QCM : Dérivée de exp(ax+b) et sens de variation

[enonce]
Ce QCM porte sur la dérivée des fonctions de la forme $\text{e}^{ax+b}$ et l'étude de leurs variations. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{2x}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\text{e}^{2x}$[/option]
[option]$2x\,\text{e}^{2x-1}$[/option]
[option correct="true"]$2\,\text{e}^{2x}$[/option]
[option]$2\,\text{e}^{2x-1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ avec $a = 2$ et $b = 0$ :
$f'(x) = 2\,\text{e}^{2x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2x}$"]Non.
Le coefficient $a = 2$ devant $x$ a été oublié.
La dérivée fait apparaître un facteur $a$ devant l'exponentielle : $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$.[/reponse]
[reponse motif="$2x\,\text{e}^{2x-1}$"]Non.
La règle $\left(x^{n}\right)' = n\,x^{n-1}$ ne s'applique pas à l'exponentielle.
Pour $\text{e}^{ax+b}$, on utilise $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ : l'exposant ne change pas.[/reponse]
[reponse motif="$2\,\text{e}^{2x-1}$"]Non.
L'exposant de l'exponentielle n'est pas modifié par la dérivation.
Dans la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$, l'exposant $ax+b$ reste identique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ : le facteur $a$ sort devant et l'exposant reste inchangé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-x}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$-\text{e}^{-x}$[/option]
[option]$\text{e}^{-x}$[/option]
[option]$\text{e}^{x}$[/option]
[option]$-\text{e}^{x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ avec $a = -1$ et $b = 0$ :
$f'(x) = -1 \times \text{e}^{-x} = -\text{e}^{-x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{-x}$"]Non.
Le signe du coefficient $a = -1$ a été oublié.
La dérivée fait apparaître un facteur $a$ devant l'exponentielle : ici $a = -1$, donc la dérivée est négative.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{x}$"]Non.
L'exposant de l'exponentielle n'est pas modifié par la dérivation.
L'exposant $-x$ reste $-x$, et non $x$.[/reponse]
[reponse motif="$-\text{e}^{x}$"]Non.
Le signe $-$ a été placé correctement devant, mais l'exposant a été changé à tort.
Dans la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$, l'exposant est conservé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ avec $a = -1$ : le facteur $-1$ sort devant, l'exposant $-x$ reste inchangé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{3x+5}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\text{e}^{3x+5}$[/option]
[option correct="true"]$3\,\text{e}^{3x+5}$[/option]
[option]$(3x+5)\,\text{e}^{3x+4}$[/option]
[option]$3\,\text{e}^{3x+4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ avec $a = 3$ et $b = 5$ :
$f'(x) = 3\,\text{e}^{3x+5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{3x+5}$"]Non.
Le coefficient $a = 3$ devant $x$ a été oublié.
La dérivée fait apparaître un facteur $a$ devant l'exponentielle.[/reponse]
[reponse motif="$(3x+5)\,\text{e}^{3x+4}$"]Non.
La règle des fonctions puissance a été appliquée à tort.
Pour l'exponentielle, on utilise $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ : l'exposant ne diminue pas de $1$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,\text{e}^{3x+4}$"]Non.
Le facteur $a = 3$ est correct, mais l'exposant a été modifié à tort.
Dans la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$, l'exposant $3x + 5$ reste inchangé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $\left(\text{e}^{ax+b}\right)' = a\,\text{e}^{ax+b}$ avec $a = 3$ et $b = 5$ : le $3$ sort devant, l'exposant reste $3x + 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5\,\text{e}^{4x}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$5\,\text{e}^{4x}$[/option]
[option]$4\,\text{e}^{4x}$[/option]
[option]$9\,\text{e}^{4x}$[/option]
[option correct="true"]$20\,\text{e}^{4x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $f(x) = k\,u(x)$, on a $f'(x) = k\,u'(x)$. Ici $k = 5$ et $u(x) = \text{e}^{4x}$, donc $u'(x) = 4\,\text{e}^{4x}$.
Ainsi $f'(x) = 5 \times 4\,\text{e}^{4x} = 20\,\text{e}^{4x}$.[/reponse]
[reponse motif="$5\,\text{e}^{4x}$"]Non.
Le facteur $4$ issu de la dérivation de $\text{e}^{4x}$ a été oublié.
La dérivée de $\text{e}^{4x}$ est $4\,\text{e}^{4x}$, pas $\text{e}^{4x}$.[/reponse]
[reponse motif="$4\,\text{e}^{4x}$"]Non.
Le coefficient $5$ devant la fonction n'a pas été conservé.
Pour $f(x) = k\,u(x)$, la dérivée est $f'(x) = k\,u'(x)$ : le facteur $k$ reste présent.[/reponse]
[reponse motif="$9\,\text{e}^{4x}$"]Non.
Les coefficients $5$ et $4$ ont été additionnés au lieu d'être multipliés.
La dérivée de $k\,\text{e}^{ax}$ est $k \times a\,\text{e}^{ax}$, donc un produit des deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dériver $\text{e}^{4x}$ en $4\,\text{e}^{4x}$, puis multiplier par le coefficient $5$ qui reste devant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{2x-1}$. Que vaut $f'(0)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{\text{e}}$[/option]
[option]$2\,\text{e}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\text{e}}$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule d'abord la dérivée : $f'(x) = 2\,\text{e}^{2x-1}$.
Puis on évalue en $x = 0$ : $f'(0) = 2\,\text{e}^{2 \times 0 - 1} = 2\,\text{e}^{-1} = \dfrac{2}{\text{e}}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,\text{e}$"]Non.
Erreur de signe sur l'exposant : $2 \times 0 - 1 = -1$, pas $+1$.
Un exposant négatif donne un inverse : $\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$, pas $\text{e}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\text{e}}$"]Non.
Le facteur $2$ issu de la dérivation a été oublié.
$f'(x) = 2\,\text{e}^{2x-1}$ : il reste un coefficient $2$ après avoir remplacé $x$ par $0$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La valeur $\text{e}^{-1}$ n'a pas été prise en compte : on ne peut pas l'ignorer lorsqu'on évalue la dérivée en $0$.
$f'(0) = 2\,\text{e}^{-1}$, et $\text{e}^{-1} \neq 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $f'(x) = 2\,\text{e}^{2x-1}$, puis remplacer $x$ par $0$ en traitant correctement l'exposant négatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-2x+3}$. Quel est le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option correct="true"]$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]$f$ est constante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]$f$ est décroissante sur $]-\infty~;~\tfrac{3}{2}]$ puis croissante sur $[\tfrac{3}{2}~;~+\infty[$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule $f'(x) = -2\,\text{e}^{-2x+3}$.
L'exponentielle étant strictement positive, $\text{e}^{-2x+3} > 0$ pour tout $x$, donc $f'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Le signe du coefficient $a = -2$ n'a pas été pris en compte.
C'est le signe de $a$ dans $\text{e}^{ax+b}$ qui détermine le sens de variation : si $a < 0$, la fonction décroît.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est constante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Une fonction constante a une dérivée nulle partout.
Or ici $f'(x) = -2\,\text{e}^{-2x+3}$, qui n'est jamais nulle puisque l'exponentielle est strictement positive.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est décroissante sur $]-\infty~;~\tfrac{3}{2}]$ puis croissante sur $[\tfrac{3}{2}~;~+\infty[$."]Non.
La dérivée garde toujours le même signe.
Il n'y a pas de changement de variation pour une fonction de la forme $\text{e}^{ax+b}$ : son sens de variation est unique sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $f'(x) = -2\,\text{e}^{-2x+3}$ en utilisant le fait que l'exponentielle est toujours strictement positive : le signe de $f'$ est alors celui de $-2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM Bilan : Fonction exponentielle

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée de $\text{e}^{ax+b}$ et lien avec les suites géométriques. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Simplifier l'expression $A = \dfrac{\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x}}{\left(\text{e}^{x}\right)^{3}}$ et l'écrire sous la forme $\text{e}^{k}$.
[qcm]
[option]$\text{e}^{2x}$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{-2x}$[/option]
[option]$\text{e}^{-6x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Au numérateur : $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x + (-x)} = \text{e}^{x}$.
Au dénominateur : $\left(\text{e}^{x}\right)^{3} = \text{e}^{3x}$.
Donc $A = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{3x}} = \text{e}^{x - 3x} = \text{e}^{-2x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2x}$"]Non.
Erreur de signe dans la soustraction finale : il faut calculer $x - 3x = -2x$, et non $3x - x = 2x$.
L'exposant du numérateur intervient positivement et celui du dénominateur négativement.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le signe moins de l'exposant $-x$ au numérateur n'a pas été pris en compte.
Avec ce signe, le numérateur donne $\text{e}^{2x - x} = \text{e}^{x}$, pas $\text{e}^{3x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{-6x}$"]Non.
Les trois exposants ont été multipliés au lieu d'être sommés et soustraits selon les règles.
Un produit d'exponentielles se traduit par une somme des exposants et un quotient par une soustraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier d'abord numérateur et dénominateur séparément, puis appliquer $\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} = \text{e}^{a-b}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur quel intervalle la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \text{e}^{x+1} - \text{e}^{2x}$ est-elle strictement positive ?
[qcm]
[option]$]1~;~+\infty[$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty~;~1[$[/option]
[option]$\mathbb{R} \setminus \{1\}$[/option]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$g(x) > 0 \iff \text{e}^{x+1} > \text{e}^{2x}$.
L'exponentielle étant strictement croissante, cela équivaut à $x + 1 > 2x$, soit $1 > x$, c'est-à-dire $x < 1$.
L'ensemble cherché est donc $]-\infty~;~1[$.[/reponse]
[reponse motif="$]1~;~+\infty[$"]Non.
Le sens de l'inégalité a été inversé lors de l'isolation de $x$.
En partant de $x + 1 > 2x$, on obtient $1 > x$, soit $x < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R} \setminus \{1\}$"]Non.
Le point $x = 1$ annule la différence, mais il n'y a qu'un seul intervalle où $g$ est strictement positive, pas deux côtés réunis.
Il faut comparer les exposants en conservant le sens de l'inégalité.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La différence $\text{e}^{x+1} - \text{e}^{2x}$ change de signe : elle n'est pas toujours positive.
Pour $x$ grand, $\text{e}^{2x}$ dépasse $\text{e}^{x+1}$, donc $g$ devient négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $g(x) > 0 \iff \text{e}^{x+1} > \text{e}^{2x}$, puis utiliser la stricte croissance de l'exponentielle pour comparer les exposants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On pose, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = \text{e}^{2n+1}$. Cette suite est géométrique. Quelle est sa raison ?
[qcm]
[option]$\text{e}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\text{e}^{2n}$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule le rapport de deux termes consécutifs :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{\text{e}^{2(n+1)+1}}{\text{e}^{2n+1}} = \text{e}^{(2n+3)-(2n+1)} = \text{e}^{2}$.
La raison est donc $q = \text{e}^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}$"]Non.
La constante $+1$ dans l'exposant a été confondue avec la raison.
La raison s'obtient en calculant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$, ou en factorisant $\text{e}^{2n+1} = \text{e} \times \left(\text{e}^{2}\right)^{n}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Le coefficient $2$ devant $n$ dans l'exposant a été confondu avec la raison.
La raison d'une suite de la forme $u_{n} = \text{e}^{an+b}$ est $\text{e}^{a}$, pas $a$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2n}$"]Non.
Une raison est un nombre fixe, indépendant de $n$.
Une expression contenant $n$ ne peut pas être la raison d'une suite géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Factoriser $u_{n} = \text{e}^{2n+1} = \text{e} \times \left(\text{e}^{2}\right)^{n}$ pour reconnaître une suite géométrique de premier terme $\text{e}$ et de raison $\text{e}^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\text{e}^{x^{2}} \geqslant \text{e}^{2x+3}$.
[qcm]
[option correct="true"]$S = ]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = [-1~;~3]$[/option]
[option]$S = ]-\infty~;~-3] \cup [1~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = \mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'exponentielle étant strictement croissante, l'inéquation équivaut à $x^{2} \geqslant 2x + 3$, soit $x^{2} - 2x - 3 \geqslant 0$.
Le discriminant vaut $\Delta = 4 + 12 = 16$, donc les racines sont $x_{1} = -1$ et $x_{2} = 3$.
Le trinôme $x^{2} - 2x - 3$ est du signe de son coefficient dominant (positif) à l'extérieur des racines.
Donc $S = ]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$S = [-1~;~3]$"]Non.
Le signe du trinôme à l'extérieur et entre les racines a été inversé.
Pour un trinôme de coefficient dominant positif, il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.[/reponse]
[reponse motif="$S = ]-\infty~;~-3] \cup [1~;~+\infty[$"]Non.
Les racines du trinôme sont incorrectes.
Reprendre la résolution de $x^{2} - 2x - 3 = 0$ avec la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ en identifiant bien $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \mathbb{R}$"]Non.
L'inégalité n'est pas toujours vérifiée : par exemple pour $x = 0$, on a $x^{2} = 0$ et $2x + 3 = 3$, donc $x^{2} < 2x + 3$.
Il faut étudier le signe du trinôme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Se ramener à $x^{2} - 2x - 3 \geqslant 0$ grâce à la croissance stricte de l'exponentielle, puis étudier le signe du trinôme avec ses racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-3x+2}$. Quel est son sens de variation sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]Strictement croissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]Croissante puis décroissante.[/option]
[option correct="true"]Strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]Constante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $f'(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.
L'exponentielle étant strictement positive, $\text{e}^{-3x+2} > 0$, donc $f'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="Strictement croissante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Le signe du coefficient $a = -3$ n'a pas été pris en compte.
Pour une fonction $\text{e}^{ax+b}$, c'est le signe de $a$ qui détermine le sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="Croissante puis décroissante."]Non.
La dérivée garde un signe constant sur $\mathbb{R}$ : il n'y a pas de changement de variation.
Une fonction $\text{e}^{ax+b}$ est monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse motif="Constante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Une fonction constante a une dérivée nulle, ce qui n'est pas le cas ici puisque $\text{e}^{-3x+2} > 0$.
La fonction évolue donc réellement en fonction de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $f'(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$ en utilisant le fait que l'exponentielle est strictement positive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} \times \text{e}^{-x} = \text{e}$.
[qcm]
[option]$S = \{0\}$[/option]
[option correct="true"]$S = \{1\}$[/option]
[option]$S = \{2\}$[/option]
[option]$S = \emptyset$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On simplifie le premier membre : $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x + (-x)} = \text{e}^{x}$.
L'équation devient $\text{e}^{x} = \text{e}^{1}$, soit $x = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{0\}$"]Non.
La simplification du premier membre a conduit à une expression incorrecte.
Reprendre : $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, puis $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{2\}$"]Non.
Le facteur $\text{e}^{-x}$ n'a pas été pris en compte dans la simplification.
$\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, mais il faut ensuite multiplier par $\text{e}^{-x}$, ce qui retranche $x$ à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$S = \emptyset$"]Non.
Cette équation admet bien une solution.
Après simplification, elle se ramène à une équation du type $\text{e}^{A} = \text{e}^{B}$, qui équivaut à $A = B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier d'abord le premier membre en appliquant $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ et $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$, puis résoudre l'équation obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Dérivée et suites liées à l’exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Certaines questions mobilisent la dérivée, d'autres les suites géométriques liées à l'exponentielle.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-3x+2}$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)^{\prime} = a\,\text{e}^{ax+b}$ avec $a = -3$ et $b = 2$.
On obtient bien $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$, en conservant le signe négatif du coefficient $a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la dérivée de $\text{e}^{ax+b}$ est $a\,\text{e}^{ax+b}$, où $a$ est le coefficient de $x$ dans l'exposant, avec son signe.
Ici $a = -3$, donc $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $a = -3$ et $b = 2$, la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)^{\prime} = a\,\text{e}^{ax+b}$ donne $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \text{e}^{-2x+5}$.

Affirmation : La fonction $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivée est $g^{\prime}(x) = -2\,\text{e}^{-2x+5}$.
Comme $\text{e}^{-2x+5} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $-2 < 0$, le produit est strictement négatif.
Donc $g^{\prime}(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$ : $g$ est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre avec la fonction exponentielle de base, toujours croissante. Pour une fonction $\text{e}^{ax+b}$, le sens de variation dépend du signe de $a$.
Ici $g^{\prime}(x) = -2\,\text{e}^{-2x+5}$ : l'exponentielle est positive, donc $g^{\prime}$ est du signe de $-2$, strictement négatif. La fonction est bien décroissante.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La dérivée $g^{\prime}(x) = -2\,\text{e}^{-2x+5}$ est strictement négative sur $\mathbb{R}$ car $\text{e}^{-2x+5} > 0$ et $-2 < 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier naturel $n$, $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{n+2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La propriété $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ donne une multiplication des exposants, pas une addition.
Avec $a = 2$ : $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{2n}$, qui n'est égal à $\text{e}^{n+2}$ que si $2n = n + 2$, c'est-à-dire uniquement pour $n = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre puissance et produit : pour une puissance, les exposants se multiplient ($\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$) ; pour un produit, ils s'additionnent ($\text{e}^{a} \times \text{e}^{n} = \text{e}^{a+n}$).
On a donc $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{2n}$, et non $\text{e}^{n+2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ donne $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{2n}$, et non $\text{e}^{n+2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \text{e}^{0{,}5n}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Calcul du rapport :

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\text{e}^{0{,}5(n+1)}}{\text{e}^{0{,}5n}} = \text{e}^{0{,}5(n+1) - 0{,}5n} = \text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}}$

La suite est bien géométrique, mais de raison $\text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}} \approx 1{,}649$, et non $0{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : dans $u_n = \text{e}^{an}$, la raison de la suite géométrique est $\text{e}^{a}$, et pas $a$.
Ici $a = 0{,}5$, donc la raison est $\text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}} \approx 1{,}649$. La suite est bien géométrique, mais sa raison n'est pas $0{,}5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La suite $(u_n)$ est géométrique, mais de raison $\text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}}$, pas $0{,}5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 3\,\text{e}^{-n}$.

Affirmation : La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Calcul du rapport :

$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{3\,\text{e}^{-(n+1)}}{3\,\text{e}^{-n}} = \text{e}^{-(n+1) - (-n)} = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$

Ce rapport est constant, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le coefficient multiplicatif $3$ n'influence pas la raison : il se simplifie dans le rapport $v_{n+1}/v_n$.
Le rapport vaut $\text{e}^{-(n+1)-(-n)} = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$, donc la suite est bien géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le calcul $v_{n+1}/v_n = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$ montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x\,\text{e}^{x}$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $h^{\prime}(x) = \text{e}^{x}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $h$ est un produit $h = uv$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{x}$. La formule de dérivation du produit donne :

$h^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{x} + x \times \text{e}^{x} = (1 + x)\,\text{e}^{x}$

La dérivée $h^{\prime}(x) = (1+x)\,\text{e}^{x}$ n'est pas égale à $\text{e}^{x}$ (sauf ponctuellement en $x = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est d'oublier un des deux termes de la dérivée d'un produit : $(uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}$ donne deux termes.
Avec $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{x}$ : $h^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{x} + x \times \text{e}^{x} = (1+x)\,\text{e}^{x}$, pas simplement $\text{e}^{x}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En appliquant la dérivée d'un produit : $h^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{x} + x \times \text{e}^{x} = (1+x)\,\text{e}^{x}$.
[/solution]
[/etape]

Exponentielle – Dérivée, variations et tangente

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{-2x+1} $.

Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $ pour tout réel $ x $.
Étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur $ \mathbb{R} $, puis dresser le tableau de variations de $ f $.
Déterminer une équation de la tangente $ \left(T\right) $ à la courbe $ \mathscr{C} $ représentative de $ f $ au point d'abscisse $ 0 $.

Corrigé

La fonction $ f $ est de la forme $ \text{e}^{ax+b} $ avec $ a=-2 $ et $ b=1 $. Sa dérivée est donc $ f^{\prime}\left(x\right)=a\,\text{e}^{ax+b} $, soit pour tout réel $ x $ : $\mathbf{f^{\prime}\left(x\right)=-2\,\text{e}^{-2x+1}}$.
Pour tout réel $ x $, $ \text{e}^{-2x+1}>0 $, et $ -2<0 $, donc $ f^{\prime}\left(x\right)<0 $ sur $ \mathbb{R} $. La fonction $ f $ est donc strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $.
On utilise l'équation de la tangente $ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) $. On calcule $ f\left(0\right)=\text{e}^{-2\times 0+1}=\text{e}^{1}=\text{e} $ et $ f^{\prime}\left(0\right)=-2\,\text{e}^{-2\times 0+1}=-2\text{e} $. Une équation de la tangente est donc $\mathbf{y=-2\text{e}\,x+\text{e}}$.

Exponentielle – Tangente commune et position relative

Soient $ f $ et $ g $ les fonctions définies sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{x} $ et $ g\left(x\right)=2\text{e}^{x/2}-1 $. On note $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ les courbes représentatives des fonctions $ f $ et $ g $ dans un repère orthogonal.

Partie A — Tangente commune

Démontrer que les courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ ont un point commun d'abscisse $ 0 $.
Déterminer une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $, puis une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{g} $ au point d'abscisse $ 0 $.
En déduire qu'en ce point, les deux courbes ont la même tangente $ \Delta $.

Partie B — Position relative des courbes

Pour tout réel $ x $, développer l'expression $ \left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2} $.
En déduire la position relative des courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $.

Corrigé

Partie A

On calcule les images de $ 0 $ par $ f $ et par $ g $. On a $ f\left(0\right)=\text{e}^{0}=1 $ et $ g\left(0\right)=2\text{e}^{0}-1=2-1=1 $. Comme $ f\left(0\right)=g\left(0\right)=1 $, les deux courbes passent par le point de coordonnées $ \left(0 ; 1\right) $.
La fonction $ f $ vérifie $ f^{\prime}\left(x\right)=\text{e}^{x} $, donc $ f^{\prime}\left(0\right)=1 $. Une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{f} $ en $ 0 $ est $ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) $, soit $ y=x+1 $.

La fonction $ g $ est de la forme $ 2\,\text{e}^{ax+b} $ avec $ a=\dfrac{1}{2} $ et $ b=0 $, donc $ g^{\prime}\left(x\right)=2\times \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{x/2}=\text{e}^{x/2} $, d'où $ g^{\prime}\left(0\right)=\text{e}^{0}=1 $. Une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{g} $ en $ 0 $ est $ y=g^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+g\left(0\right) $, soit $ y=x+1 $.
Les deux tangentes ont la même équation $ y=x+1 $. Les courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ ont donc la même tangente $ \Delta : y=x+1 $ au point $ \left(0 ; 1\right) $.

Partie B

En appliquant l'identité remarquable $ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $ avec $ a=\text{e}^{x/2} $ et $ b=1 $, et en utilisant $ \left(\text{e}^{x/2}\right)^{2}=\text{e}^{x} $, on obtient :

$ \left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2}=\text{e}^{x}-2\text{e}^{x/2}+1 $
On étudie le signe de la différence $ f\left(x\right)-g\left(x\right) $ :

$ f\left(x\right)-g\left(x\right)=\text{e}^{x}-\left(2\text{e}^{x/2}-1\right)=\text{e}^{x}-2\text{e}^{x/2}+1 $

D'après la question précédente, $ f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2} $. Un carré est toujours positif ou nul, donc $ f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant 0 $ pour tout réel $ x $. La courbe $ \mathscr{C}_{f} $ est donc au-dessus de la courbe $ \mathscr{C}_{g} $ sur $ \mathbb{R} $, les deux courbes se touchant au point $ \left(0 ; 1\right) $ (où la différence s'annule, puisque $ \text{e}^{0}-1=0 $).

Modélisation par une fonction exponentielle

Le maire d'une ville française a effectué un recensement de la population de sa municipalité pendant 7 ans.
Les données recueillies sont présentées dans le tableau ci-dessous :

Année	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Rang	0	1	2	3	4	5	6
Habitants	2 502	2 475	2 452	2 430	2 398	2 378	2 351

Dans la première partie de l'exercice, on modélisera le nombre d'habitants à l'aide d'une suite géométrique et dans la seconde partie, on utilisera une fonction exponentielle.

Partie 1 : Modélisation à l'aide d'une suite

Calculer le pourcentage d'évolution de la population de la ville entre 2013 et 2014, entre 2014 et 2015, entre 2015 et 2016 et entre 2018 et 2019.
Par la suite on estimera que la population diminue de 1% par an.

On note $ p_n $ le nombre d'habitants l'année 2013+$ n $.

Montrer que la suite $ (p_n) $ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
À l'aide de la suite $ (p_n) $ estimer la population de la ville en 2030 en supposant que la diminution de la population s'effectue au même rythme pendant les années à venir.

Partie 2 : Modélisation à l'aide d'une fonction exponentielle

On cherche à modéliser le nombre d'habitants à l'aide de la fonction $ f $ définie sur $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $ par :

$ f~: \ t \longmapsto 2500\ \text{e}^{ - 0{,}01t } $

où $ t $ désigne la durée écoulée, en année, depuis 2013.

Montrer que la fonction $ f $ est strictement décroissante sur l'intervalle $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $.
Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu'elle retourne les images de la variable $ t $ par la fonction $ f $ :
```
def f(t) :
    return ...
```
À l'aide d'une boucle, écrire un script Python qui retourne les images par $ f $ des entiers compris entre 0 et 6.
Comparer aux données de l'énoncé.
Cette modélisation vous semble-t-elle valable ?
Le maire souhaite prévoir en quelle année le nombre d'habitants de sa ville passera sous la barre des 2 200 d'après ce modèle.

En utilisant la fonction précédente, écrire un programme Python qui répond à cette question.

Corrigé

Partie 1

Le pourcentage d'évolution de la population entre 2013 et 2014 est (voir formule de calcul d'une évolution) :

$ t_1 = \dfrac{ p_1 - p_0 }{ p_0 } = \dfrac{ 2\,475 - 2\,502 }{ 2\,502 } \approx - 0{,}0108 \approx \dfrac{ - 1{,}08 }{ 100 } = - 1{,}08\% $

De même, le pourcentage d'évolution entre 2014 et 2015 est :

$ t_2 = \dfrac{ p_2 - p_1}{ p_1 } = \dfrac{ 2\,452 - 2\,475 }{ 2\,475 } \approx - 0{,}0093 \approx \dfrac{ - 0{,}93 }{ 100 } = - 0{,}93\% $

entre 2015 et 2016 :

$ t_3 = \dfrac{ p_3 - p_2}{ p_2 } = \dfrac{ 2\,430 - 2\,452 }{ 2\,452 } \approx - 0{,}0090 \approx \dfrac{ - 0{,}90 }{ 100 } = - 0{,}90\% $

enfin, entre 2018 et 2019 :

$ t_6 = \dfrac{ p_6 - p_5}{ p_5 } = \dfrac{ 2\,351 - 2\,378 }{ 2\,378 } \approx - 0{,}0114 \approx \dfrac{ - 1{,}14 }{ 100 } = - 1{,}14\% $

On remarque que, dans tous les cas, la diminution est proche de 1%.
Le coefficient multiplicateur qui fait passer de $ p_n $ à $ p_{n+1} $ correspondant à une baisse de 1% est (voir coefficient multiplicateur) :

$ CM=1 - \dfrac{ 1 }{ 100 } =0{,}99 $

On a donc, pour tout entier naturel $ n $ :

$ p_{n+1} = 0{,}99p_n $

La suite $ \left( p_n \right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}99. $ Son premier terme est $ p_0=2502. $
La population de la ville à l'année de rang $ n $ est :

$ p_n=p_0\ q^n = 2502 \times 0{,}99^n $

L'année 2030 correspond au rang 17. La population en 2030 peut donc, d'après ce modèle, être estimée à :

$ p_{ 17 } = 2502 \times 0{,}99^{ 17 } \approx 2109. $

Partie 2

$ f $ est dérivable sur $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $. Pour déterminer le sens de variation de $ f $, on calcule sa dérivée $ f^{\prime} $.
Sachant que la dérivée de la fonction $ t \longmapsto \text{e}^{ at } $ est la fonction $ t \longmapsto a\ \text{e}^{ at } $ on obtient :

$ f^{\prime}(t)=2500 \times (-0{,}01) \times \text{e}^{-0{,}01t} = -25\,\text{e}^{-0{,}01t} $

$ - 25 $ est strictement négatif tandis que $ \text{e}^{ - 0{,}01t } $ est strictement positif (car la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives) donc $ f^{\prime}(t) < 0 $ sur $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $.

Par conséquent, la fonction $ f $ est strictement décroissante sur l'intervalle $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $.
La fonction Python se définit simplement comme suit :
```
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)
```
On doit toutefois importer le module math qui contient la fonction exp ; par exemple :
```
from math import exp
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)
```
Comme on connait le nombre d'itérations, on peut employer une boucle for pour afficher les images des 7 premières valeurs entières de $ t $ :
```
from math import exp
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)

for t in range(7) : 
    print(f(t))
```
On obtient le résultat suivant :
```
2500.0
2475.1245843729203
2450.4966832668883
2426.1138338712703
2401.973597880808
2378.073561251785
2354.411333960622
```
Ces valeurs sont suffisamment proches de celles du tableau donné dans l'énoncé pour considérer que cette modélisation est satisfaisante.
On utilise une boucle while pour répondre à la question.
On reste dans la boucle tant que le nombre d'habitants est supérieur ou égal à 2 200 et on sort de la boucle dès que ce nombre devient strictement inférieur à 2 200.

Il faut penser à initialiser la variable t avant la boucle et à l’incrémenter à l'intérieur de la boucle (voir : boucles while). On peut ensuite afficher la valeur de t à la sortie de la boucle :
```
from math import exp
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)

t=0
while f(t) >= 2200: 
    t=t+1
print(t)
```
Ce programme affiche la valeur 13.

D'après ce modèle, la population passera sous la barre des 2 200 l'année de rang 13 c'est à dire en 2013+13 = 2026.

Pour réviser : Lier une suite géométrique et la fonction exponentielle

Fonction exponentielle – Contrôle continu 1ère – 2020 – Sujet zéro

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.

Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe $ \mathscr{C}_{ f } $ représentatif de la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [ - 1~;~2 ] $ par :

$ f( x )=( - x+2 )\text{e}^{ x }. $

Graphique de la fonction f(x)=(-x+2)e^x sur [-1;2] avec la plaque rectangulaire

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $ \mathscr{C}_{ f } $. On nomme $ L $ la longueur de la plaque rectangulaire et $ \ell $ sa largeur.

On note $ f^{\prime} $ la fonction dérivée de $ f $.
1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ [ - 1~;~2 ] $ , $ f^{\prime} ( x )=( - x+1 )\text{e}^{ x }. $
2. En déduire le tableau de variations de la fonction $ f $ sur $ [ - 1~;~2 ]. $
La longueur $ L $ de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur $ \ell $ exacte en centimètres.

Corrigé

1. Pour calculer la dérivée $ f^{\prime} $ de la fonction $ f $ on utilise la formule :
  
  $ ( uv )^{\prime} =u^{\prime} v+uv^{\prime} $
  
  où $ u $ et $ v $ sont les fonctions définies par :
  - $ u( x )= - x+2 $
  - $ v( x )=\text{e}^{ x } $
  On a alors :
  - $ u^{\prime} ( x )= - 1 $
  - $ v^{\prime} ( x )=\text{e}^{ x } $
  Par conséquent, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[ - 1~;~2\right] $ :
  
  $ f^{\prime} ( x )= - \text{e}^{ x }+( - x+2 )\text{e}^{ x } $
  $ \phantom{f^{\prime} ( x )}=\text{e}^{ x }\left( - 1 - x+2 \right) $
  $ \phantom{f^{\prime} ( x )}=\left( - x+1 \right)\text{e}^{ x }. $
2. Pour tout réel $ x $, $ \text{e}^{ x } $ est strictement positif ; donc $ f^{\prime} $ est du signe de $ - x+1 $ c'est-à-dire :
  - $ f^{\prime} $ s'annule pour $ x=1 $
  - $ f^{\prime} $ est strictement positive pour $ x < 1 $
  - $ f^{\prime} $ est strictement négative pour $ x > 1. $
  On a par ailleurs :
  - $ f( - 1 )=( 1+2 )\text{e}^{ - 1 }=3\text{e}^{ - 1 }=\dfrac{ 3 }{ \text{e} } $
  - $ f( 1 )=( - 1+2 )\text{e}^{ 1 }=\text{e} $
  - $ f( 2)=( - 2 +2)\text{e}^{ 2 }=0 $
  On obtient alors le tableau de variation ci-dessous :
Le maximum de la fonction $ f $ est $ f( 1 )=\text{e} $ ; son minimum est $ f( 2 )=0 $. La largeur de la plaque est donc $ \text{e} $ unités. L'unité mesurant 30 cm, la largeur de la plaque est donc $ \ell=30\text{e} $ centimètres (soit environ $81{,}5$ cm mais c'est la valeur exacte qui est demandée…).

[Bac] Lecture graphique – Dérivée – Exponentielle

Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013.

Le sujet complet (qui nécessite l'étude des chapitres Logarithme népérien et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :

$ h\left(t\right)= \dfrac{a}{1+be^{ - 0{,}04t}} $

où $ a $ et $ b $ sont des constantes réelles positives, $ t $ est la variable temps exprimée en jours et $ h\left(t\right) $ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.

On sait qu'initialement, pour $ t=0 $, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.

Déterminer les constantes $ a $ et $ b $ afin que la fonction $ h $ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $ f $ définie sur $ \left[0 ; 250\right] $ par

$ f\left(t\right)=\dfrac{2}{1+19e^{ - 0{,}04t}} $

Déterminer $ f^{\prime}\left(t\right) $ en fonction de $ t $ ($ f^{\prime} $ désignant la fonction dérivée de la fonction $ f $).

En déduire les variations de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 250\right] $.
On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $ f $.

La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $ t $.

En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Corrigé

Partie 1

D'après l'énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :

$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2 $

Or $ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\dfrac{a}{1+be^{ - 0.04t}}=a $ (puisque $ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{ - 0.04t}=0 $)

Donc $ a=2 $.

Par ailleurs, pour $ t=0 $, le plant mesure 0,1 m donc $ h\left(0\right)=0{,}1 $, c'est à dire :

$ \dfrac{a}{1+b}=0{,}1 $

$ 0{,}1b=a - 0{,}1 $

$ 0{,}1b=1{,}9 $

$ b=19 $

On a donc :

$ f\left(t\right)=\dfrac{2}{1+19e^{ - 0{,}04t}} $

Partie 2

La dérivée de $ \dfrac{1}{u} $ est $ - \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}} $ donc :

$ f^{\prime}\left(t\right)= - \dfrac{2\times 19\times \left( - 0{,}04e^{ - 0{,}04t}\right)}{\left(1+19e^{ - 0{,}04t}\right)^{2}}=\dfrac{1{,}52e^{ - 0{,}04t}}{\left(1+19e^{ - 0{,}04t}\right)^{2}} $

Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur $ \left[0 ; 250\right] $ donc $ f $ est strictement croissante sur $ \left[0 ; 250\right] $
La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour $ t $ proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d'environ 1m.

[Bac] Fonction exponentielle – Coût marginal

(D'après Bac ES Liban 2009 - Modifié pour correspondre au programme en vigueur actuellement)

Partie A

On considère la fonction définie sur $ \left[0 ; 4\right] $ par

$ f\left(x\right)= 10+\left(x - 3\right) e^{x} $

Démontrer que $ f^{\prime}\left(x\right)=\left(x - 2\right) e^{x} $ et étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.
Dresser le tableau de variations de $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.
En déduire le signe de $ f\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.

Partie B

Une entreprise fabrique $ x $ tonnes d'un certain produit, avec $ x \in \left[0 ; 4\right] $. Le coût marginal de fabrication pour une production de $ x $ tonnes est donné par $ f\left(x\right) $ exprimé en milliers d'euros, où $ f $ est la fonction définie dans la partie A,.

L'entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de 11 292 euros.

En utilisant la partie A démontrer qu'il est possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
Déterminer la production correspondante, à 10 kg près.

Corrigé

Partie A

La fonction $ f $ est de la forme $ 10 + u \times v $ avec :

$ u(x) = x - 3 $ et $ v(x) = e^x $

On a alors :

$ u'(x) = 1 $ et $ v'(x) = e^x $

La dérivée $ f' $ est donnée par :

$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \times e^x + (x - 3) \times e^x $

$ f'(x) = (1 + x - 3) e^x = (x - 2) e^x $

Pour tout réel $ x $, $ e^x > 0 $. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ x - 2 $ :
- $ f'(x) < 0 $ sur $ [0 ; 2[ $
- $ f'(x) = 0 $ pour $ x = 2 $
- $ f'(x) > 0 $ sur $ ]2 ; 4] $
On calcule les valeurs aux bornes et l'extremum :
$ f(0) = 10 + (0 - 3)e^0 = 10 - 3 = 7 $
$ f(2) = 10 + (2 - 3)e^2 = 10 - e^2 \approx 2{,}61 $
$ f(4) = 10 + (4 - 3)e^4 = 10 + e^4 \approx 64{,}60 $

Le tableau de variations de $ f $ est donc :
D'après le tableau de variations, le minimum de la fonction $ f $ sur $ [0 ; 4] $ est $ 10 - e^2 \approx 2{,}61 $.
Comme ce minimum est strictement positif, on en déduit que $ f(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 4] $.

Partie B

Le coût marginal est donné par $ f(x) $ en milliers d'euros. On cherche donc à résoudre l'équation $ f(x) = 11{,}292 $.
D'après la partie A, sur l'intervalle $ [0 ; 2] $, le maximum de $ f $ est $ 7 $, donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $ [2 ; 4] $ :
- $ f $ est continue (car dérivable).
- $ f $ est strictement croissante.
- $ f(2) \approx 2{,}61 < 11{,}292 $.
- $ f(4) \approx 64{,}60 > 11{,}292 $.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), l'équation $ f(x) = 11{,}292 $ possède une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $ [2 ; 4] $.
Il est donc possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
À l'aide d'une calculatrice, on affine la valeur de $ \alpha $ :
- $ f(3{,}06) \approx 11{,}280 $
- $ f(3{,}07) \approx 11{,}508 $
D'où $ 3{,}06 < \alpha < 3{,}07 $.

En poussant la précision :
- $ f(3{,}060) \approx 11{,}2796 $
- $ f(3{,}061) \approx 11{,}3020 $
La valeur 11,292 est comprise entre $ f(3{,}060) $ et $ f(3{,}061) $.

La production correspondante est donc d'environ 3,06 tonnes, soit 3 060 kg (à 10 kg près).