QCM : Lieux géométriques et configurations

[enonce]
Ce QCM porte sur l'utilisation des complexes pour caractériser des lieux géométriques et des configurations : médiatrice, cercle, alignement, orthogonalité, distance et nature de triangle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes $z_{A}$ et $z_{B}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_{A}| = |z - z_{B}|$ est :
[qcm]
[option]le segment $[AB]$[/option]
[option]le cercle de centre $A$ passant par $B$[/option]
[option correct="true"]la médiatrice du segment $[AB]$[/option]
[option]la droite $(AB)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z - z_{A}|$ est la distance $MA$ et $|z - z_{B}|$ est la distance $MB$. La condition $MA = MB$ caractérise les points équidistants de $A$ et $B$, c'est-à-dire la médiatrice de $[AB]$.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[AB]$"]Non.
Les points du segment $[AB]$ ne sont en général pas équidistants des extrémités (sauf le milieu). Une condition d'égalité de distances caractérise une perpendiculaire, pas un segment.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $A$ passant par $B$"]Non.
Sur ce cercle, on a $MA = AB$, ce qui n'a rien à voir avec $MA = MB$. Une condition $MA = r$ (constant) donne un cercle, $MA = MB$ donne une médiatrice.[/reponse]
[reponse motif="la droite $(AB)$"]Non.
Sur la droite $(AB)$ (en dehors du milieu), un point n'est pas à égale distance de $A$ et $B$. La médiatrice est perpendiculaire à $(AB)$, pas confondue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Interpréter $|z - z_{A}|$ comme la distance entre $M$ (image de $z$) et $A$. Une égalité de distances $MA = MB$ définit un lieu classique de la géométrie.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2 + i| = 3$ est :
[qcm]
[option correct="true"]le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $3$[/option]
[option]le cercle de centre $\Omega(-2\,;\, 1)$ et de rayon $3$[/option]
[option]le cercle de centre $\Omega(2\,;\, 1)$ et de rayon $3$[/option]
[option]le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On réécrit $|z - 2 + i| = |z - (2 - i)|$ qui est la distance de $M$ au point $\Omega$ d'affixe $2 - i$, donc de coordonnées $(2\,;\, -1)$.
La condition $\Omega M = 3$ caractérise le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $3$.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $\Omega(-2\,;\, 1)$ et de rayon $3$"]Non.
Le centre est l'affixe $a$ telle que $|z - a| = 3$. Ici $z - 2 + i = z - (2 - i)$, donc $a = 2 - i$. Le centre $\Omega$ a pour coordonnées $(2\,;\, -1)$, pas $(-2\,;\, 1)$.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $\Omega(2\,;\, 1)$ et de rayon $3$"]Non.
Attention au signe de la partie imaginaire : $|z - 2 + i| = |z - (2 - i)|$, donc l'affixe du centre est $2 - i$, qui correspond au point $\Omega(2\,;\, -1)$ — pas $(2\,;\, 1)$.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $9$"]Non.
Le centre est correct, mais le rayon est $|3| = 3$ et non $3^{2} = 9$. La condition $|z - a| = r$ donne directement le rayon $r$, sans élévation au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Mettre la condition sous la forme $|z - a| = r$ : ici $a = 2 - i$ et $r = 3$. Le point $\Omega$ d'affixe $a$ est le centre, et $r$ est le rayon.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois points distincts $A$, $B$, $C$ d'affixes $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ sont alignés si et seulement si :
[qcm]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel[/option]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = 1$[/option]
[option]$z_{C} - z_{A} = z_{B} - z_{A}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'argument du quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ vaut $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$. L'alignement de $A$, $B$, $C$ équivaut à un angle nul ou $\pi$, c'est-à-dire un argument $0$ ou $\pi$ : le quotient est alors un nombre réel.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur"]Non.
Un quotient imaginaire pur correspond à un argument $\pm\dfrac{\pi}{2}$, donc à des vecteurs perpendiculaires : c'est la caractérisation de l'orthogonalité, pas de l'alignement.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = 1$"]Non.
Cette condition donne $z_{C} = z_{B}$, donc $B = C$. C'est un cas très particulier, beaucoup trop restrictif pour caractériser tous les alignements.[/reponse]
[reponse motif="$z_{C} - z_{A} = z_{B} - z_{A}$"]Non.
Cette égalité signifie $z_{C} = z_{B}$, donc $B = C$ : ce n'est pas la caractérisation de l'alignement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'argument du quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ donne l'angle $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$. Un angle nul ou plat se traduit par un argument $0$ ou $\pi$, c'est-à-dire un quotient réel.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$, $B$, $C$ trois points distincts. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si :
[qcm]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel[/option]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = i$[/option]
[option]$|z_{C} - z_{A}| = |z_{B} - z_{A}|$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'angle $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$ vaut un argument du quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$. Un triangle rectangle en $A$ correspond à un angle $\pm\dfrac{\pi}{2}$, soit un argument $\pm\dfrac{\pi}{2}$ : le quotient est un imaginaire pur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel"]Non.
Un quotient réel correspond à un argument $0$ ou $\pi$, donc à des vecteurs colinéaires : c'est la caractérisation de l'alignement, pas du triangle rectangle.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = i$"]Non.
La condition $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = i$ correspond bien à un triangle rectangle en $A$, mais c'est un cas très particulier (triangle rectangle isocèle en $A$ avec $AC = AB$). Pour un triangle rectangle quelconque en $A$, la condition est plus large : tout imaginaire pur convient.[/reponse]
[reponse motif="$|z_{C} - z_{A}| = |z_{B} - z_{A}|$"]Non.
Cette condition donne $AC = AB$, c'est-à-dire que le triangle est isocèle en $A$, pas rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC}) = \pm\dfrac{\pi}{2}$, ce qui correspond à un argument $\pm\dfrac{\pi}{2}$ pour le quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ — donc un imaginaire pur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $z_{A} = 1 + 2i$ et $z_{B} = -3 + i$. La distance $AB$ vaut :
[qcm]
[option]$\sqrt{13}$[/option]
[option]$\sqrt{5}$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{17}$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$AB = |z_{B} - z_{A}| = |(-3 + i) - (1 + 2i)| = |-4 - i|$.
Donc $AB = \sqrt{(-4)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{13}$"]Non.
On a additionné les affixes ($z_{A} + z_{B} = -2 + 3i$, module $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$) au lieu de soustraire. La distance $AB$ correspond au module de la différence des affixes.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{5}$"]Non.
On a oublié d'élever les coordonnées au carré : la formule $|a + ib| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ utilise les carrés, pas les valeurs absolues.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
On a additionné les valeurs absolues des coordonnées ($4 + 1 = 5$) au lieu de calculer le module. Le module est une racine carrée d'une somme de carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La distance entre deux points est le module de la différence des affixes : $AB = |z_{B} - z_{A}|$. Calculer cette différence puis appliquer la formule du module.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ non nulle tels que $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ (modulo $2\pi$) est :
[qcm]
[option]la droite passant par $O$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$[/option]
[option]le cercle de rayon $\dfrac{\pi}{4}$[/option]
[option correct="true"]la demi-droite issue de $O$ (privée de $O$) d'angle $\dfrac{\pi}{4}$[/option]
[option]l'axe des abscisses[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ signifie que $\overrightarrow{OM}$ fait un angle $\dfrac{\pi}{4}$ avec $\vec{u}$, ce qui décrit une demi-droite partant de $O$ (l'argument est défini modulo $2\pi$, pas modulo $\pi$). On exclut $O$ car le complexe nul n'a pas d'argument.[/reponse]
[reponse motif="la droite passant par $O$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$"]Non.
Une droite contiendrait aussi les points d'argument $\dfrac{\pi}{4} + \pi$ (donc $\dfrac{5\pi}{4}$), qui ne vérifient pas la condition. La demi-droite opposée correspond à un argument différent.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de rayon $\dfrac{\pi}{4}$"]Non.
$\dfrac{\pi}{4}$ est ici un angle (l'argument), pas une distance. Une condition de la forme $\arg(z) = $ constante donne un secteur angulaire, pas un cercle.[/reponse]
[reponse motif="l'axe des abscisses"]Non.
L'axe des abscisses correspond à $\arg(z) = 0$ (ou $\pi$), pas $\dfrac{\pi}{4}$. L'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est l'angle de la « première bissectrice » à partir de l'axe horizontal.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\arg(z) = \theta_{0}$ caractérise une demi-droite issue de l'origine (privée de $O$), faisant un angle $\theta_{0}$ avec $\vec{u}$. L'argument étant défini modulo $2\pi$, on n'obtient qu'une seule demi-droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2018

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}) $.

Les points A, B et C ont pour affixes respectives $ a = - 4,\: b = 2 $ et $ c = 4 $.

On considère les trois points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ d'affixes respectives $ a^{\prime}= ja $, $ b^{\prime}= jb $ et $ c^{\prime}= jc $ où $ j $ est le nombre complexe $ - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
1. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $ j $.
  
  En déduire les formes algébriques et exponentielles de $ a^{\prime} $, $ b^{\prime} $ et $ c^{\prime} $.
2. Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
  
  Placer les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sur ce graphique.
Montrer que les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sont alignés.
On note M le milieu du segment [A$ ^{\prime} $C], N le milieu du segment [C$ ^{\prime} $C] et P le milieu du segment $ [\text{C}^{\prime}\text{A}] $.

Démontrer que le triangle MNP est isocèle.

ANNEXE

À compléter et à remettre avec la copie

Plan complexe avec les points A, B, C et les cercles de centre O de rayons 2, 3 et 4

Corrigé

1. $ j= - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  $ \left| j \right| = \sqrt{\left( - \dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1 $
  $ \theta $ est un argument de $ j $ si et seulement si $ \cos \theta = - \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $. Donc $ \dfrac{2\pi}{3} $ est un argument de $ j $.
  
  La forme trigonométrique de $ j $ est :
  
  $ j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ j= \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
  
  La forme algébrique de $ a^{\prime} $ est :
  
  $ a^{\prime}=aj= - 4j=2 - 2\text{i}\sqrt{3} $.
  
  Par ailleurs :
  
  $ a^{\prime}= - 4j= - 4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
  
  Toutefois $ - 4 $ étant négatif, l'écriture ci-dessus n'est pas la forme exponentielle de $ a^{\prime} $.
  
  Pour obtenir la forme exponentielle de $ a^{\prime} $ on utilise le fait que $ - 1=\text{e}^{\text{i}\pi} $ ; par conséquent :
  
  $ a^{\prime}= - 4\left( \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right) $
  $ \phantom{a^{\prime}}=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
  $ \phantom{a^{\prime}}=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\frac{2\pi}{3}\right) } $.
  
  La forme exponentielle de $ a^{\prime} $ est donc :
  
  $ a^{\prime}=4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{3}} $.
  
  La forme algébrique de $ b^{\prime} $ est :
  
  $ b^{\prime}= bj=2j= - 1+\text{i}\sqrt{3} $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ b^{\prime}=2j=2\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
  
  Enfin, la forme algébrique de $ c^{\prime} $ est :
  
  $ c^{\prime}= cj=4j= - 2+2\text{i}\sqrt{3} $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ c^{\prime}=4j=4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
2. Voir figure ci-après.
L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ est :

$ b^{\prime} - a^{\prime}=2j - ( - 4j)=6j $.

L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ est :

$ c^{\prime} - b^{\prime}=4j - 2j=2j $.

Par conséquent $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ =3$ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $.

Les vecteurs $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ et $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ sont colinéaires donc les points $ A^{\prime} $, $ B^{\prime} $ et $ C^{\prime} $ sont alignés.
L'affixe de M est :

$ m=\dfrac{a^{\prime}+c}{2}=3 - \text{i}\sqrt{3} $

L'affixe de N est :

$ n=\dfrac{c^{\prime}+c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3} $

L'affixe de P est :

$ p=\dfrac{c^{\prime}+a}{2}= - 3+\text{i}\sqrt{3} $

Montrons que $ MN=PN $
$ MN=\left|m - n \right| = \left|2 - 2\text{i}\sqrt{3} \right| $
$ \phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4 $
$ PN=\left|n - p \right| =\left|4 \right| = 4 $

Le triangle $ MNP $ est donc isocèle en $ N $.

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2016

L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $, on considère le pentagone régulier $ A_0A_1A_2A_3A_4 $, de centre $ O $ tel que $ \overrightarrow{OA_0} = \vec{u} $.

On rappelle que dans le pentagone régulier $ A_0A_1A_2A_3A_4 $, ci-dessus :

$ A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3 $ et $ A_4 $appartiennent au cercle trigonométrique ;
$ k $ appartenant à $ \{0~;~1~;~2~;~3\} $ on a $ \left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA}_{k+1}\right) = \dfrac{2\pi}{5} $.

On considère les points $ B $ d'affixe $ - 1 $ et $ J $ d'affixe $ \dfrac{i}{2} $.

Le cercle $ (\mathscr{C}) $ de centre $ J $ et de rayon $ \dfrac{1}{2} $ coupe le segment $ [BJ] $ en un point $ K $.

Calculer $ BJ $, puis en déduire $ BK $.

Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $ A_2 $. Justifier brièvement.
Démontrer que $ B{A_2}^{2} = 2+ 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $.

Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :

1.	*cos(4pi/5)**
		$ \to \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $
2.	sqrt((3-sqrt(5))/2) $ $
		$ \to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right) $

"sqrt" signifie "racine carrée"

En déduire, grâce à ces résultats, que $ BA_2 = BK $.

Dans le repère $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $ donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

Corrigé

Rappel

Pour deux points $ A(z_A) $ et $ B(z_B) $, la longueur $ AB $ est égale à $ \left|z_B - z_A\right| $.

$ BJ = \left|z_J - z_B\right| $

$ \phantom{BJ }= \left|\dfrac{i}{2}+1\right| $

$ \phantom{BJ }= \sqrt{1+\dfrac{1}{4}} $

$ \phantom{BJ }= \sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} $

Les points $ B, K $ et $ J $ étant alignés dans cet ordre :

$ BK=BJ - KJ $

$ \phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{1}{2} $ car $ KJ $ est un rayon du cercle $ \mathscr C $

$ \phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $
1. Notons $ z_2 $ l'affixe du point $ A_2 $.
  
  Comme $ A_2 $ est situé sur le cercle trigonométrique, $ |z_2|=1 $.
  
  Un argument de $ z_2 $ est une mesure de l'angle orienté $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2}) $.
  
  D'après la relation de Chasles sur les angles orientés :
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=(\vec{u}, \overrightarrow{OA_1})+(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}) $
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{2\pi}{5} \quad [2\pi] $
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{4\pi}{5} \quad [2\pi] $
  
  La forme exponentielle de $ z_2 $ est donc $ z_2=e^{i \frac{4\pi}{5}} $
2. Par conséquent :
  
  $ z_2=\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $
  
  $ B{A_2}^2=\left|z_2 - ( - 1) \right|^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\left|1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right|^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\left(1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\right)^2+\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right)^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=1+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=2+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\quad $ car $ \cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)=1 $
3. D'après le logiciel de calcul formel (ligne 1) : $ \cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)= \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $.
  
  Donc :
  
  $ B{A_2}^2=2+2 \times \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{ - \sqrt{5} - 1}{2} $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} $
  
  et d'après le logiciel de calcul formel (ligne 2) : $ \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $.
  
  Par conséquent $ BA_2=\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}=BK $.
Dans la suite, on note $ I $ le point d'affixe $ i $. 1ère étape : Construction du milieu $ J $ de $ [OI] $.

On construit au compas la médiatrice du segment $ [OI] $. Cette droite coupe l'axe des ordonnées en $ J $.

2ème étape : Construction du point $ K $

On trace le cercle de centre $ J $ et de rayon $ [OJ] $.

Ce cercle coupe le segment $ [BJ] $ en $ K $.

3ème étape : Construction des points $ A_2 $ et $ A_3 $

On reporte la longueur $ [BK] $ de part et d'autre du point $ B $ sur le cercle trigonométrique.

On obtient alors les points $ A_2 $ et $ A_3 $ (car d'après la question précédente $ BA_2=BK $ et $ A_2 $ et $ A_3 $ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).

4ème étape : Tracé du pentagone

Le segment $ [A_2A_3] $ est un côté du pentagone. On complète la construction en reportant plusieurs fois la longueur $ A_2A_3 $ sur le cercle trigonométrique.

→ Pour réviser : Utiliser la forme exponentielle pour calculer

Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

On considère les nombres complexes $ z_n $ définis, pour tout entier naturel $ n $, par

$ z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n. $

On note $ A_n $ le point d'affixe $ z_n $ dans le repère orthonormé $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $ (voir figure en fin de sujet).

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $ A_n $.

1. Vérifier que $ 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $.
2. En déduire $ z_1 $ et $ z_2 $ sous forme exponentielle.
1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}. $
2. Pour quelles valeurs de $ n $, les points $ O,~A_0 $ et $ A_n $ sont-ils alignés ?
Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right| $.
1. Interpréter géométriquement $ d_n $.
2. Calculer $ d_0 $.
3. Montrer que pour tout entier naturel $ n $ non nul,
  
  $ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right). $
4. En déduire que la suite $ \left(d_n\right)_{n \geqslant 0} $ est géométrique puis que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n. $
1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ \left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2. $
2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, le triangle $ OA_nA_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.
3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $ A_5 $ sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.
4. Justifier cette construction.

Corrigé

1. Soit le nombre complexe $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} $. Il s'écrit $ c = r\text{e}^{\text{i}\theta} $ sous forme exponentielle, $ r $ étant son module et $ \theta $ son argument.
  On a :
  
  $ r = |c| = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \dfrac{3}{9}} = \sqrt{\dfrac{12}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $
  
  $ \cos\theta = \dfrac{1}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $
  
  On en déduit que $ \theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $.
  Alors :
  
  $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $
2. $ z_0 = 1 $ et $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n \implies z_1 = c \times z_0 = c $.
  D'où :
  
  $ z_1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $
  
  $ z_2 = c \times z_1 = c^2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\right)^2 = \dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $
1. On peut écrire $ z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^1 \text{e}^{\text{i}1\frac{\pi}{6}} $ et $ z_2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \text{e}^{\text{i}2\frac{\pi}{6}} $.
  Si la proposition $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} $ est vraie au rang $ n $, elle est aussi vraie pour $ z_{n+1} $ car :
  
  $ z_{n+1} = z_1 \times z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1} \text{e}^{\text{i}(n+1)\frac{\pi}{6}} $
  
  Par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel $ n $.
2. Les points $ O, A_0 $ et $ A_n $ sont respectivement les points d'affixe $ 0, z_0 $ et $ z_n $. Pour qu'ils soient alignés, il faut que leurs arguments soient égaux à $ k\pi $ près, avec $ k \in \mathbb{Z} $.
  Les arguments de $ O $ (non défini) et $ z_0 $ sont $ 0 $ (argument de $ 1 $).
  Il faut donc que $ \arg(z_n) = n\dfrac{\pi}{6} \equiv 0 \pmod{\pi} $, ce qui donne $ n = 6k $.
1. $ d_n = |z_{n+1} - z_n| $ est le module du complexe $ z_{n+1} - z_n $ dont l'image $ A_d $ dans le repère orthonormé est telle que $ \overrightarrow{OA_d} = \overrightarrow{OA_{n+1}} - \overrightarrow{OA_n} = \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $.
  Ceci revient à dire que $ d_n $ est égale à la norme du vecteur $ \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $, soit la distance $ A_n A_{n+1} $ :
  
  $ d_n = A_n A_{n+1} = \left\| \overrightarrow{A_n A_{n+1}} \right\| $
2. $ d_0 = |z_1 - z_0| = \left| 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right| = \left| \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $.
3. Pour tout entier $ n \geqslant 0 $ :
  
  $ z_{n+2} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1} $
  
  $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n} $
  
  Par différence, on obtient :
  
  $ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right) $
4. Le module du produit de deux complexes étant égal au produit de leurs modules, on a :
  
  $ |z_{n+2} - z_{n+1}| = \left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right| \times |z_{n+1} - z_n| $
  
  C'est-à-dire $ d_{n+1} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} d_n $.
  La suite $ (d_n)_{n \geqslant 0} $ est une suite géométrique de premier terme $ d_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ et de raison $ q = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $.
  Ainsi, pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $ d_n = d_0 q^n = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $
1. D'après la question 2.a, on a $ |z_n| = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $.
  D'où :
  
  $ |z_{n+1}|^2 = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{2(n+1)} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{n+1} = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $
  
  D'autre part :
  
  $ |z_n|^2 + d_n^2 = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \dfrac{3}{9} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $
  
  On a bien $ |z_{n+1}|^2 = |z_n|^2 + d_n^2 $.
2. D'après l'égalité précédente et le théorème de Pythagore, on a $ OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_n A_{n+1}^2 $.
  Ceci implique que le triangle $ OA_n A_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.
3. Construction : On construit le symétrique $ A'_1 $ de $ A_1 $ par rapport à l'axe des abscisses. On trace les cercles de centre $ O $ de rayon $ OA_1 $ et de centre $ A_0 $ de rayon $ A_0 A_1 $. Ces deux cercles se coupent en $ A_1 $ et $ A'_1 $. On trace la droite $ (OA'_1) $, nommée $ (D) $ (en vert).
  
  On trace ensuite la droite $ (A_1 A_2) $ et le cercle de centre $ A_1 $ de rayon $ R = OA_4 $. Ils se coupent en $ A'_4 $. On trace la droite $ (A'_4 A_4) $, nommée $ (D') $ (en rouge). Le point d'intersection de $ (D) $ et $ (D') $ est $ A_5 $.
4. Justification : L'argument de l'affixe de $ A_5 $ est $ 5\dfrac{\pi}{6} $. L'argument de l'affixe de $ A'_1 $, conjugué de l'affixe de $ A_1 $, vérifie $ \arg(z_{A'_1}) \equiv -\dfrac{\pi}{6} \equiv 11\dfrac{\pi}{6} \equiv \pi + 5\dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $. Donc $ A'_1 $ et $ A_5 $ sont alignés avec $ O $ sur la droite $ (D) $.
  
  Les arguments des affixes de $ A_1 $ et $ A_4 $ diffèrent de $ 4\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} $. Donc $ (OA_1) $ et $ (OA_4) $ sont perpendiculaires. Par ailleurs, d'après 4.b, $ (A_1 A_2) $ est perpendiculaire à $ (OA_1) $. Donc $ (A_1 A_2) $ est parallèle à $ (OA_4) $. Par construction, $ A_1 A'_4 = OA_4 $. On en déduit que $ OA_1 A'_4 A_4 $ est un rectangle et que $ (A'_4 A_4) $ est perpendiculaire à $ (OA_4) $.
  
  D'après 4.b, $ A_5 $ doit se trouver sur la droite $ (D') $ perpendiculaire à $ (OA_4) $.
  
  Donc $ A_5 $ se trouve à l'intersection de $ (D) $ et $ (D') $.

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2013

Exercice 3 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

On note $ i $ le nombre complexe tel que $ i^{2} = - 1 $.

On considère le point $ A $ d'affixe $ z_{\text{A}}=1 $ et le point $ B $ d'affixe $ z_{\text{B}}=i $.

A tout point $ M $ d'affixe $ z_{M}=x+iy $, avec $ x $ et $ y $ deux réels tels que $ y \neq 0 $, on associe le point $ M^{\prime} $ d'affixe $ z_{M^{\prime}} = - i z_{M} $.

On désigne par $ I $ le milieu du segment $ \left[AM\right] $.

Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $ M $ n'appartenant pas à $ \left(OA\right) $, la médiane $ \left(OI\right) $ du triangle $ OAM $ est aussi une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $ (propriété 1) et que $ BM^{\prime}=2OI $ (propriété 2).

Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $ z_{M}=2e^{ - i\frac{\pi}{3}} $.
1. Déterminer la forme algébrique de $ z_{M} $.
2. Montrer que $ z_{M^{\prime}} = - \sqrt{3} - i $.
  
  Déterminer le module et un argument de $ z_{M^{\prime}} $.
3. Placer les points $ A, B, M, M^{\prime} $ et $ I $ dans le repère $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $ en prenant 2 cm pour unité graphique.
  
  Tracer la droite $ \left(OI\right) $ et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
On revient au cas général en prenant $ z_{M}=x+iy $ avec $ y \neq 0 $.
1. Déterminer l'affixe du point $ I $ en fonction de $ x $ et $ y $.
2. Déterminer l'affixe du point $ M^{\prime} $ en fonction de $ x $ et $ y $.
3. Écrire les coordonnées des points $ I, B $ et $ M^{\prime} $.
4. Montrer que la droite $ \left(OI\right) $ est une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $.
5. Montrer que $ BM^{\prime}=2OI $.

Corrigé

1. $ z_{M}=2\left(\cos\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)+i\sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 - i\sqrt{3} $
2. $ z_{M^{\prime}}= - iz_{M}= - i\left(1 - i\sqrt{3}\right)= - \sqrt{3} - i $
  
  $ |z_{M^{\prime}}|=| - iz_{M}|=| - i|\times |z_{M}|=1\times 2=2 $
  
  $ \text{arg}\left(z_{M^{\prime}}\right)=\text{arg}\left( - iz_{M}\right) =\text{arg}\left( - i\right)+\text{arg}\left(z_{M}\right)=\dfrac{3\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} =\dfrac{7\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right) $
1. $ z_{I}=\dfrac{z_{A}+z_{M}}{2}=\dfrac{1+x}{2}+i \dfrac{y}{2} $
2. $ z_{M^{\prime}}= - iz_{M}= - i\left(x+iy\right)=y - ix $
3. $ I\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right) $
  
  $ B\left(0;1\right) $
  
  $ M^{\prime}\left(y ; - x\right) $
4. $ \overrightarrow{OI}\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right) $ et $ \overrightarrow{BM^{\prime}}\left(y ; - x - 1\right) $ donc
  
  $ \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BM^{\prime}}=y\times \dfrac{1+x}{2}+\left( - x - 1\right)\times \dfrac{y}{2}=0 $
  
  Les vecteurs $ \overrightarrow{OI} $ et $ \overrightarrow{BM^{\prime}} $ sont orthogonaux donc la droite $ \left(OI\right) $ est une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $.
5. $ BM^{\prime}= \sqrt{y^{2}+\left( - 1 - x\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1} $
  
  $ OI^{2}=\left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}+2x+1\right) $
  
  donc
  
  $ OI=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1}=\dfrac{1}{2}BM^{\prime} $.
  
  Donc : $ BM^{\prime}=2OI $.

→ Pour réviser : Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe

QCM : Lieux géométriques et configurations

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2018

Corrigé

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2016

Corrigé

Rappel

Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Corrigé

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2013

Exercice 3 (5 points)

Corrigé