Cuve conique et sa maquette à l’échelle 1/10

Un parc aquatique veut installer une grande cuve d'eau en forme de cône de révolution renversé (sommet vers le bas). Les dimensions de la cuve réelle sont : rayon de la base $r = 2$ m et hauteur $h = 3$ m.

Pour la présentation au conseil municipal, on construit une maquette de la cuve à l'échelle $\dfrac{1}{10}$.

Calculer la valeur exacte du volume $V_{\text{réel}}$ de la cuve, en m³, en fonction de $\pi$.
Donner la valeur de $V_{\text{réel}}$ arrondie au litre près. (Rappel : $1$ m³ $= 1\,000$ L.)
Donner les dimensions (rayon et hauteur) de la maquette, en cm.
Calculer la valeur exacte du volume $V_{\text{maquette}}$ de la maquette, en cm³, puis en donner une valeur arrondie au cm³ près.
Convertir $V_{\text{réel}}$ en cm³, puis vérifier que $V_{\text{réel}} = 10^3 \times V_{\text{maquette}}$.

Corrigé

On applique la formule du volume d'un cône avec $r = 2$ m et $h = 3$ m :

$V_{\text{réel}} = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 3}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 3}{3} = 4\,\pi$

La valeur exacte est $V_{\text{réel}} = 4\,\pi$ m³.
Conversion en litres : $4\,\pi$ m³ $= 4\,\pi \times 1\,000 = 4\,000\,\pi$ L.

À la calculatrice : $4\,000 \times \pi \approx 12\,566{,}37$.

Arrondi au litre : $V_{\text{réel}} \approx 12\,566$ L.
La maquette est une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{10}$. Toutes les longueurs sont multipliées par $k$ :
- rayon : $r' = 2 \times \dfrac{1}{10} = 0{,}2$ m $= 20$ cm
- hauteur : $h' = 3 \times \dfrac{1}{10} = 0{,}3$ m $= 30$ cm
La maquette a un rayon de $20$ cm et une hauteur de $30$ cm.
On applique la formule du volume du cône, avec les dimensions de la maquette en cm :

$V_{\text{maquette}} = \dfrac{\pi \times 20^2 \times 30}{3} = \dfrac{\pi \times 400 \times 30}{3} = \dfrac{12\,000\,\pi}{3} = 4\,000\,\pi$

La valeur exacte est $V_{\text{maquette}} = 4\,000\,\pi$ cm³.

À la calculatrice : $4\,000 \times \pi \approx 12\,566{,}37$, soit $V_{\text{maquette}} \approx 12\,566$ cm³.
Conversion : $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³, donc :

$V_{\text{réel}} = 4\,\pi$ m³ $= 4\,\pi \times 1\,000\,000 = 4\,000\,000\,\pi$ cm³

On compare avec $10^3 \times V_{\text{maquette}}$ :

$10^3 \times V_{\text{maquette}} = 1\,000 \times 4\,000\,\pi = 4\,000\,000\,\pi$ cm³

On obtient bien $V_{\text{réel}} = 10^3 \times V_{\text{maquette}}$, ce qui confirme la propriété : pour une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{10}$, les volumes sont multipliés par $k^3 = \dfrac{1}{1\,000}$.

Volume d’un seau conique en litres

Pour récupérer l'eau de pluie, un jardinier utilise un seau qui a la forme d'un cône de révolution renversé (le sommet est tourné vers le bas). Le diamètre de l'ouverture supérieure mesure $30$ cm et la hauteur du seau est $24$ cm.

Donner la valeur du rayon de la base du cône.
Calculer la valeur exacte du volume du seau, en cm³, en fonction de $\pi$.
Donner la valeur arrondie au cm³ près.
Convertir ce volume en litres, arrondi au dixième de litre près. (Rappel : $1$ dm³ $= 1$ L.)

Corrigé

Le rayon est la moitié du diamètre : $r = \dfrac{30}{2} = 15$.

Le rayon de la base vaut $15$ cm.
On applique la formule du volume d'un cône de révolution :

$V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 15^2 \times 24}{3}$

$V = \dfrac{\pi \times 225 \times 24}{3} = \dfrac{5\,400\,\pi}{3} = 1\,800\,\pi$

La valeur exacte est $V = 1\,800\,\pi$ cm³.
À la calculatrice : $1\,800 \times \pi \approx 5\,654{,}87$.

Arrondi au cm³ près : $V \approx 5\,655$ cm³.
Pour convertir des cm³ en dm³, on divise par $1\,000$ :

$5\,655$ cm³ $= 5{,}655$ dm³ $= 5{,}655$ L

Arrondi au dixième de litre : $V \approx 5{,}7$ L.

Pour réviser : Calculer le volume d'un cône de révolution

Volume d’un presse-papier en forme de pyramide

Un presse-papier en marbre a la forme d'une pyramide à base carrée. Sa base est un carré de côté $6$ cm et sa hauteur mesure $h = 8$ cm.

Calculer l'aire de la base, en cm².
Calculer le volume du presse-papier, en cm³.
Convertir ce volume en mm³ (rappel : $1$ cm³ $= 1\,000$ mm³).

Corrigé

La base est un carré de côté $6$ cm. Son aire vaut :

$\mathcal{A} = 6 \times 6 = 36$

L'aire de la base est $36$ cm².
On applique la formule du volume d'une pyramide :

$V = \dfrac{\mathcal{A} \times h}{3} = \dfrac{36 \times 8}{3} = \dfrac{288}{3} = 96$

Le volume du presse-papier est $96$ cm³.
On utilise la relation $1$ cm³ $= 1\,000$ mm³ :

$96$ cm³ $= 96 \times 1\,000 = 96\,000$ mm³

Le volume vaut $96\,000$ mm³.

Pour réviser : Calculer le volume d'une pyramide

QCM : Conversions d’unités composées

[enonce]
Ce QCM porte sur les conversions d'unités composées : volumes ($\text{m}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{cm}^3$, litres) et vitesses (km/h, m/s). Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Convertir $1$ $\text{m}^3$ en $\text{dm}^3$.
[qcm]
[option]$10$ $\text{dm}^3$[/option]
[option]$100$ $\text{dm}^3$[/option]
[option correct="true"]$1\,000$ $\text{dm}^3$[/option]
[option]$1\,000\,000$ $\text{dm}^3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour les unités de volume, on multiplie ou divise par $1\,000$ entre deux unités successives. Donc $1$ $\text{m}^3 = 1\,000$ $\text{dm}^3$.[/reponse]
[reponse motif="$10$ $\text{dm}^3$"]Non.
Le facteur de conversion entre deux unités de volume est $1\,000$, pas $10$. Le facteur $10$ s'applique aux longueurs simples ($\text{m} \to \text{dm}$).[/reponse]
[reponse motif="$100$ $\text{dm}^3$"]Non.
Le facteur $100$ correspond aux conversions d'aires ($\text{m}^2 \to \text{dm}^2$), pas aux volumes.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000\,000$ $\text{dm}^3$"]Non.
$1\,000\,000$ correspond à la conversion de $\text{m}^3$ en $\text{cm}^3$ (deux échelons), pas en $\text{dm}^3$ (un seul échelon).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour les volumes, retenir le facteur $\times 1\,000$ entre chaque unité successive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une bouteille a une capacité de $0{,}75$ L. Quel est son volume en $\text{cm}^3$ ?
[qcm]
[option]$7{,}5$ $\text{cm}^3$[/option]
[option]$75$ $\text{cm}^3$[/option]
[option correct="true"]$750$ $\text{cm}^3$[/option]
[option]$7\,500$ $\text{cm}^3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$1$ L $= 1$ $\text{dm}^3 = 1\,000$ $\text{cm}^3$.
Donc $0{,}75$ L $= 0{,}75 \times 1\,000 = 750$ $\text{cm}^3$.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ $\text{cm}^3$"]Non.
On a multiplié par $10$ au lieu de $1\,000$. Pour passer du $\text{dm}^3$ au $\text{cm}^3$, le facteur est $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$75$ $\text{cm}^3$"]Non.
On a multiplié par $100$ au lieu de $1\,000$. Le facteur entre deux unités de volume successives est $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$7\,500$ $\text{cm}^3$"]Non.
On a multiplié par $10\,000$ : c'est trop. Un litre vaut $1\,000$ $\text{cm}^3$, donc $0{,}75$ L vaut $750$ $\text{cm}^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$, puis multiplier par $0{,}75$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un aquarium a un volume de $250\,000$ $\text{cm}^3$. Quel volume en litres cela représente-t-il ?
[qcm]
[option]$2{,}5$ L[/option]
[option]$25$ L[/option]
[option correct="true"]$250$ L[/option]
[option]$2\,500$ L[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$, donc $250\,000$ $\text{cm}^3 = \dfrac{250\,000}{1\,000} = 250$ L.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5$ L"]Non.
On a divisé par $100\,000$ au lieu de $1\,000$. Vérifier l'ordre de grandeur : $1$ L vaut $1\,000$ $\text{cm}^3$.[/reponse]
[reponse motif="$25$ L"]Non.
On a divisé par $10\,000$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,500$ L"]Non.
On a divisé par $100$ au lieu de $1\,000$. Le facteur entre $\text{cm}^3$ et litre est $1\,000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer des $\text{cm}^3$ aux litres, diviser par $1\,000$ (puisque $1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Convertir $72$ km/h en m/s.
[qcm]
[option]$7{,}2$ m/s[/option]
[option]$25{,}9$ m/s[/option]
[option correct="true"]$20$ m/s[/option]
[option]$259{,}2$ m/s[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour convertir des km/h en m/s, on divise par $3{,}6$.
$72 \div 3{,}6 = 20$ m/s.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}2$ m/s"]Non.
On a divisé par $10$ au lieu de $3{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$25{,}9$ m/s"]Non.
On a multiplié par $0{,}36$ : il fallait diviser par $3{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$259{,}2$ m/s"]Non.
On a multiplié par $3{,}6$ au lieu de diviser. Une vitesse en m/s est plus petite (en valeur numérique) qu'en km/h.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer de km/h à m/s, diviser par $3{,}6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un coureur sprinte à $9$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?
[qcm]
[option]$2{,}5$ km/h[/option]
[option]$3{,}6$ km/h[/option]
[option correct="true"]$32{,}4$ km/h[/option]
[option]$54$ km/h[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par $3{,}6$.
$9 \times 3{,}6 = 32{,}4$ km/h.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5$ km/h"]Non.
On a divisé $9$ par $3{,}6$ : c'est l'opération à faire dans l'autre sens (km/h vers m/s).[/reponse]
[reponse motif="$3{,}6$ km/h"]Non.
$3{,}6$ est le coefficient de conversion, pas le résultat. Il faut multiplier $9$ par $3{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$54$ km/h"]Non.
On a multiplié par $6$ au lieu de $3{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer des m/s aux km/h, multiplier par $3{,}6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un récipient cubique a une arête de $20$ cm. Quelle est sa capacité en litres ?
[qcm]
[option]$0{,}8$ L[/option]
[option correct="true"]$8$ L[/option]
[option]$80$ L[/option]
[option]$800$ L[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le volume du cube vaut $20^3 = 8\,000$ $\text{cm}^3$.
Comme $1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$, on a $8\,000$ $\text{cm}^3 = 8$ L.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$ L"]Non.
On a divisé $8\,000$ par $10\,000$. Le facteur correct est $1\,000$ entre $\text{cm}^3$ et litre.[/reponse]
[reponse motif="$80$ L"]Non.
On a divisé par $100$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$800$ L"]Non.
On a divisé par $10$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord le volume en $\text{cm}^3$ ($20^3$), puis diviser par $1\,000$ pour obtenir les litres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]