[enonce]
Un opérateur propose deux forfaits mensuels :

• Forfait A : un abonnement fixe de $15$ € par mois, plus $2$ € par heure de communication.
• Forfait B : aucun abonnement, mais $3$ € par heure de communication.

On note $x$ le nombre d'heures consommées dans le mois et $C_A(x)$, $C_B(x)$ les coûts correspondants en euros.

On souhaite déterminer à partir de combien d'heures de communication le forfait A devient plus avantageux, et comparer les deux forfaits pour une consommation donnée.
[/enonce]

[etape]
Calculer le coût du forfait A pour une consommation de $4$ heures.
$C_A(4) = $ [[ca4]] €
[math id="ca4" attendu="23"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$C_A(4) = 2 \times 4 + 15 = 8 + 15 = 23$ €.[/reponse]
[reponse motif="8"]Il manque la partie fixe de l'abonnement : le forfait A comporte aussi un montant fixe mensuel.[/reponse]
[reponse motif="15"]$15$ € est l'abonnement fixe seul. Il faut ajouter la part proportionnelle aux heures.[/reponse]
[reponse motif="19"]Vérifier le prix par heure du forfait A.[/reponse]
[reponse motif="60"]Attention à bien identifier quelle part est proportionnelle aux heures et quelle part est fixe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Sommer la partie fixe et la partie proportionnelle aux heures de communication.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coût comporte deux parties : un abonnement fixe ($15$ €) et un prix à l'heure ($2$ €).[/aide]
[aide essai="3"]Pour $4$ heures : partie variable $= 2 \times 4 = 8$. À additionner à l'abonnement.[/aide]
[/math]
[solution]$C_A(4) = 2 \times 4 + 15 = 23$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Exprimer les coûts mensuels $C_A(x)$ et $C_B(x)$ en fonction de $x$.
$C_A(x) = $ [[cax]] et $C_B(x) = $ [[cbx]]
[math id="cax" attendu="2x+15"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$C_A(x) = 2x + 15$ : $2x$ pour les heures de communication, $+15$ pour l'abonnement fixe.[/reponse]
[reponse motif="15x+2"]Les rôles sont inversés : le prix $2$ € s'applique à chaque heure, et $15$ € est le montant fixe.[/reponse]
[reponse motif="2x"]Il manque la partie fixe de l'abonnement.[/reponse]
[reponse motif="17x"]Il ne faut pas ajouter les deux nombres. Le $15$ est un montant fixe, indépendant de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le coût est de la forme (prix par heure) $\times x$ + (abonnement fixe).[/reponse]
[aide essai="2"]Le coût variable est proportionnel à $x$ (coefficient $2$) et s'ajoute à un montant fixe ($15$).[/aide]
[aide essai="3"]Forme $ax + b$ avec $a = 2$ et $b = 15$.[/aide]
[/math]
[math id="cbx" attendu="3x"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$C_B(x) = 3x$ : uniquement la part proportionnelle aux heures, sans abonnement fixe.[/reponse]
[reponse motif="3x+15"]Le forfait B n'a pas d'abonnement fixe, contrairement au A. Relire l'énoncé.[/reponse]
[reponse motif="3"]Le coût dépend du nombre d'heures : il faut multiplier $3$ par $x$.[/reponse]
[reponse motif="x+3"]Attention à l'ordre des facteurs : $3$ est le prix par heure, donc il multiplie $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le forfait B n'a pas de partie fixe, il est uniquement proportionnel aux heures.[/reponse]
[aide essai="2"]Comme il n'y a pas d'abonnement, le coût est uniquement proportionnel à $x$.[/aide]
[aide essai="3"]Multiplier le prix par heure ($3$) par le nombre d'heures ($x$).[/aide]
[/math]
[solution]$C_A(x) = 2x + 15$ et $C_B(x) = 3x$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le nombre d'heures à partir duquel les deux forfaits coûtent le même prix.
$x = $ [[seuil]] heures
[math id="seuil" attendu="15"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$2x + 15 = 3x$ donne $15 = 3x - 2x = x$, d'où $x = 15$ heures.[/reponse]
[reponse motif="5"]Revoir le regroupement des termes en $x$ : $3x - 2x = x$, pas $5x$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Erreur lors du regroupement. Isoler d'un côté tous les termes en $x$, de l'autre les constantes.[/reponse]
[reponse motif="45"]$45$ € est le coût commun aux deux forfaits au seuil, pas le nombre d'heures.[/reponse]
[reponse motif="7.5"]Vérifier le regroupement des termes en $x$ : $3x - 2x$ ne vaut pas $2x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écrire l'équation $C_A(x) = C_B(x)$ et résoudre.[/reponse]
[aide essai="2"]Résoudre $2x + 15 = 3x$. Regrouper les termes en $x$ d'un côté.[/aide]
[aide essai="3"]$2x + 15 = 3x \Leftrightarrow 15 = 3x - 2x \Leftrightarrow 15 = x$.[/aide]
[/math]
[solution]On résout $2x + 15 = 3x$, soit $x = 15$ heures. C'est le point $I$ de la figure.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour une consommation strictement inférieure à $15$ heures, quel forfait est le moins cher ?
[qcm]
[option correct="true"]Le forfait B[/option]
[option]Le forfait A[/option]
[option]Les deux coûtent le même prix[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par exemple pour $x = 10$ : $C_A(10) = 35$ € alors que $C_B(10) = 30$ €. Sur le graphique, la droite du forfait B est au-dessous de celle du forfait A pour $x < 15$.[/reponse]
[reponse motif="Le forfait A"]Tester une valeur : pour $x = 10$, quel coût est le plus bas ? Regarder laquelle des deux droites est en dessous à gauche du point d'intersection.[/reponse]
[reponse motif="Les deux coûtent le même prix"]Les deux forfaits ne coûtent le même prix qu'au point d'équivalence ($x = 15$), pas avant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la différence de coût entre le forfait B et le forfait A pour une consommation de $20$ heures (en euros).
$C_B(20) - C_A(20) = $ [[diff]] €
[math id="diff" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$C_B(20) = 60$ € et $C_A(20) = 55$ €. La différence vaut $60 - 55 = 5$ € : le forfait A est plus avantageux de $5$ € pour $20$ h.[/reponse]
[reponse motif="-5"]Attention à l'ordre de la soustraction : on demande $C_B(20) - C_A(20)$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="60"]$60$ € est le coût du forfait B seul, pas la différence entre les deux forfaits.[/reponse]
[reponse motif="55"]$55$ € est le coût du forfait A seul, pas la différence.[/reponse]
[reponse motif="15"]$15$ € est la différence des parts fixes, pas la différence des coûts à $20$ heures.[/reponse]
[reponse motif="115"]Il ne faut pas additionner les deux coûts, mais les soustraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer séparément $C_A(20)$ et $C_B(20)$, puis faire la soustraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$C_A(20) = 2 \times 20 + 15$ et $C_B(20) = 3 \times 20$.[/aide]
[aide essai="3"]$C_A(20) = 55$ et $C_B(20) = 60$. Calculer $60 - 55$.[/aide]
[/math]
[solution]$C_A(20) = 2 \times 20 + 15 = 55$ €, $C_B(20) = 3 \times 20 = 60$ €. Différence : $60 - 55 = 5$ €.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Dans un repère orthonormé, on a tracé deux droites :

• la droite $d_1$, dont l'équation réduite est affichée,
• la droite $d_2$, qui passe par les deux points $A$ et $B$ représentés.

On lit sur la figure que la droite $d_1$ a pour équation $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$.
On cherche à déterminer l'équation réduite de $d_2$, puis à trouver les coordonnées du point d'intersection de $d_1$ et $d_2$.
[/enonce]

[etape]
Donner le coefficient directeur de la droite $d_1$.
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Dans l'équation réduite $y = mx + p$, le coefficient directeur est le nombre $m$ qui multiplie $x$. Ici $m = -\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]$4$ est l'ordonnée à l'origine, pas le coefficient directeur. Le coefficient est le nombre devant $x$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Attention au signe : le terme devant $x$ est $-\dfrac{1}{2}$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Le coefficient devant $x$ est $-\dfrac{1}{2}$, à ne pas confondre avec son inverse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Donner l'ordonnée à l'origine de la droite $d_1$.
$p = $ [[p1]]
[math id="p1" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$, le terme constant est $4$. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="-4"]Attention au signe : le terme constant dans l'équation est $+4$.[/reponse]
[reponse motif="-\dfrac{1}{2}"]C'est le coefficient directeur, pas l'ordonnée à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="0"]La droite ne passe pas par l'origine ; son équation contient un terme constant non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans une équation de la forme $y = mx + p$, relire le terme constant.[/reponse]
[aide essai="2"]L'ordonnée à l'origine correspond au nombre $p$ dans $y = mx + p$.[/aide]
[aide essai="3"]L'équation donnée est $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$. Identifier la valeur de $p$.[/aide]
[/math]
[solution]L'équation de $d_1$ est $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$, donc $p = 4$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient directeur de la droite $d_2$ à partir des points $A$ et $B$.
$m = $ [[m2]]
[math id="m2" attendu="1"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{4 - 1}{4 - 1} = \dfrac{3}{3} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="3"]$3$ est la différence des ordonnées. Il faut la diviser par la différence des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="-1"]Attention aux signes : les ordonnées et les abscisses augmentent toutes deux de $A$ vers $B$, donc le résultat est positif.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{3}"]Vérifier l'ordre du calcul : différence des ordonnées au numérateur, différence des abscisses au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser la formule du coefficient directeur à partir de deux points.[/reponse]
[aide essai="2"]$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, avec $A(1\,;\,1)$ et $B(4\,;\,4)$.[/aide]
[aide essai="3"]$m = \dfrac{4 - 1}{4 - 1}$. Calculer cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{4 - 1}{4 - 1} = 1$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire l'équation réduite de $d_2$.
$y = $ [[eq2]]
[math id="eq2" attendu="x"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $m = 1$ et $p = 0$ (car $A(1\,;\,1)$ vérifie $1 = 1 \times 1 + p$ donne $p = 0$), l'équation est $y = x$.[/reponse]
[reponse motif="x+1"]L'ordonnée à l'origine n'est pas $1$. Injecter les coordonnées de $A$ ou $B$ dans $y = x + p$ pour trouver $p$.[/reponse]
[reponse motif="x+4"]$4$ n'est pas l'ordonnée à l'origine de $d_2$. Utiliser un point de $d_2$ pour calculer $p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Partir de $y = mx + p$ avec le coefficient trouvé à l'étape précédente, puis utiliser un point pour déterminer $p$.[/reponse]
[aide essai="2"]Avec $m = 1$, l'équation est $y = x + p$. Substituer les coordonnées de $A(1\,;\,1)$ pour trouver $p$.[/aide]
[aide essai="3"]$1 = 1 + p$ donne $p = 0$. L'équation est de la forme $y = x + 0$, que l'on écrit plus simplement.[/aide]
[/math]
[solution]Avec $m = 1$ et $A(1\,;\,1)$ : $1 = 1 + p$ donne $p = 0$. Donc $d_2 : y = x$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
[select id="pos"]
[option]Parallèles[/option]
[option correct="true"]Sécantes[/option]
[option]Confondues[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Leurs coefficients directeurs sont différents ($-\dfrac{1}{2} \neq 1$), donc elles ne sont pas parallèles : elles se coupent en un unique point.[/reponse]
[reponse motif="Parallèles"]Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Comparer $-\dfrac{1}{2}$ et $1$.[/reponse]
[reponse motif="Confondues"]Deux droites confondues auraient la même équation. Ici les équations $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$ et $y = x$ sont clairement différentes.[/reponse]
[/select]
[aide essai="2"]Comparer les coefficients directeurs de $d_1$ et $d_2$. S'ils diffèrent, les droites sont sécantes.[/aide]
[aide essai="3"]Les coefficients sont $-\dfrac{1}{2}$ et $1$ : ils sont différents.[/aide]
[/etape]

[etape]
Calculer les coordonnées $(x_I\,;\,y_I)$ du point d'intersection $I$ de $d_1$ et $d_2$.
$x_I = $ [[xi]] et $y_I = $ [[yi]]
[math id="xi" attendu="\dfrac{8}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En égalisant les deux équations : $-\dfrac{1}{2}x + 4 = x$, on obtient $4 = x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$, d'où $x = \dfrac{8}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut écrire la fraction sous forme irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{4}{3}"]Attention au regroupement : $x - \left(-\dfrac{1}{2}x\right) = x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$, pas $3x$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Ne pas oublier de diviser par $\dfrac{3}{2}$ après avoir isolé le terme en $x$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Vérifier le calcul : est-ce que $-\dfrac{1}{2} \times 2 + 4 = 2$ ? Cela donnerait $3 = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Égaliser les deux expressions de $y$ et isoler $x$.[/reponse]
[aide essai="2"]Écrire $y_1 = y_2$, c'est-à-dire $-\dfrac{1}{2}x + 4 = x$. Regrouper les termes en $x$ d'un même côté.[/aide]
[aide essai="3"]$4 = x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$. Diviser $4$ par $\dfrac{3}{2}$.[/aide]
[/math]
[math id="yi" attendu="\dfrac{8}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
En remplaçant $x = \dfrac{8}{3}$ dans $y = x$, on obtient directement $y_I = \dfrac{8}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{4}{3}"]Substituer $x_I = \dfrac{8}{3}$ dans l'équation $y = x$ de $d_2$, c'est le plus simple.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comme $d_2$ a pour équation $y = x$, l'ordonnée est égale à l'abscisse.[/reponse]
[aide essai="2"]Remplacer $x_I$ par sa valeur dans l'équation la plus simple des deux droites : celle de $d_2$.[/aide]
[aide essai="3"]Dans $y = x$, si $x = \dfrac{8}{3}$, alors $y = \dfrac{8}{3}$.[/aide]
[/math]
[solution]Égalité $-\dfrac{1}{2}x + 4 = x$ donne $\dfrac{3}{2}x = 4$, soit $x_I = \dfrac{8}{3}$. En remplaçant dans $y = x$ : $y_I = \dfrac{8}{3}$. Donc $I\left(\dfrac{8}{3}\,;\,\dfrac{8}{3}\right)$.[/solution]
[/etape]

Un élève hésite entre deux plateformes de cours particuliers en ligne :

• Plateforme A : $ 15 $ euros par heure, sans abonnement.
• Plateforme B : un abonnement mensuel de $ 40 $ euros, puis $ 10 $ euros par heure.

On note $ x $ le nombre d'heures de cours dans le mois.

1. Exprimer le coût mensuel $ f(x) $ avec la plateforme A et le coût mensuel $ g(x) $ avec la plateforme B en fonction de $ x $.
2. Calculer le coût pour $ 5 $ heures de cours avec chaque plateforme. Laquelle est la plus avantageuse dans ce cas ?
3. Résoudre l'équation $ f(x) = g(x) $. Interpréter le résultat.
4. Pour quel nombre d'heures la plateforme B devient-elle plus avantageuse que la plateforme A ? Justifier.
5. Représenter graphiquement les droites $ (d_1) $ d'équation $ y = f(x) $ et $ (d_2) $ d'équation $ y = g(x) $ dans un repère orthogonal. Vérifier graphiquement les résultats précédents.

$ ABCD $ est un carré. $ M $ est le milieu de $ \left[AB\right] $ et $ N $ le milieu de $ \left[DC\right] $.

On cherche à montrer que les droites $ \left(DM\right) $ et $ \left(BN\right) $ sont parallèles. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé $ \left(A ; B , D\right) $.

1. Quelles sont les coordonnées de $ A, B, C, D, M, N $ dans ce repère.
2. Donner l'équation réduite de la droite $ \left(BN\right) $
3. Donner l'équation réduite de la droite $ \left(DM\right) $
4. Conclure.