Lier une suite géométrique et la fonction exponentielle
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Soit $ a $ un réel fixé. La suite $ (u_{n}) $ définie par $ u_{n}=\text{e}^{na} $ est une suite géométrique de raison $ q=\text{e}^{a} $ et de premier terme $ u_{0}=1 $.
- Étape 1 : identifier la forme de la suite et la valeur de $ a $ dans l'exposant $ na $.
- Étape 2 : calculer le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $ en utilisant les propriétés algébriques pour montrer qu'il est constant.
- Étape 3 : conclure en donnant la raison $ q=\text{e}^{a} $ et le premier terme $ u_{0} $.
Montrer qu'une suite est géométrique
Soit $ (u_{n}) $ la suite définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par :
$ u_{n}=\text{e}^{2n} $
Étape 1 : l'exposant est $ 2n $, donc $ a=2 $.
Étape 2 : on calcule le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $.
$ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\text{e}^{2(n+1)}}{\text{e}^{2n}}=\text{e}^{2(n+1)-2n}=\color{red}{\text{e}^{2}}\color{black} $
Ce rapport est constant (indépendant de $ n $).
Étape 3 : la suite $ (u_{n}) $ est géométrique de raison $ q=\text{e}^{2} $ et de premier terme :
Identifier la raison et préciser la monotonie
Soit $ (v_{n}) $ la suite définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par :
$ v_{n}=5\times \text{e}^{-0{,}5 n} $
Étape 1 : on a un facteur $ 5 $ devant et un exposant $ -0{,}5 n $, donc $ a=-0{,}5 $.
Étape 2 : on calcule le rapport $ \dfrac{v_{n+1}}{v_{n}} $.
$ \dfrac{v_{n+1}}{v_{n}}=\dfrac{5\,\text{e}^{-0{,}5(n+1)}}{5\,\text{e}^{-0{,}5 n}}=\text{e}^{-0{,}5(n+1)-(-0{,}5 n)}=\text{e}^{-0{,}5} $
Étape 3 : la suite $ (v_{n}) $ est géométrique de raison $ q=\text{e}^{-0{,}5} $ et de premier terme :
Comme $ \text{e}^{-0{,}5}\approx 0{,}607 $, on a $ 0<q<1 $ : la suite $ (v_{n}) $ est strictement décroissante et modélise une évolution de type décroissance exponentielle.
Remarque
Cette propriété fait le pont entre deux modèles d'évolution :
- les suites géométriques modélisent une évolution discrète (année par année, mois par mois) ;
- la fonction exponentielle $ f(x)=\text{e}^{ax} $ modélise la même évolution en temps continu.
Pour une raison $ q>0 $ donnée, il existe un unique réel $ a $ tel que $ q=\text{e}^{a} $ (ce réel est $ a=\ln q $, vu en Terminale). En Première, on se limite aux situations où l'exposant $ a $ est donné directement.
Attention
La suite $ (u_{n}) $ définie par $ u_{n}=\text{e}^{na} $ est géométrique, mais la suite $ (u_{n}) $ définie par $ u_{n}=\text{e}^{n}+a $ (avec $ a\neq 0 $) ne l'est pas : bien distinguer exposant et somme.
La raison $ q=\text{e}^{a} $ est toujours strictement positive, puisque l'exponentielle l'est. Une suite géométrique à raison négative ne peut pas s'écrire sous la forme $ \text{e}^{na} $.