[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le calcul de dérivées de fonctions composées, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{3x+2}$.

Affirmation : $f'(x) = 3 e^{3x+2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
On applique la formule $(e^u)' = u' \, e^u$ avec $u(x) = 3x + 2$ et $u'(x) = 3$ : on obtient bien $f'(x) = 3 e^{3x+2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la dérivée de $e^u$ est $u' \, e^u$, pas seulement $e^u$.
Avec $u(x) = 3x + 2$, on a $u'(x) = 3$, d'où $f'(x) = 3 e^{3x+2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $u = 3x+2$ et $u' = 3$, la formule $(e^u)' = u' \, e^u$ donne $f'(x) = 3 e^{3x+2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.

Affirmation : $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
La formule $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ comporte bien $u'$ au numérateur, pas $1$. Avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$, la dérivée correcte est $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'écrire $(\ln u)' = \dfrac{1}{u}$ alors que la formule correcte est $\dfrac{u'}{u}$.
Avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$, on obtient $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne dérivée est $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ (il faut multiplier par $u'(x) = 2x$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)^4$.

Affirmation : $f'(x) = 8(2x - 1)^3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
On applique $(u^n)' = n \, u' \, u^{n-1}$ avec $u(x) = 2x - 1$, $u'(x) = 2$ et $n = 4$ : $f'(x) = 4 \times 2 \times (2x-1)^3 = 8(2x-1)^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est d'oublier le facteur $u'$ : la formule complète est $(u^n)' = n \, u' \, u^{n-1}$.
Avec $u = 2x - 1$, $u' = 2$ et $n = 4$, on obtient $f'(x) = 4 \times 2 \times (2x-1)^3 = 8(2x-1)^3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec la formule $(u^n)' = n \, u' \, u^{n-1}$ et $u = 2x-1$, $u' = 2$, on retrouve bien $f'(x) = 8(2x-1)^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^2}$.

Affirmation : $f'(x) = e^{-2x}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne analyse !
La dérivation ne se fait pas « dans » l'exposant : la formule est $(e^u)' = u' \, e^u$, l'exposant reste inchangé. Avec $u(x) = -x^2$ et $u'(x) = -2x$, on obtient $f'(x) = -2x \, e^{-x^2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on ne dérive pas l'exposant pour le remplacer dans l'exponentielle : la formule correcte est $(e^u)' = u' \, e^u$, l'exposant $u$ reste tel quel.
Avec $u(x) = -x^2$ et $u'(x) = -2x$, on obtient $f'(x) = -2x \, e^{-x^2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne dérivée est $f'(x) = -2x \, e^{-x^2}$ : l'exposant ne se modifie pas en dérivant.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x \, e^x$.

Affirmation : $f'(x) = (x + 1) e^x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Avec la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$, en posant $u(x) = x$ et $v(x) = e^x$ : $f'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (1 + x) e^x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre $(x \, e^x)'$ avec $e^x$ ou $x \, e^x$ : c'est un produit, qui se dérive avec $(uv)' = u'v + uv'$.
On obtient $f'(x) = e^x + x \, e^x = (x + 1) e^x$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La règle du produit donne $f'(x) = e^x + x \, e^x = (x + 1) e^x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2$.

Affirmation : $f'(x) = \dfrac{2}{x}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Très bien !
Il ne faut pas confondre $(\ln x)^2$ (carré du logarithme) et $\ln(x^2)$ (logarithme du carré). Ici $f = u^2$ avec $u(x) = \ln x$ et $u'(x) = \dfrac{1}{x}$, donc $f'(x) = 2 u \, u' = 2 \ln x \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2 \ln x}{x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre $(\ln x)^2$ avec $\ln(x^2)$, dont la dérivée serait effectivement $\dfrac{2}{x}$.
Pour $(\ln x)^2$, on applique $(u^2)' = 2 u \, u'$ avec $u = \ln x$ et $u' = \dfrac{1}{x}$ : $f'(x) = \dfrac{2 \ln x}{x}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne dérivée est $f'(x) = \dfrac{2 \ln x}{x}$ ; l'expression $\dfrac{2}{x}$ correspond à $\ln(x^2)$, pas à $(\ln x)^2$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les dérivées de fonctions composées : application des formules usuelles ($e^u$, $\ln(u)$, $\sqrt{u}$, $u^n$, $\dfrac{1}{u}$). Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{3x}$ est :
[qcm]
[option]$e^{3x}$[/option]
[option correct="true"]$3 e^{3x}$[/option]
[option]$3x \, e^{3x - 1}$[/option]
[option]$e^{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique $(e^u)' = u' e^u$ avec $u(x) = 3x$, donc $u'(x) = 3$. On obtient $f'(x) = 3 e^{3x}$.[/reponse]
[reponse motif="$e^{3x}$"]Non.
Oubli du facteur $u'$ dans la formule $(e^u)' = u' \, e^u$. Ici $u(x) = 3x$, donc $u'(x) = 3$ doit apparaître en multiplicateur.[/reponse]
[reponse motif="$3x \, e^{3x - 1}$"]Non.
Confusion avec la dérivée d'une puissance ($x^n$ donne $n x^{n - 1}$). La dérivée d'une exponentielle ne fait pas baisser l'exposant : on garde $e^{3x}$ et on multiplie par $u'$.[/reponse]
[reponse motif="$e^{3}$"]Non.
On ne dérive pas l'exposant : la dérivée n'est pas une constante. La fonction $f$ varie avec $x$, donc sa dérivée aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à connaître : $(e^u)' = u' \, e^u$. Identifier $u(x)$, calculer $u'(x)$, puis multiplier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{x^2 + 1}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2x}{x^2 + 1}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2x}$[/option]
[option]$\dfrac{2x}{x^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$. On obtient $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x^2 + 1}$"]Non.
Oubli du numérateur $u'$ dans la formule $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Ici $u(x) = x^2 + 1$, il faut multiplier par sa dérivée.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2x}$"]Non.
Confusion entre numérateur et dénominateur dans la formule. La règle est $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ : la dérivée de $u$ est en haut, $u$ est en bas.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2x}{x^2}$"]Non.
Le dénominateur a été simplifié à tort : on ne peut pas remplacer $x^2 + 1$ par $x^2$ tant que la fonction n'est pas dérivée. Conserver la fonction $u$ telle quelle au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à connaître : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Bien identifier ce qui est $u$ et ce qui est $u'$ avant de remplacer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2 \sqrt{x^2 + 1}}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$[/option]
[option]$\dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$[/option]
[option]$\sqrt{2x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$ avec $u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$. On obtient $f'(x) = \dfrac{2x}{2 \sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2 \sqrt{x^2 + 1}}$"]Non.
Oubli du facteur $u'$ au numérateur dans la formule $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$. Ici $u'(x) = 2x$ doit apparaître au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$"]Non.
Le facteur $\dfrac{1}{2}$ de la formule $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$ a été oublié. Sans simplification, le résultat est $\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2x}$"]Non.
La racine ne se distribue pas ainsi sur la dérivée. Utiliser la formule de dérivation d'une fonction composée plutôt qu'une « racine de la dérivée ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à connaître : $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$. Bien placer $u'$ au numérateur, et ne pas oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 1)^4$ est :
[qcm]
[option]$4(3x - 1)^3$[/option]
[option correct="true"]$12(3x - 1)^3$[/option]
[option]$(3x - 1)^3$[/option]
[option]$4(3x - 1)^4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique $(u^n)' = n \, u' \, u^{n - 1}$ avec $u(x) = 3x - 1$ et $n = 4$, donc $u'(x) = 3$. On obtient $f'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 1)^3 = 12 (3x - 1)^3$.[/reponse]
[reponse motif="$4(3x - 1)^3$"]Non.
Oubli du facteur $u'$ dans la formule $(u^n)' = n \, u' \, u^{n - 1}$. Ici $u'(x) = 3$, il manque ce facteur.[/reponse]
[reponse motif="$(3x - 1)^3$"]Non.
Deux oublis : le coefficient $n = 4$ de l'exposant et le facteur $u' = 3$ qui vient de la dérivée de l'intérieur. La formule complète est $n \, u' \, u^{n - 1}$.[/reponse]
[reponse motif="$4(3x - 1)^4$"]Non.
L'exposant doit baisser d'une unité dans la dérivée d'une puissance ($n - 1$, pas $n$). Sinon la fonction et sa dérivée auraient le même degré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à connaître : $(u^n)' = n \, u' \, u^{n - 1}$. L'exposant baisse d'une unité, le coefficient $n$ et le facteur $u'$ apparaissent en multiplicateurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x^2}$ est :
[qcm]
[option]$e^{x^2}$[/option]
[option]$2x \, e^{2x}$[/option]
[option correct="true"]$2x \, e^{x^2}$[/option]
[option]$x^2 \, e^{x^2 - 1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique $(e^u)' = u' \, e^u$ avec $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. On obtient $f'(x) = 2x \, e^{x^2}$. Attention : l'exposant reste $x^2$, on ne le dérive pas dans l'exponentielle elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$e^{x^2}$"]Non.
Oubli du facteur $u'$ dans la formule $(e^u)' = u' \, e^u$. La dérivée de l'exposant $x^2$, qui vaut $2x$, doit apparaître en multiplicateur.[/reponse]
[reponse motif="$2x \, e^{2x}$"]Non.
Le facteur $u' = 2x$ devant est correct, mais l'exposant doit rester $x^2$ (et non $2x$). On garde $e^u$ identique avant de multiplier par $u'$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2 \, e^{x^2 - 1}$"]Non.
Confusion avec la dérivée d'une puissance ($x^n$ donne $n x^{n - 1}$). Pour une exponentielle, l'exposant ne baisse pas : on garde $e^{x^2}$ tel quel, multiplié par $u'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à connaître : $(e^u)' = u' \, e^u$. L'exposant de l'exponentielle ne change pas, on multiplie par la dérivée de cet exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]-\dfrac{5}{2}\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2x + 5}$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{2}{(2x + 5)^2}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{(2x + 5)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{(2x + 5)^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On applique $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x) = 2x + 5$, donc $u'(x) = 2$. On obtient $f'(x) = -\dfrac{2}{(2x + 5)^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
La fonction $f$ n'est pas affine : on ne peut pas simplement « dériver le dénominateur ». Utiliser la formule pour $\dfrac{1}{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{(2x + 5)^2}$"]Non.
Oubli du facteur $u' = 2$ au numérateur. La formule complète est $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$, pas simplement $-\dfrac{1}{u^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{(2x + 5)^2}$"]Non.
Le signe $-$ a été oublié dans la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$. Une fonction de la forme $\dfrac{1}{u}$ avec $u$ croissante est décroissante, donc sa dérivée est négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à connaître : $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$. Bien penser au signe $-$ et au facteur $u'$ au numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]