Vrai/Faux : Dérivée — produit et quotient

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x-1}{x-2}$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]2~;~+\infty\right[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x-1$ et $v(x) = x-2$, donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} = \dfrac{-1}{(x-2)^2}$
$f'$ est strictement négative sur $\left]2~;~+\infty\right[$, donc $f$ y est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'appliquer la règle du quotient en inversant les termes : $\dfrac{uv' - u'v}{v^2}$ au lieu de $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, ce qui donnerait un numérateur positif. Le numérateur correct est $(x-2) - (x-1) = -1$.
On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{(x-2)^2} < 0$ sur $\left]2~;~+\infty\right[$. Une dérivée strictement négative implique une fonction strictement décroissante. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{(x-2)^2} < 0$ pour tout $x \neq 2$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\left]2~;~+\infty\right[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+m}{x^2+1}$.

Affirmation : Pour $m < 1$, la fonction $f$ est croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x^2+m$ et $v(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = v'(x) = 2x$.
$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{2x(x^2+1) - 2x(x^2+m)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x(1-m)}{(x^2+1)^2}$
Pour $m < 1$ et $x > 0$ : $f'(x) > 0$, donc $f$ est bien croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas simplifier correctement le numérateur $2x(x^2+1) - 2x(x^2+m) = 2x(1-m)$ après factorisation, et de croire que le signe de $f'$ dépend de $x^2$ plutôt que de $(1-m)$.
On calcule $f'(x) = \dfrac{2x(1-m)}{(x^2+1)^2}$. Pour $m < 1$ et $x > 0$, les deux facteurs du numérateur sont positifs, donc $f'(x) > 0$ : $f$ est bien croissante. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Après calcul, $f'(x) = \dfrac{2x(1-m)}{(x^2+1)^2}$. Pour $m < 1$ et $x > 0$, on a $f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose $g(x) = x^2 \times f(x)$.

Affirmation : $g'(0) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x^2$ et $v(x) = f(x)$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = f'(x)$.
$g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)$
Donc $g'(0) = 2 \times 0 \times f(0) + 0^2 \times f'(0) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $g'(0)$ dépend de la valeur de $f'(0)$, qui n'est pas connue, et d'en conclure qu'on ne peut pas déterminer le signe. Or les deux termes de la dérivée du produit contiennent $x$ ou $x^2$, qui s'annulent tous les deux en $0$.
Par la règle du produit : $g'(x) = 2xf(x) + x^2 f'(x)$.
En $x = 0$ : $g'(0) = 0 \cdot f(0) + 0^2 \cdot f'(0) = 0$. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par la règle du produit : $g'(x) = 2xf(x) + x^2 f'(x)$, et en $x = 0$ les deux termes sont nuls, donc $g'(0) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}$.

Affirmation : Pour tout $x \neq 1$ : $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{(x-1)^2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x^2+1$ et $v(x) = x-1$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - (x^2+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$
Le numérateur correct est $x^2 - 2x - 1$ (et non $x^2 - 2x + 1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier le signe moins devant $v = x-1$ lorsqu'on distribue : $2x(x-1) - (x^2+1) = 2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$, et non $x^2 - 2x + 1$.
On calcule $f'(x) = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$.
Le numérateur est $-1$ et non $+1$ : la formule proposée est incorrecte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le calcul correct donne $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$ (numérateur en $-1$, non en $+1$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $n$ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^n+1)(x^n-1)$.

Affirmation : $f'(1) = n^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe à l'aide d'une identité remarquable : $f(x) = (x^n)^2 - 1 = x^{2n} - 1$.
Donc $f'(x) = 2n x^{2n-1}$, d'où $f'(1) = 2n$.
$f'(1) = 2n \neq n^2$ en général (par exemple $n = 3$ donne $6 \neq 9$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'appliquer la règle du produit directement sur $(x^n+1)(x^n-1)$ et d'évaluer en $x=1$ : $(nx^{n-1})(x^n-1) + (x^n+1)(nx^{n-1}) = n(1-1) + n(1+1) = 2n$. On obtient $2n$, pas $n^2$.
En développant : $f(x) = x^{2n} - 1$, donc $f'(x) = 2nx^{2n-1}$ et $f'(1) = 2n$, pas $n^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En utilisant l'identité remarquable $f(x) = x^{2n} - 1$, on obtient $f'(x) = 2nx^{2n-1}$ et $f'(1) = 2n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{0\}$ par $f(x) = \dfrac{x+1}{x}$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty~;~0\right[$ et sur $\left]0~;~+\infty\right[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x+1$ et $v(x) = x$, donc $u'(x) = v'(x) = 1$.
$f'(x) = \dfrac{x - (x+1)}{x^2} = \dfrac{-1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$.
$f$ est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de simplifier $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$ et de raisonner sur le signe de $\dfrac{1}{x}$ plutôt que sur la dérivée, conduisant à penser que $f$ croît ou décroît selon le signe de $x$. Or $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ sur chaque intervalle.
On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$. La dérivée étant strictement négative, $f$ est bien strictement décroissante sur $\left]-\infty~;~0\right[$ et sur $\left]0~;~+\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$, donc $f$ est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.
[/solution]
[/etape]

Points d’intersection avec une tangente

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f (x) =x^3 - x^2 - x $

On note $ \mathscr{C} $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Étudier les variations de la fonction $ f $ sur $ \mathbb{R} . $
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ avec l'axe des abscisses.
Donnez l'équation réduite de la tangente $ (T_a) $ à la courbe $ \mathscr{C} $ au point d'abscisse $ a. $
1. Développer $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) . $
2. Déterminer, en fonction de $ a $, le nombre et les abscisses des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ et de la tangente $ (T_a). $

Corrigé

La fonction $ f $ est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $ \mathbb{R} . $

Sa dérivée est définie par :
$ f^{\prime} (x) =3x^2 - 2x - 1 $

Étudions le signe de $ f^{\prime} $ :
$ \Delta = ( - 2) ^2 - 4 \times 3 \times ( - 1) = 16 > 0 $

$ f^{\prime} $ admet donc 2 racines :
$ x_1= \dfrac{ 2 - \sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = - \dfrac{ 2 }{ 6 } = - \dfrac{ 1 }{ 3 } $
$ x_2= \dfrac{ 2 +\sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = \dfrac{ 6 }{ 6 } = 1 $

Le coefficient de $ x^2 ~ (a=3) $, est strictement positif. On en déduit le tableau de signes de $ f^{\prime} $ et le tableau de variations de $ f $ , compte tenu du fait que :

$ f \left( - \dfrac{ 1 }{ 3 } \right) = - \dfrac{ 1 }{ 27 } - \dfrac{ 1 }{ 9 } + \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 5 }{ 27 } $
$ f (1) =1 - 1 - 1= - 1 $
Les abscisses des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation :
$ x^{ 3 } - x^2 - x=0 $

Cette équation équivaut à :
$ x \left( x^2 - x - 1 \right) =0 $

soit $ x=0 $ ou $ x^2 - x - 1=0 $

Le discriminant de $ x^2 - x - 1 $ est :
$ \Delta = ( - 1) ^2 - 4 \times 1 \times ( - 1) =5 >0 $

L'équation $ x^2 - x - 1 $ admet donc 2 solutions :
$ x= \dfrac{ 1+ \sqrt { 5 } }{ 2 } $ ou $ x= \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } . $

En conclusion, la courbe $ \mathscr{C} $ coupe l'axe des abscisses en trois points de coordonnées respectives :
$ \left( 0 ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 + \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) $.
L'équation de la tangente $ \left( T_{ a } \right) $ au point d'abscisse $ a $ est donnée par la formule :

$ y=f^{\prime} (a) (x - a) +f (a) $

Ici, on obtient :
$ y= (3a^2 - 2a - 1) (x - a) +a^{ 3 } - a^2 - a $
$ y= (3a^2 - 2a - 1) x - 3a^{ 3} +2a^2 +a+a^{ 3 } - a^2 - a $
$ y = (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $
1. $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) = (x^2 - 2ax+a^2 ) (x+2a - 1) $
  $ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} +2ax^2 - x^2 - 2ax^2 - 4a^2 x+2ax +a^2 x+2a^{ 3 } - a^2 $
  $ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2 . $
2. Pour déterminer les abscisses des points d'intersection de $ \mathscr{C} $ et de $ \left( T_{ a } \right) $, on résout l'équation :
  
  $ x^{ 3} - x^2 - x= (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $
  $ x^{ 3} - x^2 - x - (3a^2 - 2a - 1) x+ 2a^{ 3 } - a^2=0 $
  $ x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2=0 $
  
  d'après la question précédente, cette équation équivaut à :
  $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) =0 $
  
  par conséquent :
  $ (x - a) ^2 =0 $ ou $ x+2a - 1=0 $
  $ x=a $ ou $ x= - 2a+1 $
  
  On a donc, en général, deux points d'intersection d'abscisses respectives $\mathbf{a}$ et $\mathbf{- 2a+1}$.
  
  Toutefois, ces points peuvent être confondus si $ a= - 2a+1 $ c'est-à-dire si $ 3a=1 $ soit $ a= \dfrac{ 1 }{ 3 } $ ; on a alors un seul point d'intersection : le point d'abscisse $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $.

Pour réviser : Déterminer l'équation d'une tangente à une courbe

Étude d’une fonction à l’aide d’une fonction annexe

Partie A

Soit la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ g (x) =2x^{ 3 } +2x^2 - 1.$

Étudier les variations de la fonction $ g $ sur $ \mathbb{R} . $
Calculer $ g (0) $ et $ g (1). $
On admet que l'équation $ g (x) =0 $ admet une unique solution $ x_{ 0 } $ sur $ \mathbb{R} $.
Justifier que $ x_{ 0 } \in \left] 0 ; 1 \right[ $.
Déterminer le signe de $ g (x) $ sur $ \mathbb{R} $.
On considère le programme Python ci-dessous :
```
def g(x) :
    return 2*x**3 + 2*x**2 - 1
def solution() :
    x = 0
    y = g(x)
    while y < 0 :
        x = x + 0.01
        y = g(x)
    return x
```
L'appel de la fonction solution() définie ci-dessus retourne 0.57.
donner un encadrement d'amplitude 0,01 de $ x_{ 0 }. $

Partie B

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} $ par :

$ f (x) = \dfrac{ x^{ 3 } +2x^2 +1 }{ x } . $

Montrer que pour tout réel $ x $ non nul :

$ f^{\prime} (x)= \dfrac{ g (x) }{ x^2 } . $
Dresser le tableau de variations de $ f $ sur $ \mathbb{R} . $ (On ne cherchera pas à déterminer la valeur de l’extremum de cette fonction.)

Corrigé

Partie A

La fonction $ g $ est une fonction polynôme, donc, elle est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :

$ g^{\prime} (x) =2 \times 3x^2+2 \times 2x=6x^2 +4x =2x (3x+2). $

$ g^{\prime} $ possède donc 2 racines : $ x_{ 1 } =0 $ et $ x_{ 2 } = - \dfrac{ 2 }{ 3 } . $

Le coefficient du terme du second degré est positif donc $ g^{\prime} $ est négative entre $ - \dfrac{ 2 }{ 3 } $ et $ 0 $ et est positive à l'extérieur de ces racines.

$ g (0) = - 1 $

$ g \left( - \dfrac{ 2 }{ 3 } \right) =2 \times \left( - \dfrac{ 2 }{ 3 } \right) ^{3} +2 \times \left( - \dfrac{ 2 }{ 3 } \right) ^2 - 1 = - \dfrac{ 19 }{ 27 } . $

On peut alors dresser le tableau de variations de $ g $ :
On a déjà calculé $ g (0) = - 1 $ qui est strictement négatif.
$ g (1) =3 $ est strictement positif.
$ g $ change de signe entre $ 0 $ et $ 1 $ donc s'annule pour un nombre $ x_{ 0 } $ appartenant à l'intervalle $ \left] 0 ; 1 \right[ . $

Remarque : Une démonstration plus rigoureuse nécessiterait l'emploi du théorème des valeurs intermédiaires qui n'est pas au programme de Première. Ici, seule une justification était demandée.
D'après le tableau de variations, $ g $ est négative sur l'intervalle $ \left] - \infty ; 0 \right] $.
D'après la question précédente, $ g $ est également négative sur l'intervalle $ \left[ 0 ; x_{ 0 } \right[ $ mais positive sur l'intervalle $ \left] x_{ 0 } ; + \infty \right[. $

Le tableau de signes de $ g $ est donc le suivant :
La fonction « solution () » calcule les valeurs de $ g (x) $ pour $ x $ partant de $ 0 $ et augmentant par pas de $ 0{,}01. $

La boucle « while » s'arrête dès que $ g (x) \geqslant 0 $ et la fonction renvoie alors la valeur de la variable $ x. $
Ce nombre retourné est donc le plus petit nombre de deux décimales tel que $ g (x) \geqslant 0. $

Ce nombre étant égal à $ 0{,}57 $ d'après l'énoncé, on a donc $ g (0{,}57) \geqslant 0 $ mais $ g (0{,}56) < 0. $

Par conséquent : $\mathbf{0{,}56 < x_{ 0 } \leqslant 0{,}57}$.

Partie B

Posons : $ u (x) =x^3 +2x^{ 2 } +1 $ et $ v (x) =x $.

Alors : $ u^{\prime} (x) =3x^2 +4x $ et $ v^{\prime} (x) =1 $

Donc :

$ f^{\prime} (x) = \dfrac{ u^{\prime} (x) v (x) - u (x) v^{\prime} (x) }{ v (x) ^2 } $

$ \phantom{ f^{\prime} (x) } = \dfrac{ x (3x^2 +4x) - (x^{ 3 } +2x^2 +1) }{ x^2 } $

$ \phantom{ f^{\prime} (x) } = \dfrac{ 2x^{ 3 } +2x^2 - 1 }{ x^2 } $

$ \phantom{ f^{\prime} (x) } = \dfrac{ g (x) }{ x^2 } $
$ x^2 $ est toujours strictement positif sur $ \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}. $
$ f^{\prime} (x) $ est donc du signe de $ g (x) $ qui est donné par le tableau de la question a.3.
Toutefois, $ f $ n'est pas définie en $ 0. $

On en déduit le tableau de variations de la fonction $ f $ :

Pour réviser : Étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée

Famille de fonctions – Tableaux de variations

Soit $ m $ un nombre réel donné et $ f_{ m } $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f_{ m } (x) = \dfrac{ x^2 +m }{ x^2 +1 } $

Justifier que la fonction $ f_{ m } $ est bien définie sur $ \mathbb{R} . $
Étudier la parité de la fonction $ f_{ m } . $
Calculer $ f^{\prime}_{ m } (x) $ pour tout réel $ x $.
1. Dans cette question, on suppose $ m < 1. $
  Dresser le tableau de variations de la fonction $ f_{ m } . $
2. Même question si $ m > 1. $
3. Que peut-on dire de la fonction $ f_{ 1 } $ (obtenue pour $ m=1 $ ) ?

Corrigé

Pour montrer que la fonction $ f_{ m } $ est définie sur $ \mathbb{R} $, il suffit de montrer que son dénominateur ne s'annule pas sur $ \mathbb{R} . $

Or, pour tout réel $ x $, $ x^2 \geqslant 0 $ donc $ x^2 +1 \geqslant 1. $
$ x^2 + 1 $ n'est donc jamais nul sur $ \mathbb{R}. $
$ f_{ m } ( - x) = \dfrac{ ( - x) ^2 +m }{ ( - x) ^2 +1 } = \dfrac{ x^2 +m }{ x^2 +1 } =f_{ m } (x) . $

La fonction $ f_{ m } $ est donc paire quelle que soit la valeur de $ m. $
Posons : $ u (x) =x^2 +m $ et $ v (x) =x^2 +1 $.

Alors : $ u^{\prime} (x) =2x $ et $ v^{\prime} (x) =2x $

Par conséquent :

$ f^{\prime} _{ m } (x) = \dfrac{ u^{\prime} (x) v (x) - u (x) v^{\prime} (x) }{ v (x) ^2 } $

$ \phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \dfrac{ 2x (x^2 +1) - 2x (x^2 +m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 } $

$ \phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \dfrac{ 2x ( 1 - m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 } . $
1. $ \left( x^2 +1 \right) ^2 $ est strictement positif quel que soit le réel $ x. $
  
  Si $ m < 1 $, alors $ 1 - m $ est strictement positif ; $ f^{\prime} _{ m } (x) $ est donc du signe de $ x $.
  
  $ f_{ m } $ est ainsi strictement décroissante sur $ \left] - \infty ; 0 \right] $ puis strictement croissante sur $ \left[ 0 ; + \infty \right[ $. Elle admet donc un minimum global en $ x=0 $, égal à :
  
  $ f_{ m } (0) = \dfrac{ 0^2 +m }{ 0^2 +1 } =m $
  
  D'où le tableau de variations :
2. Par contre, si $ m > 1 $, $ 1 - m $ est strictement négatif ; $ f^{\prime} _{ m } (x) $ est donc du signe opposé à $ x $.
  
  $ f_{ m } $ est ainsi strictement croissante sur $ \left] - \infty ; 0 \right] $ puis strictement décroissante sur $ \left[ 0 ; + \infty \right[ $. Elle admet donc un maximum global en $ x=0 $, égal à $ f_{ m } (0) = m $. Le tableau de variations est alors :
3. Pour $ m=1 $ :
  
  $ f_{ 1 } (x) = \dfrac{ x^2 +1 }{ x^2 +1 } =1 $
  
  La fonction $ f_{ 1 } $ est donc constante et égale à 1 sur $ \mathbb{R} . $

Famille de fonctions

On considère les fonctions $ f_n $ définies sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ par :

$ f_n(x)=\dfrac{1 - nx}{x - 1} $

où $ n $ est un entier relatif quelconque.

On note $ (C_n) $ la courbe représentative de $ f_n $ dans un repère orthonormal $ (O;I,J) $.

Montrer que pour tout entier $ n $, la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A(0; - 1) $.
Caractériser la courbe $ (C_{1}) $ représentant la fonction $ f_{1} $.
Déterminer, suivant les valeurs de $ n $, le sens de variation de la fonction $ f_n $.
Tracer les courbes $ (C_{0}) $, $ (C_{1}) $ et $ (C_{2}) $ dans le même repère.
On note $ (T_n) $ la tangente à la courbe $ (C_{n}) $ au point $ A $.

Donner les équations des droites $ (T_{0}) $ et $ (T_{2}) $ et tracer ces droites sur la figure précédente.

Corrigé

Rappel
Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction $ f $ passe par un point $ A(x_A;y_A) $, il suffit de montrer que $ f(x_A)=y_A $

Pour tout entier $ n $ :

$ f_n(0)=\dfrac{1 - n \times 0}{0 - 1}=\dfrac{1}{ - 1}= - 1 $

Donc la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A $ de coordonnées $ A(0; - 1) $.
Pour $ n=1 $ et $ x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} $ on obtient :

$ f_1(x)=\dfrac{1 - x}{x - 1}=\dfrac{ - (x - 1)}{x - 1}= - 1 $

La fonction $ f_1 $ est donc constante et égale à $ - 1 $ sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $.

Il faut toutefois faire attention au fait que $ f_1 $ n'est pas définie pour $ x=1 $. La courbe $ (C_1) $ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $ A(0; - 1) $ (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse $ 1 $ (voir figure à la question 4.).
$ f_n $ est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.

$ f_n $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec :

$ u(x)=1 - nx $ donc $ u^{\prime}(x)= - n $

$ v(x)=x - 1 $ donc $ v^{\prime}(x)=1 $

On obtient alors :

$ f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2} =\dfrac{ - n(x - 1) - (1 - nx)}{(x - 1)^2}=\dfrac{n - 1}{(x - 1)^2} $

$ f^{\prime} $ est du signe de $ n - 1 $ :
- si $ n < 1 $, $ f^{\prime} $ est négative sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est décroissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
- si $ n > 1 $, $ f^{\prime} $ est positive sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est croissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
- si $ n=1 $, $ f $ est constante sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $. Ce cas a été traité à la question précédente.
Voir graphique ci-dessous.
L'équation de la tangente à $ (C_0) $ au point $ A $ d'abscisse $ 0 $ est :

$ y=f_0^{\prime}(0)(x - 0)+f_0(0) $

Or $ f_0(0)= - 1 $ (d'après la question 1.)

et $ f_0^{\prime}(x)= - \dfrac{1}{(x - 1)^2} $ (d'après la question 3.) donc $ f^{\prime}_0(0)= - 1 $

L'équation de $ (T_0) $ est donc :

$\mathbf{y= - x - 1}$

De même, l'équation de $ (T_2) $ est :

$ y=f_2^{\prime}(0)(x - 0)+f_2(0) $

avec $ f_2(0)= - 1 $ et $ f_2^{\prime}(x)=\dfrac{1}{(x - 1)^2} $ donc $ f^{\prime}_2(0)=1 $

L'équation de $ (T_2) $ est donc :

$\mathbf{y=x - 1}$

Les droites $ (T_0) $ et $ (T_2) $ sont représentées ci-dessous :