0)$"]Non.
Ce point est sur l'axe des abscisses (ordonnée nulle), mais pas à l'origine : son abscisse vaut $1$, pas $0$.[/reponse]
[reponse motif="$C(0\,;\,1)$"]Non.
Ce point est sur l'axe des ordonnées (abscisse nulle), mais pas à l'origine : son ordonnée vaut $1$, pas $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À l'origine, les deux coordonnées sont simultanément nulles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un repère, le point $K$ a pour coordonnées $K(-3\,;\,-4)$. Dans quel quart du plan est-il situé ?
[qcm]
[option]En haut à droite de l'origine.[/option]
[option]En haut à gauche de l'origine.[/option]
[option correct="true"]En bas à gauche de l'origine.[/option]
[option]En bas à droite de l'origine.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'abscisse $-3$ est négative donc $K$ est à gauche de l'axe des ordonnées. L'ordonnée $-4$ est négative donc $K$ est au-dessous de l'axe des abscisses : il est en bas à gauche.[/reponse]
[reponse motif="En haut à droite de l'origine."]Non.
Les deux signes ont été ignorés. Quand l'abscisse et l'ordonnée sont négatives, le point est dans le coin opposé à $(+\,;\,+)$.[/reponse]
[reponse motif="En haut à gauche de l'origine."]Non.
Le signe de l'ordonnée a été oublié. Une ordonnée négative place le point au-dessous de l'axe horizontal.[/reponse]
[reponse motif="En bas à droite de l'origine."]Non.
Le signe de l'abscisse a été oublié. Une abscisse négative place le point à gauche de l'axe vertical.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le signe de l'abscisse donne le côté (gauche/droite) ; le signe de l'ordonnée donne la hauteur (haut/bas).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un repère, le point $M$ a pour coordonnées $M(2\,;\,5)$. Le point $N$ a pour coordonnées $N(5\,;\,2)$. Que peut-on dire ?
[qcm]
[option]$M$ et $N$ sont confondus.[/option]
[option correct="true"]$M$ et $N$ sont des points distincts.[/option]
[option]$M$ et $N$ sont sur l'axe des abscisses.[/option]
[option]$M$ et $N$ sont sur l'axe des ordonnées.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'ordre des coordonnées dans un couple est important : $(2\,;\,5) \neq (5\,;\,2)$. Les deux points ne sont donc pas situés au même endroit.[/reponse]
[reponse motif="$M$ et $N$ sont confondus."]Non.
Deux couples de coordonnées qui ont les mêmes nombres mais dans un ordre différent désignent deux points distincts.[/reponse]
[reponse motif="$M$ et $N$ sont sur l'axe des abscisses."]Non.
Pour qu'un point soit sur l'axe des abscisses, son ordonnée doit être nulle. Ici, ni $M$ ni $N$ n'a une ordonnée nulle.[/reponse]
[reponse motif="$M$ et $N$ sont sur l'axe des ordonnées."]Non.
Pour qu'un point soit sur l'axe des ordonnées, son abscisse doit être nulle. Ici, ni $M$ ni $N$ n'a une abscisse nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer les deux points sur le repère pour vérifier : l'ordre des coordonnées détermine la position.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]