[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} t\sin t\;\mathrm{d}t$.
Affirmation : La fonction $g$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto x\sin x$ sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $a$ un réel quelconque, alors $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$.
Ici $f(t) = t\sin t$, donc $g$ est bien une primitive de $x \mapsto x\sin x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre $g(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ (une primitive de $f$) avec le calcul de l'intégrale lui-même : le théorème fondamental du calcul intégral stipule que cette fonction est bien une primitive de $f$.
Par le théorème fondamental du calcul intégral : si $f$ est continue et $g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$, alors $g' = f$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Par le théorème fondamental : $g'(x) = x\sin x$, donc $g$ est une primitive de $x \mapsto x\sin x$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit le réel $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} t^4 \sin t\;\mathrm{d}t$.
Affirmation : $I$ est positif ou nul.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~\pi]$ : $t^4 \geqslant 0$ et $\sin t \geqslant 0$, donc $t^4\sin t \geqslant 0$.
Par la propriété de positivité des intégrales, $I \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'hésiter sur le signe de $\sin t$ sur $[0~;~\pi]$ : rappelons que $\sin t \geqslant 0$ sur cet intervalle (c'est sur $[\pi~;~2\pi]$ que $\sin t \leqslant 0$).
Sur $[0~;~\pi]$, la fonction $t^4\sin t$ est positive ou nulle, donc son intégrale l'est aussi.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Sur $[0~;~\pi]$, $t^4 \geqslant 0$ et $\sin t \geqslant 0$, donc $I \geqslant 0$ par positivité de l'intégrale.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soient les réels $I = \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{1} x^2\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$.
Affirmation : $I \leqslant J$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~1]$, on a $x \geqslant x^2$ (la parabole $y = x^2$ est sous la droite $y = x$).
Donc $x\,\mathrm{e}^x \geqslant x^2\,\mathrm{e}^x$, ce qui donne $I \geqslant J$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de penser que $x^2 > x$ en oubliant que sur $[0~;~1]$ c'est l'inverse : $0 \leqslant x^2 \leqslant x \leqslant 1$, donc $x\mathrm{e}^x \geqslant x^2\mathrm{e}^x$.
Sur $[0~;~1]$, $x \geqslant x^2$, donc $x\,\mathrm{e}^x \geqslant x^2\,\mathrm{e}^x$, et par comparaison des intégrales $I \geqslant J$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Sur $[0~;~1]$, $x \geqslant x^2$ donc $I \geqslant J$ (l'inégalité est dans l'autre sens).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{d}x$.
Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n \geqslant u_{n+1}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante.
(On peut aussi calculer : $u_n = \dfrac{1}{n+1} \to 0$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que des puissances plus grandes donnent des valeurs plus grandes, en oubliant que sur $[0~;~1]$, $x < 1$ implique $x^n > x^{n+1}$.
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n \geqslant u_{n+1}$ : la suite est décroissante.
En calculant : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$, qui est bien une suite décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Sur $[0~;~1]$, $x^n \geqslant x^{n+1}$, donc $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est décroissante.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $\mathscr{A}$ l'aire (en unité d'aire) du domaine délimité par la courbe de la fonction carré, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
Affirmation : $\mathscr{A} = \dfrac{1}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\mathscr{A} = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$
[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier de diviser par $3$ lors du calcul de la primitive de $x^2$ : la primitive est $\dfrac{x^3}{3}$ et non $x^3$.
$\mathscr{A} = \displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $A = \displaystyle\int_{-1}^{0} t^2\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$.
Affirmation : $A \geqslant 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[-1~;~0]$ : $t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$, donc $t^2\,\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$.
Par positivité de l'intégrale, $A \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de s'inquiéter du signe de l'intégrale à cause des bornes négatives ($-1$ à $0$) : mais c'est le signe de l'intégrande qui compte, et $t^2\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$ partout.
$t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} > 0$ sur tout intervalle, donc l'intégrale est bien positive ou nulle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$t^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-t} > 0$ sur $[-1~;~0]$, donc $A \geqslant 0$ par positivité de l'intégrale.
[/solution]
[/etape]
