Retrouver le rapport d’homothétie à partir des aires

[enonce]
Deux pentagones réguliers sont liés par une homothétie de centre $F$.

Le petit pentagone a un côté de $2$ cm et une aire de $7$ cm².
Le grand pentagone a une aire de $63$ cm².

Deux pentagones réguliers : un petit de côté 2 cm et aire 7 cm², un grand d'aire 63 cm²

Déterminer le rapport d'homothétie, puis calculer le côté et le périmètre du grand pentagone.
[/enonce]

[etape]
Calculer $k^2$, le rapport des aires : [[k2]]
[math id="k2" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$k^2 = \dfrac{\text{Aire du grand}}{\text{Aire du petit}} = \dfrac{63}{7} = 9$.[/reponse]
[reponse motif="56"]$56 = 63 - 7$ : le rapport des aires est un quotient, pas une différence.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{7}{63}"]Le rapport est $\dfrac{\text{Aire image}}{\text{Aire originale}}$. Le grand pentagone est l'image, donc on divise $63$ par $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{\text{Aire de l'image}}{\text{Aire de l'original}}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$k^2 = \dfrac{\text{Aire du grand pentagone}}{\text{Aire du petit pentagone}}$.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \dfrac{63}{7} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$k^2 = \dfrac{63}{7} = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la valeur de $k$ : [[k]]
[math id="k" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$k = \sqrt{k^2} = \sqrt{9} = 3$.
Le grand pentagone est donc 3 fois plus grand que le petit.[/reponse]
[reponse motif="81"]$81 = 9^2$ : on cherche la racine carrée de $9$, pas son carré.[/reponse]
[reponse motif="4,5"]$4{,}5 = 9 \div 2$ : on ne divise pas par $2$, on prend la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Si $k^2 = 9$, alors $k$ est le nombre positif dont le carré vaut $9$.[/reponse]
[aide essai="2"]$k = \sqrt{k^2}$. Quel nombre, multiplié par lui-même, donne $9$ ?[/aide]
[aide essai="3"]$\sqrt{9} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \sqrt{9} = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le périmètre du petit pentagone en cm : [[ppetit]]
[math id="ppetit" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un pentagone régulier a $5$ côtés égaux, donc son périmètre est $5 \times 2 = 10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="7"]$7$ cm² est l'aire, pas le périmètre. Le périmètre est la somme des longueurs des côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Un pentagone régulier a 5 côtés de même longueur. Le périmètre est la somme de ces côtés.[/reponse]
[aide essai="2"]Un pentagone a $5$ côtés. S'il est régulier, tous les côtés ont la même longueur.[/aide]
[aide essai="3"]Périmètre $= 5 \times 2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Périmètre du petit pentagone $= 5 \times 2 = 10$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le côté du grand pentagone en cm : [[cgrand]]
[math id="cgrand" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le côté du grand pentagone est $k$ fois celui du petit :
$\text{côté} = k \times 2 = 3 \times 2 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="18"]$18 = 9 \times 2$ : attention, les longueurs sont multipliées par $k = 3$, pas par $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les longueurs sont multipliées par $k$ dans une homothétie.[/reponse]
[aide essai="2"]Côté du grand $= k \times$ côté du petit.[/aide]
[aide essai="3"]Côté du grand $= 3 \times 2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Côté du grand pentagone $= k \times 2 = 3 \times 2 = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le périmètre du grand pentagone en cm : [[pgrand]]
[math id="pgrand" attendu="30"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Périmètre du grand pentagone $= 5 \times 6 = 30$ cm.
On peut vérifier : $k \times \text{périmètre du petit} = 3 \times 10 = 30$ cm.[/reponse]
[reponse motif="90"]$90 = 9 \times 10$ : le périmètre est une longueur, il est multiplié par $k$, pas par $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le périmètre du grand pentagone se calcule à partir du côté trouvé à l'étape précédente.[/reponse]
[aide essai="2"]Périmètre $= 5 \times$ côté du grand pentagone.[/aide]
[aide essai="3"]Périmètre $= 5 \times 6 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Périmètre du grand pentagone $= 5 \times 6 = 30$ cm. Vérification : $3 \times 10 = 30$ cm.
[/solution]
[/etape]

Aire d’un rectangle agrandi par homothétie

[enonce]
Un rectangle $ABCD$ a pour longueur $AB = 5$ cm et pour largeur $BC = 3$ cm.
On applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$ pour obtenir le rectangle image $A'B'C'D'$.

Rectangle ABCD de dimensions 5 cm par 3 cm et son image A'B'C'D' agrandie par homothétie de rapport 2

Calculer les dimensions et l'aire du rectangle image $A'B'C'D'$.
[/enonce]

[etape]
Par quel nombre l'aire est-elle multipliée lors de cette homothétie de rapport $k = 2$ ? [[k2]]
[math id="k2" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les aires sont multipliées par $k^2 = 2^2 = 4$ dans une homothétie de rapport $k$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention, les longueurs sont multipliées par $k$, mais les aires sont multipliées par $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="8"]$8 = 2^3$ correspond au coefficient des volumes, pas des aires. Pour les aires, c'est $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans une homothétie de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = 2^2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Le coefficient multiplicateur des aires est $k^2 = 2^2 = 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $A'B'$ en cm : [[ab]]
[math id="ab" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$A'B' = k \times AB = 2 \times 5 = 10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="20"]$20 = 4 \times 5$ : attention, les longueurs sont multipliées par $k$, pas par $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les longueurs sont multipliées par $k$ dans une homothétie.[/reponse]
[aide essai="2"]$A'B' = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$A'B' = 2 \times 5 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$A'B' = k \times AB = 2 \times 5 = 10$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la largeur $B'C'$ en cm : [[bcp]]
[math id="bcp" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$B'C' = k \times BC = 2 \times 3 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="12"]$12 = 4 \times 3$ : on utilise $k$ pour les longueurs, pas $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même raisonnement que pour $A'B'$ : multiplier $BC$ par $k$.[/reponse]
[aide essai="2"]$B'C' = k \times BC$.[/aide]
[aide essai="3"]$B'C' = 2 \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$B'C' = k \times BC = 2 \times 3 = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire du rectangle initial $ABCD$ en cm² : [[a1]]
[math id="a1" attendu="15"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Aire de $ABCD = AB \times BC = 5 \times 3 = 15$ cm².[/reponse]
[reponse motif="16"]Le périmètre du rectangle est $2 \times (5 + 3) = 16$ cm. Ici on demande l'aire, pas le périmètre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.[/reponse]
[aide essai="2"]Aire $=$ longueur $\times$ largeur.[/aide]
[aide essai="3"]Aire $= 5 \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Aire de $ABCD = 5 \times 3 = 15$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire du rectangle image $A'B'C'D'$ en cm² : [[a2]]
[math id="a2" attendu="60"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On peut calculer de deux manières :
$\text{Aire}(A'B'C'D') = k^2 \times \text{Aire}(ABCD) = 4 \times 15 = 60$ cm²
Ou directement : $A'B' \times B'C' = 10 \times 6 = 60$ cm².[/reponse]
[reponse motif="30"]$30 = 2 \times 15$ : attention, l'aire est multipliée par $k^2 = 4$, pas par $k = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le coefficient multiplicateur des aires calculé à la première étape, ou bien multiplier les nouvelles dimensions.[/reponse]
[aide essai="2"]Aire$(A'B'C'D') = k^2 \times$ Aire$(ABCD)$, ou bien Aire $= A'B' \times B'C'$.[/aide]
[aide essai="3"]Aire$(A'B'C'D') = 4 \times 15 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Aire$(A'B'C'D') = k^2 \times 15 = 4 \times 15 = 60$ cm². On vérifie : $10 \times 6 = 60$ cm².
[/solution]
[/etape]

Longueurs dans une homothétie

[enonce]
Le triangle $ABC$ a pour dimensions $AB = 4$ cm, $BC = 5$ cm et $AC = 3$ cm.
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie de centre $O$.
On sait que $A'B' = 12$ cm.

Triangle ABC et son image A'B'C' par homothétie de centre O

Déterminer les longueurs $B'C'$ et $A'C'$, puis calculer le périmètre du triangle $A'B'C'$.
[/enonce]

[etape]
Calculer le rapport $k$ de l'homothétie : [[k]]
[math id="k" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{12}{4} = 3$.
Les longueurs de l'image sont donc 3 fois plus grandes que celles du triangle initial.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{3}"]Le rapport est $\dfrac{A'B'}{AB}$ et non $\dfrac{AB}{A'B'}$. On divise la longueur de l'image par la longueur d'origine.[/reponse]
[reponse motif="8"]On ne soustrait pas les longueurs. Le rapport est un quotient : $k = \dfrac{A'B'}{AB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport d'homothétie se calcule en divisant une longueur de l'image par la longueur correspondante de l'original.[/reponse]
[aide essai="2"]$k = \dfrac{\text{longueur image}}{\text{longueur originale}}$. Utiliser $A'B'$ et $AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{12}{4}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{12}{4} = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $B'C'$ en cm : [[bc]]
[math id="bc" attendu="15"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$B'C' = k \times BC = 3 \times 5 = 15$ cm.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{5}{3}"]On multiplie par $k$, on ne divise pas. L'image est plus grande que l'original.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Chaque longueur de l'image est obtenue en multipliant la longueur correspondante de l'original par $k$.[/reponse]
[aide essai="2"]$B'C' = k \times BC$.[/aide]
[aide essai="3"]$B'C' = 3 \times 5 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$B'C' = k \times BC = 3 \times 5 = 15$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $A'C'$ en cm : [[ac]]
[math id="ac" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$A'C' = k \times AC = 3 \times 3 = 9$ cm.[/reponse]
[reponse motif="1"]On ne divise pas $AC$ par $k$. L'image est agrandie, donc $A'C' > AC$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode que pour $B'C'$ : multiplier $AC$ par $k$.[/reponse]
[aide essai="2"]$A'C' = k \times AC$.[/aide]
[aide essai="3"]$A'C' = 3 \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$A'C' = k \times AC = 3 \times 3 = 9$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le périmètre du triangle $ABC$ en cm : [[p1]]
[math id="p1" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le périmètre du triangle $ABC$ est $AB + BC + AC = 4 + 5 + 3 = 12$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le périmètre d'un triangle est la somme de ses trois côtés.[/reponse]
[aide essai="2"]Périmètre $= AB + BC + AC$.[/aide]
[aide essai="3"]Périmètre $= 4 + 5 + 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Périmètre de $ABC = 4 + 5 + 3 = 12$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire le périmètre du triangle $A'B'C'$ en cm : [[p2]]
[math id="p2" attendu="36"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le périmètre est aussi multiplié par $k$ dans une homothétie :
$\text{Périmètre}(A'B'C') = k \times \text{Périmètre}(ABC) = 3 \times 12 = 36$ cm.
On vérifie : $12 + 15 + 9 = 36$ cm.[/reponse]
[reponse motif="108"]$108 = 12 \times 9$ : attention, le périmètre est multiplié par $k$, pas par $k^2$. Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires, pas aux longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le périmètre est une longueur, il est donc multiplié par $k$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le périmètre est une somme de longueurs. Chaque longueur est multipliée par $k$, donc le périmètre aussi.[/aide]
[aide essai="3"]Périmètre$(A'B'C') = 3 \times 12 = \ldots$ Ou bien : $12 + 15 + 9 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
Périmètre$(A'B'C') = k \times 12 = 3 \times 12 = 36$ cm.
[/solution]
[/etape]

QCM : Calcul de longueurs dans une homothétie

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de longueurs dans une homothétie. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.

Triangle ABC et son image plus grande A'B'C' par homothétie de centre O et de rapport 2

Si $AB = 5$ cm, combien mesure $A'B'$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$10$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[option]$2{,}5$ cm[/option]
[option]$20$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les longueurs sont multipliées par $|k| = 2$.
$A'B' = |k| \times AB = 2 \times 5 = 10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
L'erreur est d'additionner $AB + k = 5 + 2 = 7$.
Dans une homothétie, les longueurs sont multipliées par $|k|$, pas additionnées : $A'B' = |k| \times AB$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5$ cm"]Non.
L'erreur est de diviser au lieu de multiplier : $5 \div 2 = 2{,}5$.
$A'B'$ est l'image et $|k| = 2 > 1$ : la longueur image est plus grande, pas plus petite.[/reponse]
[reponse motif="$20$ cm"]Non.
L'erreur est d'utiliser $k^2 = 4$ au lieu de $|k| = 2$.
Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires, pas aux longueurs. Ici $A'B' = |k| \times AB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$A'B' = |k| \times AB = 2 \times 5 = 10$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le point $M'$ est l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -3$.

Point O au centre, point M à droite et point M' à gauche plus éloigné, de part et d'autre de O

Si $OM = 2$ cm, quelle est la distance $OM'$ ?
[qcm]
[option]$-6$ cm[/option]
[option]$5$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La distance $OM'$ est toujours positive. On utilise la valeur absolue du rapport :
$OM' = |k| \times OM = |-3| \times 2 = 3 \times 2 = 6$ cm.
Le signe négatif de $k$ indique seulement que $M'$ est de l'autre côté de $O$.[/reponse]
[reponse motif="$-6$ cm"]Non.
Une distance est toujours positive.
Le signe négatif du rapport $k$ indique la position de l'image (de l'autre côté de $O$), mais la distance est $OM' = |k| \times OM = 3 \times 2$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
L'erreur est d'additionner $OM + |k| = 2 + 3 = 5$.
Dans une homothétie, les distances sont multipliées, pas additionnées : $OM' = |k| \times OM$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$ cm"]Non.
L'erreur est de diviser $OM$ par $|k|$ au lieu de multiplier.
La formule est $OM' = |k| \times OM$, pas $\dfrac{OM}{|k|}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$OM' = |k| \times OM = 3 \times 2 = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le rectangle $A'B'C'D'$ est l'image du rectangle $ABCD$ par une homothétie de rapport $k = 4$.

Petit rectangle bleu ABCD et grand rectangle rouge A'B'C'D' reliés par des demi-droites depuis un centre O

On sait que $A'B' = 12$ cm. Combien mesure $AB$ ?
[qcm]
[option]$48$ cm[/option]
[option]$8$ cm[/option]
[option correct="true"]$3$ cm[/option]
[option]$16$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On cherche la longueur originale. Puisque $A'B' = |k| \times AB$ :
$AB = \dfrac{A'B'}{|k|} = \dfrac{12}{4} = 3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$48$ cm"]Non.
L'erreur est de multiplier au lieu de diviser : $12 \times 4 = 48$.
$ABCD$ est la figure originale (plus petite), donc $AB = \dfrac{A'B'}{|k|}$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
L'erreur est de soustraire : $12 - 4 = 8$.
Le rapport d'une homothétie s'applique par multiplication, pas par soustraction : $AB = \dfrac{A'B'}{|k|}$.[/reponse]
[reponse motif="$16$ cm"]Non.
L'erreur est d'additionner : $12 + 4 = 16$.
Pour retrouver la longueur d'origine, on divise la longueur image par $|k|$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$AB = \dfrac{A'B'}{|k|} = \dfrac{12}{4} = 3$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cercle de rayon $9$ cm est transformé par une homothétie de rapport $k = \dfrac{1}{3}$.

Grand cercle bleu de centre O et petit cercle rouge concentrique, image par homothétie de rapport un tiers

Quel est le rayon du cercle image ?
[qcm]
[option]$27$ cm[/option]
[option]$6$ cm[/option]
[option]$1$ cm[/option]
[option correct="true"]$3$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le rayon de l'image est $|k| \times r = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$27$ cm"]Non.
L'erreur est de multiplier par l'inverse du rapport : $9 \times 3 = 27$.
Le rapport est $k = \dfrac{1}{3}$, donc on multiplie le rayon par $\dfrac{1}{3}$, ce qui revient à diviser par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm"]Non.
L'erreur est de soustraire $|k|$ du rayon : $9 - 3 = 6$.
Les longueurs sont multipliées par $|k|$, pas diminuées d'un nombre fixe.[/reponse]
[reponse motif="$1$ cm"]Non.
L'erreur est d'utiliser $k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ au lieu de $|k| = \dfrac{1}{3}$.
Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires, pas aux longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rayon image vaut $|k| \times r = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un architecte réalise une maquette d'un bâtiment à l'échelle $\dfrac{1}{50}$.

Silhouette simplifiée d'un immeuble avec une flèche indiquant la hauteur réelle de 15 mètres

La hauteur réelle du bâtiment est de $15$ m. Quelle est la hauteur de la maquette ?
[qcm]
[option]$0{,}3$ cm[/option]
[option correct="true"]$30$ cm[/option]
[option]$750$ cm[/option]
[option]$3$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La hauteur de la maquette est $15 \times \dfrac{1}{50} = \dfrac{15}{50} = 0{,}3$ m.
On convertit en centimètres : $0{,}3$ m $= 30$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$ cm"]Non.
Le calcul $15 \div 50 = 0{,}3$ est correct, mais le résultat est en mètres, pas en centimètres.
Convertir : $0{,}3$ m $= 0{,}3 \times 100 = \ldots$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$750$ cm"]Non.
L'erreur est de multiplier la hauteur par 50 au lieu de diviser.
L'échelle $\dfrac{1}{50}$ signifie que la maquette est 50 fois plus petite que la réalité.[/reponse]
[reponse motif="$3$ cm"]Non.
L'erreur vient d'une conversion incorrecte.
$15 \div 50 = 0{,}3$ m, et $0{,}3$ m $= 0{,}3 \times 100$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La hauteur de la maquette est $\dfrac{15}{50} = 0{,}3$ m $= 30$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle a un périmètre de $18$ cm. On le transforme par une homothétie de rapport $k = 2$.

Petit triangle bleu et grand triangle rouge, image par homothétie de rapport 2

Quel est le périmètre du triangle image ?
[qcm]
[option]$72$ cm[/option]
[option]$20$ cm[/option]
[option]$9$ cm[/option]
[option correct="true"]$36$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le périmètre est une somme de longueurs. Chaque longueur est multipliée par $|k| = 2$, donc le périmètre aussi :
$18 \times 2 = 36$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$72$ cm"]Non.
L'erreur est d'utiliser $k^2 = 4$ au lieu de $|k| = 2$.
Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires. Le périmètre, comme toute longueur, est multiplié par $|k|$.[/reponse]
[reponse motif="$20$ cm"]Non.
L'erreur est d'ajouter $k$ au périmètre : $18 + 2 = 20$.
Les longueurs sont multipliées par $|k|$, pas augmentées de $k$.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm"]Non.
L'erreur est de diviser le périmètre par $k$ au lieu de le multiplier : $18 \div 2 = 9$.
L'image est plus grande ($|k| = 2 > 1$), donc le périmètre augmente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le périmètre est multiplié par $|k| = 2$ : $18 \times 2 = 36$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Longueurs et aires dans les homothéties

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les longueurs et les aires dans les homothéties, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère un segment $[AB]$ avec $AB = 5$ cm. On applique l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 3$.

Affirmation : $A'B' = 15$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Les longueurs sont multipliées par $|k| = 3$.
Donc $A'B' = 3 \times 5 = 15$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans une homothétie de rapport $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $|k|$.
Ici $A'B' = |3| \times 5 = 15$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les longueurs sont multipliées par $|k| = 3$, donc $A'B' = 3 \times 5 = 15$ cm.

Segment AB de 5 cm et son image A'B' de 15 cm par homothétie de rapport 3

[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un carré $ABCD$ de côté 4 cm et son image $A'B'C'D'$ par une homothétie de rapport $k = 2$.

Affirmation : L'aire du carré image $A'B'C'D'$ est de 32 cm$^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le côté de l'image est $4 \times 2 = 8$ cm, donc l'aire est $8^2 = 64$ cm$^2$.
L'erreur serait de multiplier l'aire d'origine ($16$ cm$^2$) par $k = 2$ au lieu de $k^2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, les aires ne sont pas multipliées par $k$ mais par $k^2$.
Le côté de l'image vaut $4 \times 2 = 8$ cm, donc l'aire vaut $8^2 = 64$ cm$^2$ (et non $16 \times 2 = 32$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire est multipliée par $k^2 = 4$, pas par $k = 2$. L'aire de l'image vaut $16 \times 4 = 64$ cm$^2$.

Carré de côté 4 cm et son image de côté 8 cm par homothétie de rapport 2

[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un cercle de centre $C$ et de rayon 6 cm, et son image par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 0{,}5$.

Affirmation : Le rayon du cercle image est de 3 cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le rayon est une longueur, il est donc multiplié par $|k| = 0{,}5$.
On obtient $6 \times 0{,}5 = 3$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le rayon d'un cercle est une longueur comme les autres.
Dans une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $|k|$, donc le rayon image vaut $6 \times 0{,}5 = 3$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rayon est multiplié par $|k| = 0{,}5$, donc le rayon image vaut $6 \times 0{,}5 = 3$ cm.

Cercle de rayon 6 cm et son image de rayon 3 cm par homothétie de rapport 0.5

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si les longueurs d'une figure sont multipliées par 3 dans une homothétie, alors son aire est aussi multipliée par 3.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les longueurs sont multipliées par $|k| = 3$, mais les aires sont multipliées par $k^2 = 9$.
L'aire d'une figure dépend du produit de deux longueurs, d'où le carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre le coefficient des longueurs et celui des aires.
Les aires sont multipliées par $k^2$, pas par $k$. Ici, $k^2 = 3^2 = 9$ : l'aire est multipliée par 9.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les aires sont multipliées par $k^2 = 9$, pas par $k = 3$. L'aire dépend du produit de deux dimensions.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'image d'un segment de 8 cm par une homothétie de rapport $k = -2$ a une longueur de 16 cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les longueurs sont multipliées par $|k| = |-2| = 2$.
Donc l'image mesure $8 \times 2 = 16$ cm. Le signe négatif n'affecte que la position de l'image, pas sa taille.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est la valeur absolue $|k|$ qui intervient dans le calcul des longueurs.
$|k| = |-2| = 2$, donc la longueur de l'image est $8 \times 2 = 16$ cm. Une longueur est toujours positive.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les longueurs sont multipliées par $|k| = 2$, donc $8 \times 2 = 16$ cm. Le signe négatif ne change pas la taille.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le rapport d'une homothétie est $k = 0{,}5$, alors les aires sont divisées par 2.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les aires sont multipliées par $k^2 = (0{,}5)^2 = 0{,}25$, ce qui revient à diviser par 4.
Par exemple, une aire de 20 cm$^2$ donne une image d'aire $20 \times 0{,}25 = 5$ cm$^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le coefficient des longueurs et celui des aires.
Les longueurs sont bien divisées par 2, mais les aires sont multipliées par $k^2 = 0{,}25$, donc divisées par 4.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les aires sont multipliées par $k^2 = 0{,}25$ (divisées par 4), et non par $k = 0{,}5$ (divisées par 2).
[/solution]
[/etape]

Rapport et longueurs d’un triangle par homothétie

Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie de centre $O$.
On sait que $OA = 3$ cm, $OA' = 7{,}5$ cm, $AB = 4$ cm et le périmètre du triangle $ABC$ est 12 cm.
Les points $A$ et $A'$ sont de part et d'autre de $O$.

Déterminer le rapport $k$ de l'homothétie.
S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? Justifier.
Calculer la longueur $A'B'$.
Calculer le périmètre du triangle $A'B'C'$.

Corrigé

On calcule le rapport des distances au centre :

$k = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$

Comme $A$ et $A'$ sont de part et d'autre de $O$, le rapport est négatif : $\mathbf{k = -2{,}5}$.
On calcule $|k| = 2{,}5$. Comme $2{,}5 > 1$, il s'agit d'un agrandissement de facteur $2{,}5$.
Les longueurs sont multipliées par $|k| = 2{,}5$, donc :

$A'B' = |k| \times AB = 2{,}5 \times 4 = $ 10 cm
Le périmètre est aussi multiplié par $|k|$, car il est une somme de longueurs :

$\text{périmètre de } A'B'C' = |k| \times \text{périmètre de } ABC = 2{,}5 \times 12 = $ 30 cm

Pour réviser : Déterminer le rapport d'une homothétie

Plan d’un appartement à l’échelle

Un architecte dessine le plan d'un appartement à l'échelle $\dfrac{1}{50}$, ce qui correspond à une homothétie de rapport $k = \dfrac{1}{50}$.

Le salon mesure 5 m de long et 4 m de large. Calculer les dimensions du salon sur le plan, en centimètres.
La porte d'entrée mesure 2 m de haut. Quelle est la hauteur de la porte sur le plan, en centimètres ?
Sur le plan, un couloir mesure 1,4 cm de large. Quelle est la largeur réelle du couloir ?

Corrigé

On multiplie chaque longueur par $|k| = \dfrac{1}{50}$.

Longueur du salon sur le plan :
$5 \times \dfrac{1}{50} = \dfrac{5}{50} = 0{,}1$ m
Soit 10 cm.

Largeur du salon sur le plan :
$4 \times \dfrac{1}{50} = \dfrac{4}{50} = 0{,}08$ m
Soit 8 cm.
Hauteur de la porte sur le plan :
$2 \times \dfrac{1}{50} = \dfrac{2}{50} = 0{,}04$ m
Soit 4 cm.
Pour retrouver la longueur réelle, on divise la mesure sur le plan par $|k|$, ce qui revient à multiplier par 50 :

$1{,}4 \times 50 = 70$ cm $= $ 0{,}7 m

Le couloir mesure 70 cm de large en réalité.

Pour réviser : Calculer des longueurs dans une homothétie

Aire d’une affiche réduite par homothétie

Une imprimerie réduit une affiche publicitaire rectangulaire par une homothétie de rapport $k = 0{,}5$.
L'affiche originale mesure 120 cm de large et 80 cm de haut.

Calculer les dimensions de l'affiche réduite.
Calculer l'aire de l'affiche originale en cm².
Calculer l'aire de l'affiche réduite de deux manières différentes :
1. En utilisant les dimensions trouvées à la question 1.
2. En utilisant la propriété des homothéties sur les aires.

Corrigé

On multiplie chaque longueur par $|k| = 0{,}5$.

Largeur de l'affiche réduite :

$120 \times 0{,}5 = $ 60 cm

Hauteur de l'affiche réduite :

$80 \times 0{,}5 = $ 40 cm
L'aire de l'affiche originale vaut :

$120 \times 80 = $ $9\,600$ cm²
1. En utilisant les dimensions de l'affiche réduite :
  
  $60 \times 40 = $ $2\,400$ cm²
2. On calcule le coefficient multiplicateur des aires :
  $k^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$
  L'aire de l'affiche réduite vaut :
  
  $9\,600 \times 0{,}25 = $ $2\,400$ cm²

Pour réviser : Calculer une aire après un agrandissement ou une réduction

Agrandir un fanion par homothétie

Un club sportif souhaite agrandir un fanion triangulaire pour le suspendre dans le gymnase. Le fanion agrandi est obtenu par une homothétie de rapport $k = 3$.

Le fanion original est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm.

Calculer les longueurs des côtés de l'angle droit du fanion agrandi.
Calculer l'hypoténuse du fanion original, puis celle du fanion agrandi.
Calculer l'aire du fanion original, puis en déduire l'aire du fanion agrandi.

Corrigé

On multiplie chaque longueur par $|k| = 3$.

Premier côté :

$3 \times 3 = $ 9 cm

Deuxième côté :

$4 \times 3 = $ 12 cm
On calcule l'hypoténuse du fanion original avec le théorème de Pythagore :
$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = $ 5 cm

L'hypoténuse du fanion agrandi vaut :

$5 \times 3 = $ 15 cm
L'aire du fanion original vaut :

$\dfrac{3 \times 4}{2} = $ 6 cm²

Les aires sont multipliées par $k^2 = 3^2 = 9$, donc l'aire du fanion agrandi vaut :

$6 \times 9 = $ 54 cm²

Pour réviser : Calculer des longueurs dans une homothétie