Synthèse — concentration d’un médicament dans le sang
Une étude pharmacologique mesure la concentration $ C $ (en mg/L) d'un médicament dans le sang d'un patient au cours du temps $ t $ (en heures), à partir de l'instant de l'injection.
| $ t_{i} $ (en h) | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 6 $ | $ 8 $ |
| $ C_{i} $ (en mg/L) | $ 80 $ | $ 64 $ | $ 51 $ | $ 41 $ | $ 33 $ | $ 21 $ | $ 13 $ |
Partie A — Ajustement affine
- À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés $ C=a_{1}\,t+b_{1} $ (arrondir au centième), ainsi que le coefficient de corrélation linéaire $ r_{1} $ (arrondir au millième).
- La valeur de $ r_{1} $ semble proche de $ 1 $ en valeur absolue. Expliquer pourquoi cet ajustement reste cependant peu satisfaisant en regardant les écarts entre la prévision et les valeurs observées pour $ t=0 $ et $ t=8 $.
Partie B — Ajustement exponentiel
On pose $ z=\ln(C) $ et on étudie un ajustement de la forme $ C=A\,e^{kt} $.
- À l'aide de la calculatrice, on obtient pour la régression affine $ z=a_{2}\,t+b_{2} $ :
$ a_{2}\approx -0{,}226 $ ; $ b_{2}\approx 4{,}388 $ ; $ r_{2}\approx -0{,}99996 $.
Comparer $ |r_{1}| $ et $ |r_{2}| $. Quel ajustement est le plus pertinent ? - En déduire les valeurs approchées de $ k $ et $ A $ (arrondir $ A $ au dixième), puis donner l'expression de $ C $ en fonction de $ t $.
Partie C — Exploitation du modèle
On utilise désormais le modèle $ C(t)=80{,}5\,e^{-0{,}226\,t} $.
- Estimer la concentration au bout de $ 5 $ heures. Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
- Estimer la concentration au bout de $ 10 $ heures. Même question.
- À partir de quelle durée (au dixième d'heure) la concentration devient-elle inférieure à $ 5 $ mg/L ? Justifier par un calcul utilisant la fonction logarithme.
Corrigé
Partie A
On saisit les sept couples $ (t_{i}\,;C_{i}) $ en mode statistique deux variables, puis on lance la régression linéaire. La calculatrice affiche :
$\mathbf{C\approx -8{,}13\,t+71{,}16}$ avec $\mathbf{r_{1}\approx -0{,}969}$Vérifions les prévisions du modèle affine pour les valeurs extrêmes :
- Pour $ t=0 $ : $ C\approx 71{,}16 $, alors que la valeur observée est $ 80 $. Écart : environ $ 9 $ mg/L (sous-estimation).
- Pour $ t=8 $ : $ C\approx -8{,}13\times 8+71{,}16=-65{,}04+71{,}16=6{,}12 $, alors que la valeur observée est $ 13 $. Écart : environ $ 7 $ mg/L (sous-estimation).
- Pour $ t=4 $ : $ C\approx -8{,}13\times 4+71{,}16=-32{,}52+71{,}16=38{,}64 $, alors que la valeur observée est $ 33 $. Écart : environ $ 6 $ mg/L (surestimation).
Les écarts sont importants et changent de sens : le modèle affine surestime au milieu de la plage et sous-estime aux extrémités, ce qui montre que la décroissance des données n'est pas régulière. Un coefficient $ |r_{1}|\approx 0{,}97 $ ne suffit donc pas à valider l'ajustement.
Partie B
On a $ |r_{2}|\approx 0{,}99996 $ et $ |r_{1}|\approx 0{,}969 $. Donc :
$ |r_{2}|>|r_{1}| $L'ajustement affine de $ z=\ln(C) $ en fonction de $ t $ est bien meilleur que celui de $ C $ en fonction de $ t $ : le modèle exponentiel est donc plus pertinent.
Par identification avec $ z=kt+\ln(A) $ : $ k\approx -0{,}226 $ et $ \ln(A)\approx 4{,}388 $, d'où :
$ A\approx e^{4{,}388}\approx 80{,}5 $L'expression de $ C $ en fonction de $ t $ est donc :
$\mathbf{C\approx 80{,}5\,e^{-0{,}226\,t}}$
Partie C
Pour $ t=5 $ :
$ C(5)\approx 80{,}5\times e^{-0{,}226\times 5}=80{,}5\times e^{-1{,}13}\approx 80{,}5\times 0{,}3230\approx 26{,}0 $La concentration estimée est d'environ $ 26{,}0 $ mg/L. Comme $ 5\in [0\,;8] $, il s'agit d'une interpolation, a priori fiable.
Pour $ t=10 $ :
$ C(10)\approx 80{,}5\times e^{-0{,}226\times 10}=80{,}5\times e^{-2{,}26}\approx 80{,}5\times 0{,}1042\approx 8{,}4 $La concentration estimée est d'environ $ 8{,}4 $ mg/L. Comme $ 10>8 $, il s'agit d'une extrapolation, à manier avec prudence : le modèle est extrapolé hors de la plage observée et les conditions physiologiques peuvent évoluer.
On résout :
$ 80{,}5\,e^{-0{,}226\,t}<5 $$ e^{-0{,}226\,t}<\dfrac{5}{80{,}5}\approx 0{,}06211 $La fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ ]0\,;+\infty[ $, donc :
$ -0{,}226\,t<\ln(0{,}06211)\approx -2{,}778 $$ t>\dfrac{-2{,}778}{-0{,}226}\approx 12{,}3 $(L'inégalité change de sens car on divise par $ -0{,}226<0 $.)
D'après le modèle, la concentration devient inférieure à $ 5 $ mg/L au bout d'environ $ 12{,}3 $ h, soit un peu plus de $ 12 $ heures après l'injection. Cette valeur résulte d'une extrapolation.
→ Pour réviser : Interpréter le coefficient de corrélation linéaire