Vrai/Faux : Conjugué et module d’un complexe

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le conjugué et le module d'un nombre complexe, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre complexe $z$, on a $\overline{\overline{z}} = z$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $z = a + ib$, alors $\overline{z} = a - ib$ et $\overline{\overline{z}} = a - (-ib) = a + ib = z$. Le conjugué est une involution : appliqué deux fois, il redonne le complexe initial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le conjugué change le signe de la partie imaginaire. Si on l'applique une seconde fois, ce signe redevient positif : on retrouve $z$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La conjugaison est une involution : $\overline{\overline{z}} = z$ pour tout $z \in \mathbb{C}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre complexe $z$, $|z|^{2} = z^{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$|z|^{2}$ est un réel positif (ou nul), tandis que $z^{2}$ est un complexe quelconque. Par exemple pour $z = i$ : $|z|^{2} = 1$ alors que $z^{2} = -1$. La bonne identité est $|z|^{2} = z \overline{z}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut faire intervenir le conjugué : $|z|^{2} = z \times \overline{z}$, et non $z \times z$. Le résultat correct est toujours un réel positif, alors que $z^{2}$ peut être négatif ou non réel.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne identité est $|z|^{2} = z \overline{z}$, qui donne un réel positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $|zz'| = |z| \times |z'|$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est une propriété fondamentale du module : il est multiplicatif. On l'établit en utilisant $|z|^{2} = z \overline{z}$ et $\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le module est compatible avec la multiplication. $|zz'| = |z| \times |z'|$, et de même $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ (pour $z' \neq 0$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le module d'un produit est égal au produit des modules.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $|z + z'| = |z| + |z'|$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a uniquement l'inégalité triangulaire : $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$, l'égalité n'étant atteinte qu'à des conditions particulières (vecteurs colinéaires de même sens). Par exemple pour $z = 1$ et $z' = -1$ : $|z + z'| = 0$ alors que $|z| + |z'| = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut bien distinguer le cas du produit (où il y a égalité multiplicative) et celui de la somme (où il n'y a qu'une inégalité). En géométrie, c'est l'inégalité triangulaire entre les longueurs des côtés d'un triangle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On a seulement l'inégalité triangulaire $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$, pas l'égalité en général.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le module du nombre complexe $z = -3 + 4i$ vaut $5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$|z| = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Le module ne dépend que des carrés des parties réelle et imaginaire, donc le signe de $-3$ n'intervient pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est peut-être d'avoir voulu tenir compte du signe négatif de la partie réelle. Le module élève au carré, ce qui efface ce signe : $(-3)^{2} = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $|-3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $|z| = 1$, alors $z = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$|z| = 1$ signifie que le point image de $z$ est sur le cercle unité, il y a donc une infinité de solutions ($i$, $-1$, $-i$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$…). Seul un de ces points est égal à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confondre $|z| = 1$ avec $z = 1$ revient à oublier qu'un module est une distance : tout point situé à distance $1$ de l'origine convient, ce qui forme un cercle entier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $|z| = 1$ caractérise les points du cercle unité, qui contient une infinité de complexes différents de $1$ (par exemple $i$, $-1$, $-i$).
[/solution]
[/etape]

QCM : Conjugué et module d’un nombre complexe

[enonce]
Ce QCM porte sur le conjugué et le module d'un nombre complexe : calcul direct, propriétés essentielles et relations entre les deux notions. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le conjugué de $z = -2 + 7i$ est :
[qcm]
[option]$2 - 7i$[/option]
[option]$2 + 7i$[/option]
[option correct="true"]$-2 - 7i$[/option]
[option]$-7 - 2i$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$ : on change uniquement le signe de la partie imaginaire.
Ici $\overline{z} = -2 - 7i$.[/reponse]
[reponse motif="$2 - 7i$"]Non.
On a changé le signe des deux parties. Le conjugué ne modifie que le signe de la partie imaginaire, pas celui de la partie réelle.[/reponse]
[reponse motif="$2 + 7i$"]Non.
On a changé le signe de la partie réelle, alors que c'est la partie imaginaire qui doit être opposée.[/reponse]
[reponse motif="$-7 - 2i$"]Non.
Les rôles de partie réelle et de partie imaginaire ne se permutent pas. Le conjugué garde la même partie réelle et oppose la partie imaginaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule à retenir : si $z = a + ib$ alors $\overline{z} = a - ib$. Seule la partie imaginaire change de signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module de $z = 3 - 4i$ vaut :
[qcm]
[option]$\sqrt{7}$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $z = a + ib$, le module est $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
$|z| = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7}$"]Non.
On a oublié de mettre $a$ et $b$ au carré. Le module est $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$, pas $\sqrt{a + b}$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
On a additionné les valeurs absolues : $|3| + |-4| = 7$. Mais le module fait intervenir la racine carrée d'une somme de carrés, pas une simple somme.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Un module est toujours positif ou nul (c'est une distance). De plus on a soustrait au lieu d'additionner les carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ avec attention : carrés d'abord, somme ensuite, puis racine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module de $z = 2i$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$2i$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$\sqrt{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$z = 2i$ s'écrit $0 + 2i$, donc $a = 0$ et $b = 2$.
$|z| = \sqrt{0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
On a négligé la partie imaginaire. Pour $z = 2i$, on a $b = 2$ qui n'est pas nul ; il intervient sous la racine au carré.[/reponse]
[reponse motif="$2i$"]Non.
Un module est un nombre réel positif : il ne contient jamais de $i$. On donne juste la valeur du coefficient, sans le facteur $i$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}$"]Non.
Vérifier le calcul de la racine : $\sqrt{0 + 2^{2}} = \sqrt{4}$, pas $\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un imaginaire pur $z = ib$, le module se réduit à $|z| = |b|$. Ici $|2i| = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout nombre complexe $z$, le produit $z \times \overline{z}$ est égal à :
[qcm]
[option]$z^{2}$[/option]
[option correct="true"]$|z|^{2}$[/option]
[option]$|z|$[/option]
[option]$\overline{z}^{\,2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $z = a + ib$ : $z \times \overline{z} = (a + ib)(a - ib) = a^{2} - (ib)^{2} = a^{2} + b^{2} = |z|^{2}$.
C'est l'identité fondamentale qui relie produit et module.[/reponse]
[reponse motif="$z^{2}$"]Non.
$z^{2}$ et $z \overline{z}$ sont en général très différents. Par exemple pour $z = i$ : $z^{2} = -1$ alors que $z \overline{z} = i \times (-i) = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$|z|$"]Non.
Le produit $z \overline{z}$ donne $a^{2} + b^{2}$, ce qui est le carré du module et non le module lui-même. Penser à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{z}^{\,2}$"]Non.
$\overline{z}^{\,2}$ est le carré du conjugué, alors que $z \overline{z}$ multiplie $z$ par son conjugué. Le résultat est un réel positif, ce qui n'est pas le cas de $\overline{z}^{\,2}$ en général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer le produit $(a + ib)(a - ib)$ avec l'identité remarquable et utiliser $i^{2} = -1$. On obtient $a^{2} + b^{2} = |z|^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z$ un complexe non nul. L'inverse $\dfrac{1}{z}$ s'écrit aussi :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{\overline{z}}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}$[/option]
[option]$\dfrac{\overline{z}}{|z|}$[/option]
[option]$\overline{z}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué :
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{z \overline{z}} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}$.
Cette formule donne directement la forme algébrique de $\dfrac{1}{z}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\overline{z}}$"]Non.
$\dfrac{1}{\overline{z}}$ n'est pas égal à $\dfrac{1}{z}$ (sauf si $z$ est réel). Le passage au conjugué change l'expression.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\overline{z}}{|z|}$"]Non.
Au dénominateur, il faut bien le carré du module (qui correspond à $z \overline{z}$), et non le module lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{z}$"]Non.
$\overline{z}$ n'est l'inverse de $z$ que dans le cas particulier où $|z| = 1$. En général, il faut diviser par $|z|^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La technique : multiplier $\dfrac{1}{z}$ par $\dfrac{\overline{z}}{\overline{z}}$ pour rendre le dénominateur réel. Au dénominateur apparaît alors $z \overline{z} = |z|^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z = 1 + i$. Le module de $z^{2}$ vaut :
[qcm]
[option]$\sqrt{2}$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$2i$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On utilise la propriété $|z^{n}| = |z|^{n}$ : $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$, donc $|z^{2}| = (\sqrt{2})^{2} = 2$.
On peut aussi calculer directement : $z^{2} = (1+i)^{2} = 2i$, donc $|z^{2}| = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}$"]Non.
$\sqrt{2}$ est la valeur de $|z|$, pas de $|z^{2}|$. Or $|z^{2}| = |z|^{2}$ : il faut élever au carré.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
On a appliqué deux fois l'élévation au carré. La propriété est $|z^{2}| = |z|^{2}$ et non $|z^{2}| = |z|^{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2i$"]Non.
$2i$ est la valeur de $z^{2}$ (et non de son module). Le module est un réel positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la puissance d'un complexe : $|z^{n}| = |z|^{n}$. Calculer d'abord $|z|$, puis élever à la puissance demandée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Nombres complexes – Bac S Métropole 2015

Résoudre dans l'ensemble $ \mathbb{C} $ des nombres complexes l'équation $ (E) $ d'inconnue $ z $ :

$ z^2 - 8z+64 = 0. $

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right) $.
On considère les points $ A $, $ B $ et $ C $ d'affixes respectives $ a = 4+4\text{i}\sqrt{3} $,

$ b = 4 - 4\text{i}\sqrt{3} $ et $ c = 8\text{i} $.
1. Calculer le module et un argument du nombre $ a $.
2. Donner la forme exponentielle des nombres $ a $ et $ b $.
3. Montrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont sur un même cercle de centre $ O $ dont on déterminera le rayon.
4. Placer les points $ A $, $ B $ et $ C $ dans le repère $ \left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right) $.
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.

On considère les points $ A^\prime $, $ B^\prime $ et $ C^\prime $ d'affixes respectives $ a^\prime = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $, $ b^\prime = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $ et $ c^\prime = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $.
1. Montrer que $ b^\prime = 8 $.
2. Calculer le module et un argument du nombre $ a^\prime $.
Pour la suite on admet que $ a^\prime = - 4+4\text{i}\sqrt{3} $ et $ c^\prime = - 4\sqrt{3}+4\text{i} $.

On admet que si $ M $ et $ N $ sont deux points du plan d'affixes respectives $ m $ et $ n $ alors le milieu $ I $ du segment $ [MN] $ a pour affixe $ \dfrac{m+n}{2} $ et la longueur $ MN $ est égale à $ |n - m| $.
1. On note $ r $, $ s $ et $ t $ les affixes des milieux respectifs $ R $, $ S $ et $ T $ des segments $ [A^\prime B] $, $ [B^\prime C] $ et $ [C^\prime A] $.
  
  Calculer $ r $ et $ s $. On admet que $ t = 2 - 2\sqrt{3}+\text{i}\left(2+2\sqrt{3}\right) $.
2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle $ RST $ ?
  
  Justifier ce résultat.

Corrigé

Le discriminant de l'équation $ (E) $ est :

$ \Delta = ( - 8)^2 - 4 \times 64 = 64 - 4 \times 64= - 3 \times 64 $

$ \Delta $ est strictement négatif donc l'équation $ (E) $ admet deux racines complexes conjuguées :

$ z_1=\dfrac{8 - 8i\sqrt{3}}{2}=4 - 4i\sqrt{3} $

$ z_2=\overline{z_1}=4+4i\sqrt{3} $
1. $ |a|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8 $
  
  Soit $ \theta $ un argument de $ a $ :
  
  $ \cos \theta=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} $
  
  $ \sin \theta=\dfrac{4\sqrt{3}}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  
  donc $ \theta = \dfrac{\pi}{3} $ (modulo $ 2\pi $).
2. La forme exponentielle de $ a $ est $ a=8 e^{i \frac{\pi}{3}} $.
  
  $ b $ étant le conjugué de $ a $, il a le même module et des arguments opposés.
  
  $ b=\overline{a}=8 e^{ - i \frac{\pi}{3}} $
3. $ OA=|a|=8 $
  
  $ OB=|b|=8 $
  
  $ OC=|c|=|8i|=8|i|=8 $
  
  Les points $ A $, $ B $ et $ C $ appartiennent au cercle de centre $ O $ et de rayon $ 8 $.
1. $ b^{\prime}=b e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{ - i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{ - i \frac{\pi}{3}+i \frac{\pi}{3}}=8 e^{0i}=8 $
2. $ a^{\prime}=a e^{i \frac{\pi}{3}} = 8 e^{i \frac{\pi}{3}}e^{i \frac{\pi}{3}}=8e^{2i \frac{\pi}{3}} $
  
  Le module de $ a^{\prime} $ est $ 8 $ et un de ses arguments est $ \dfrac{2\pi}{3} $
1. $ R $ étant le milieu du segment $ [A^{\prime}B] $ :
  
  $ r=\dfrac{a^{\prime}+b}{2}=\dfrac{ - 4+4i\sqrt{3}+4 - 4i\sqrt{3}}{2}=0 $
  
  De même, $ S $ est le milieu du segment $ [B^{\prime}C] $ donc :
  
  $ s=\dfrac{b^{\prime}+c}{2}=\dfrac{8+8i}{2}=4+4i $
2. D'après la figure ci-dessous, le triangle $ RST $ semble équilatéral.
  
  Montrons que c'est bien le cas.
  
  $ RS=|s - r|=|4+4i|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2} $.
  
  $ ST=|t - s|=\left| - 2 - 2\sqrt{3}+i\left( - 2+2\sqrt{3}\right)\right| $
  
  $ ST=\sqrt{\left( - 2 - 2\sqrt{3}\right)^2+\left( - 2+2\sqrt{3}\right)^2} $
  
  $ ST=\sqrt{4+8\sqrt{3}+12+4 - 8\sqrt{3}+12} $
  
  $ ST=\sqrt{32}=4\sqrt{2} $.
  
  $ RT=|t - r| = \left| 2 - 2\sqrt{3}+i\left(2+2\sqrt{3}\right)\right| $
  
  $ RT=\sqrt{\left(2 - 2\sqrt{3}\right)^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)^2} $
  
  $ RT=\sqrt{4 - 8\sqrt{3}+12+4+8\sqrt{3}+12} $
  
  $ RT=\sqrt{32}=4\sqrt{2} $.
  
  Les trois côtés sont égaux donc $ RST $ est un triangle équilatéral.

→ Pour réviser : Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

Suites et complexes – Bac S Antilles Guyane 2013

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité On considère la suite $ \left(z_{n}\right) $ à termes complexes définie par : $ z_{0}=1+i $ et, pour tout entier naturel $ n $, par

$ z_{n+1}= \dfrac{z_{n}+|z_{n}|}{3}. $

Pour tout entier naturel $ n $, on pose : $ z_{n}=a_{n}+ib_{n} $, où $ a_{n} $ est la partie réelle de $ z_{n} $ et $ b_{n} $ est la partie imaginaire de $ z_{n} $.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $ \left(a_{n}\right) $ et $ \left(b_{n}\right) $.

Partie A

Donner $ a_{0} $ et $ b_{0} $.
Calculer $ z_{1} $, puis en déduire que $ a_{1}=\dfrac{1 +\sqrt{2}}{3} $ et $ b_{1}=\dfrac{1}{3} $.

On considère l'algorithme suivant :

Variables :	A et B des nombres réels
	K et N des nombres entiers
Initialisation :	Affecter à A la valeur 1
	Affecter à B la valeur 1
Traitement :	Entrer la valeur de N
	Pour K variant de 1 à N
	$ \quad $Affecter à A la valeur $ \dfrac{A +\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{3} $
	$ \quad $Affecter à B la valeur $ \dfrac{B}{3} $.
	Fin Pour
	Afficher A

On exécute cet algorithme en saisissant $ N=2 $. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $ 10^{ - 4} $ près).

K A B

1

2
Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice

Partie B

Pour tout entier naturel $ n $, exprimer $ z_{n+1} $ en fonction de $ a_{n} $ et $ b_{n} $.

En déduire l'expression de $ a_{n+1} $ en fonction de $ a_{n} $ et $ b_{n} $, et l'expression de $ b_{n+1} $ en fonction de $ b_{n} $.
Quelle est la nature de la suite $ \left(b_{n}\right) $ ? En déduire l'expression de $ b_{n} $ en fonction de $ n $, et déterminer la limite de la suite $ \left(b_{n}\right) $.
1. On rappelle que pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ :
  
  $ |z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}| $
  
  (inégalité triangulaire).
  
  Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ |z_{n +1}|\leqslant \dfrac{2|z_{n}|}{3}. $
2. Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ u_{n}=|z_{n}| $.
  
  Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2}. $
  
  En déduire que la suite $ \left(u_{n}\right) $ converge vers une limite que l'on déterminera.
3. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, $ |a_{n}| \leqslant u_{n} $.
  
  En déduire que la suite $ \left(a_{n}\right) $ converge vers une limite que l'on déterminera

Corrigé

Partie A

Comme $ z_{0}=1+i $, on a :

$ a_{0}=1 \quad \text{et} \quad b_{0}=1 $
Calculons $ z_{1} $ :

$ z_{1} = \dfrac{z_{0}+|z_{0}|}{3} = \dfrac{1+i+\sqrt{1^2+1^2}}{3} = \dfrac{1+i+\sqrt{2}}{3} = \dfrac{1+\sqrt{2}}{3} + i\dfrac{1}{3} $

On en déduit par identification des parties réelle et imaginaire :

$ a_{1}=\dfrac{1 +\sqrt{2}}{3} \quad \text{et} \quad b_{1}=\dfrac{1}{3} $
1. Voici le tableau complété :
  
  K A B
  
  1 0{,}8047 0{,}3333
  
  2 0{,}5586 0{,}1111
2. La valeur affichée par l'algorithme pour un nombre $ N $ donné correspond à la valeur de $ a_{N} $, la partie réelle du terme $ z_{N} $.

Partie B

Pour tout entier naturel $ n $ :

$ z_{n+1} = \dfrac{a_n + i b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} = \dfrac{a_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} + i \dfrac{b_n}{3} $

On en déduit :

$ a_{n+1} = \dfrac{a_{n} + \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}{3} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \dfrac{b_{n}}{3} $
On a $ b_{n+1} = \dfrac{1}{3} b_{n} $.
La suite $ \left(b_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = \dfrac{1}{3} $ et de premier terme $ b_{0} = 1 $.
L'expression de $ b_{n} $ en fonction de $ n $ est :

$ b_{n} = b_{0} \times q^{n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} $

Comme $ -1 < \dfrac{1}{3} < 1 $, on a :

$ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} = 0 $

D'où $ \lim\limits_{n \to +\infty} b_{n} = 0 $.
1. Pour tout entier naturel $ n $ :
  $ |z_{n +1}| = \left| \dfrac{z_{n}+|z_{n}|}{3} \right| = \dfrac{1}{3} |z_{n}+|z_{n}|| $
  D'après l'inégalité triangulaire $ |z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}| $, en posant $ z = z_n $ et $ z' = |z_n| $ :
  $ |z_n + |z_n|| \leqslant |z_n| + ||z_n|| = 2|z_n| $
  Donc :
  
  $ |z_{n +1}|\leqslant \dfrac{2}{3}|z_{n}| $
2. Soit $ \mathcal{P}_n $ la propriété : $ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2} $.
  
  Initialisation : Pour $ n=0 $, $ u_0 = |z_0| = \sqrt{2} $.
  $ (2/3)^0 \sqrt{2} = \sqrt{2} $, donc $ u_0 \leqslant \sqrt{2} $. $ \mathcal{P}_0 $ est vraie.
  
  Hérédité : Supposons $ \mathcal{P}_n $ vraie pour un certain entier $ n \geqslant 0 $.
  On a $ u_{n+1} = |z_{n+1}| \leqslant \dfrac{2}{3} |z_n| = \dfrac{2}{3} u_n $.
  Par hypothèse de récurrence : $ u_n \leqslant (2/3)^n \sqrt{2} $.
  Donc $ u_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{3} \times (2/3)^n \sqrt{2} = (2/3)^{n+1} \sqrt{2} $.
  L'hérédité est démontrée.
  
  Conclusion : Par le principe de récurrence, $ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2} $ pour tout entier naturel $ n $.
  
  Comme $ 0 < \dfrac{2}{3} < 1 $, $ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} = 0 $.
  D'après le théorème des gendarmes (car $ u_n = |z_n| \geqslant 0 $) :
  
  $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0 $
3. Pour tout complexe $ z = x+iy $, $ |x| = \sqrt{x^2} \leqslant \sqrt{x^2+y^2} = |z| $.
  Ici, $ a_n $ est la partie réelle de $ z_n $, donc :
  
  $ |a_{n}| \leqslant |z_n| = u_{n} $
  
  Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0 $, d'après le théorème des gendarmes :
  
  $ \lim\limits_{n \to +\infty} |a_n| = 0 \quad \text{donc} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0 $

K	A	B
1	0{,}8047	0{,}3333
2	0{,}5586	0{,}1111