Vrai/Faux : Limites de fonctions (5)
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les limites d'une fonction en un point fini, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Soit $f$ une fonction définie et continue en un réel $a$.
Affirmation : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est précisément la définition de la continuité de $f$ en $a$ : la limite en $a$ existe et coïncide avec la valeur $f(a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Souviens-toi de la définition : dire que $f$ est continue en $a$, c'est exactement dire que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Sur les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, racine, exponentielle, logarithme), on calcule donc la limite en un point de continuité par simple substitution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition même de la continuité de $f$ en $a$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $h(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}$.
Affirmation : $\lim\limits_{x \to 1} h(x) = +\infty$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Lorsque $x$ tend vers $1$, $(x-1)^2$ tend vers $0$ en restant strictement positif (c'est un carré). Le quotient $\dfrac{1}{(x-1)^2}$ tend donc vers $+\infty$, et ce des deux côtés de $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : $(x-1)^2$ est un carré, donc toujours positif, que $x$ approche $1$ par la gauche ou par la droite.
On a $\lim\limits_{x \to 1} (x-1)^2 = 0^+$, donc $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x-1)^2} = +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(x-1)^2 \to 0^+$ donc $\dfrac{1}{(x-1)^2} \to +\infty$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
Affirmation : $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On est face à une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On factorise le numérateur :
Donc $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = 4$, pas $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique : numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $0$, mais cela ne signifie pas que la limite vaut $0$ — c'est une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$.
Il faut factoriser : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, donc $g(x) = x + 2$ pour $x \neq 2$, et $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Après factorisation, $g(x) = x+2$ pour $x \neq 2$, donc $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = 4$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^2} = -\infty$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Même si $x$ approche $0$ par valeurs négatives, $x^2$ reste positif (c'est un carré). On a $x^2 \to 0^+$, donc $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$, et non $-\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion fréquente entre le signe de $x$ et le signe de $x^2$.
Lorsque $x \to 0^-$, on a bien $x < 0$, mais $x^2 > 0$ : $x^2$ tend vers $0^+$. Le quotient $\dfrac{1}{x^2}$ tend donc vers $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 \to 0^+$ même si $x \to 0^-$, donc $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $g$ une fonction telle que $\lim\limits_{x \to 3^+} g(x) = -\infty$.
Affirmation : La droite d'équation $x = 3$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $g$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
Par définition, dès qu'une limite à gauche ou à droite en un réel $a$ vaut $+\infty$ ou $-\infty$, la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il suffit qu'une seule des deux limites latérales soit infinie pour que l'asymptote verticale existe.
Ici $\lim\limits_{x \to 3^+} g(x) = -\infty$ : la droite $x = 3$ est donc asymptote verticale, peu importe le comportement à gauche.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Une limite latérale infinie en $a$ suffit pour conclure à une asymptote verticale d'équation $x = a$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$.
Affirmation : $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Les deux limites latérales sont distinctes :
La limite globale en $2$ n'existe donc pas, on ne peut pas écrire $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pense à étudier le signe de $x-2$ de chaque côté de $2$.
À droite, $x-2 \to 0^+$ donc $f(x) \to +\infty$. À gauche, $x-2 \to 0^-$ donc $f(x) \to -\infty$. Les deux limites latérales étant différentes, la limite en $2$ n'existe pas.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $f$ tend vers $+\infty$ à droite de $2$ mais vers $-\infty$ à gauche : la limite en $2$ n'existe pas.
[/solution]
[/etape]
