Convexité et suite récurrente : étude complète
Partie A — Étude de la convexité d'une fonction
On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
On note $ \mathscr{C}_f $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
- Calculer $ f'(x) $, puis $ f''(x) $.
- Étudier le signe de $ f''(x) $ sur $ \mathbb{R} $.
- En déduire les intervalles sur lesquels $ f $ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
- Montrer que $ \mathscr{C}_f $ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.
Partie B — Étude d'une suite récurrente
On considère la fonction $ g $ définie sur $ [0~;~+\infty[ $ par $ g(x) = \sqrt{2x + 3} $, et la suite $ (u_n) $ définie par :
- Calculer les valeurs exactes de $ u_1 $ et $ u_2 $, puis en donner une valeur approchée à $ 10^{-2} $ près.
- Étudier le sens de variation de $ g $ sur $ [0~;~+\infty[ $.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, $ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3 $.
- En déduire que la suite $ (u_n) $ converge.
- Déterminer la valeur de la limite $ \ell $ de la suite $ (u_n) $.
Corrigé
Partie A
- La fonction $ f $ est un polynôme, donc deux fois dérivable sur $ \mathbb{R} $. On dérive terme à terme :
$ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $
En dérivant à nouveau :
$ f''(x) = 6x - 12 $ On résout $ f''(x) = 0 $ :
$ 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2 $
La fonction $ f'' $ est affine de coefficient directeur $ 6 > 0 $, donc strictement croissante. On en déduit :- pour $ x < 2 $ : $ f''(x) < 0 $ ;
- pour $ x > 2 $ : $ f''(x) > 0 $.
D'après la caractérisation de la convexité par la dérivée seconde :
- sur $ ]-\infty~;~2] $, $ f''(x) \leqslant 0 $, donc $ f $ est concave ;
- sur $ [2~;~+\infty[ $, $ f''(x) \geqslant 0 $, donc $ f $ est convexe.
- La dérivée seconde $ f'' $ s'annule en $ x = 2 $ et y change de signe (négative avant, positive après). La courbe $ \mathscr{C}_f $ admet donc un unique point d'inflexion d'abscisse $ 2 $. On calcule l'ordonnée :
$ f(2) = 2^3 - 6 \times 2^2 + 9 \times 2 + 2 = 8 - 24 + 18 + 2 = 4 $
Le point d'inflexion est $\mathbf{I(2~;~4)}$.
Partie B
- On applique la relation de récurrence à partir de $ u_0 = 0 $ :
$ u_1 = g(u_0) = \sqrt{2 \times 0 + 3} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 $
$ u_2 = g(u_1) = \sqrt{2\sqrt{3} + 3} \approx 2{,}54 $ - La fonction $ g $ est dérivable sur $ ]-\dfrac{3}{2}~;~+\infty[ $, donc en particulier sur $ [0~;~+\infty[ $, comme composée de $ x \mapsto 2x + 3 $ (strictement positive sur cet intervalle) suivie de la racine carrée. Sa dérivée est :
$ g'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x + 3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 3}} $
Pour tout $ x \in [0~;~+\infty[ $, $ \sqrt{2x + 3} > 0 $, donc $ g'(x) > 0 $.
La fonction $ g $ est strictement croissante sur $ [0~;~+\infty[ $. On note $ P(n) $ la propriété : $ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3 $.
Initialisation. On a $ u_0 = 0 $ et $ u_1 = \sqrt{3} \approx 1{,}73 $, donc $ 0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 3 $. La propriété $ P(0) $ est vraie.
Hérédité. Supposons $ P(n) $ vraie pour un entier $ n $ fixé, c'est-à-dire $ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3 $.
Comme $ g $ est croissante sur $ [0~;~+\infty[ $, elle conserve cet ordre :
$ g(0) \leqslant g(u_n) \leqslant g(u_{n+1}) \leqslant g(3) $
Or $ g(0) = \sqrt{3} \approx 1{,}73 $, donc $ g(0) \geqslant 0 $, et $ g(3) = \sqrt{2 \times 3 + 3} = \sqrt{9} = 3 $. En remplaçant $ g(u_n) $ par $ u_{n+1} $ et $ g(u_{n+1}) $ par $ u_{n+2} $ :
$ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 3 $
ce qui est la propriété $ P(n+1) $.Conclusion. D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $ n $ : $ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3 $.
- L'inégalité $ u_n \leqslant u_{n+1} $ valable pour tout $ n $ montre que la suite $ (u_n) $ est croissante. L'inégalité $ u_n \leqslant 3 $ montre qu'elle est majorée par $ 3 $.
D'après le théorème de la limite monotone, toute suite croissante et majorée converge : la suite $ (u_n) $ converge vers une limite réelle $ \ell $, avec $ \ell \leqslant 3 $. - La fonction $ g $ est continue sur $ [0~;~+\infty[ $ et la suite vérifie $ u_{n+1} = g(u_n) $. La limite $ \ell $ est donc un point fixe de $ g $, solution de l'équation $ g(\ell) = \ell $ :
$ \sqrt{2\ell + 3} = \ell $
Cette égalité impose $ \ell \geqslant 0 $. En élevant au carré (les deux membres étant positifs) :
$ 2\ell + 3 = \ell^2 \Leftrightarrow \ell^2 - 2\ell - 3 = 0 $
Le discriminant vaut $ \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 $, d'où les deux racines :
$ \ell = \dfrac{2 - 4}{2} = -1 \qquad \text{ou} \qquad \ell = \dfrac{2 + 4}{2} = 3 $
Comme $ \ell \geqslant 0 $, la solution $ \ell = -1 $ est à écarter. La suite $ (u_n) $ converge donc vers $\mathbf{\ell = 3}$.