Programmes de calcul et distributivité

On considère le programme de calcul suivant :

Programme A

Choisir un nombre.
Lui ajouter $ 4 $.
Multiplier le résultat par $ 5 $.
Soustraire $ 20 $ au résultat.

Appliquer le programme A au nombre $ 3 $, en écrivant le calcul sur une seule ligne avec des parenthèses, puis donner le résultat final.
Appliquer le programme A au nombre $ 7 $, en utilisant la même présentation.
Anaïs affirme : « Quel que soit le nombre choisi, le résultat final est toujours égal à $ 5 $ fois le nombre choisi. »
1. Vérifier cette affirmation pour les deux nombres précédents.
2. Justifier cette affirmation à l'aide de la distributivité, en notant $ x $ le nombre choisi.
On considère un second programme :
Programme B
1. Choisir un nombre.
2. Le multiplier par $ 5 $.
3. Ajouter $ 1 $ au résultat.
Pour quel nombre choisi les deux programmes donnent-ils le même résultat ? Justifier.

Corrigé

On écrit le calcul sur une seule ligne avec des parenthèses :
$ (3 + 4) \times 5 - 20 = 7 \times 5 - 20 = 35 - 20 = \mathbf{15} $
De même avec le nombre $ 7 $ :
$ (7 + 4) \times 5 - 20 = 11 \times 5 - 20 = 55 - 20 = \mathbf{35} $
1. Pour $ 3 $ : $ 5 \times 3 = 15 $, qui est bien le résultat trouvé. Pour $ 7 $ : $ 5 \times 7 = 35 $, qui est aussi le résultat trouvé. L'affirmation est vérifiée dans les deux cas.
2. En notant $ x $ le nombre choisi, le programme A donne :
  $ (x + 4) \times 5 - 20 $
  On utilise la distributivité :
  $ (x + 4) \times 5 = 5 \times x + 5 \times 4 = 5x + 20 $
  Donc le résultat final s'écrit :
  $ 5x + 20 - 20 = \mathbf{5x} $
  Le résultat est bien égal à $ 5 $ fois le nombre choisi, quel que soit ce nombre.
Pour le programme B, le résultat avec un nombre $ x $ est $ 5x + 1 $. Pour le programme A, le résultat est $ 5x $. Or, pour tout nombre $ x $ :
$ 5x + 1 \ne 5x $
Les deux programmes ne donnent jamais le même résultat : leurs résultats diffèrent toujours de $ 1 $.

→ Pour réviser : Utiliser la distributivité pour calculer mentalement

Calculs avec priorités et parenthèses

Calculer les expressions suivantes en détaillant les étapes.

$ A = 45 - 6 \times 5 + 12 \div 4 $
$ B = 3 \times (8 + 5) - 7 $
$ C = 50 - 2 \times (15 - 9) $
$ D = (20 - 4 \times 3) \times 5 $
$ E = 4 \times [10 - (3 + 2 \times 2)] $

Corrigé

La multiplication et la division sont prioritaires :
$ A = 45 - 6 \times 5 + 12 \div 4 $
$ A = 45 - 30 + 3 $
$ A = 15 + 3 $
$ A = \mathbf{18} $
On calcule d'abord la parenthèse, puis la multiplication :
$ B = 3 \times (8 + 5) - 7 $
$ B = 3 \times 13 - 7 $
$ B = 39 - 7 $
$ B = \mathbf{32} $
On calcule d'abord la parenthèse, puis la multiplication :
$ C = 50 - 2 \times (15 - 9) $
$ C = 50 - 2 \times 6 $
$ C = 50 - 12 $
$ C = \mathbf{38} $
À l'intérieur de la parenthèse, la multiplication est prioritaire :
$ D = (20 - 4 \times 3) \times 5 $
$ D = (20 - 12) \times 5 $
$ D = 8 \times 5 $
$ D = \mathbf{40} $
On commence par la parenthèse la plus intérieure, où la multiplication est prioritaire :
$ E = 4 \times [10 - (3 + 2 \times 2)] $
$ E = 4 \times [10 - (3 + 4)] $
$ E = 4 \times [10 - 7] $
$ E = 4 \times 3 $
$ E = \mathbf{12} $

→ Pour réviser : Calculer une expression avec des parenthèses

Vocabulaire et nature d’expressions

Pour chacune des expressions suivantes, indiquer sa nature (somme, différence, produit ou quotient) en repérant la dernière opération à effectuer, puis la calculer.

$ A = 8 + 3 \times 5 $
$ B = (12 - 4) \times 6 $
$ C = 9 \times 7 - 2 \times 4 $
$ D = 60 \div (8 + 4) $
$ E = 25 - 18 \div 6 $

Corrigé

La multiplication $ 3 \times 5 $ est prioritaire, la dernière opération effectuée est l'addition : $ A $ est une somme.
$ A = 8 + 3 \times 5 = 8 + 15 = \mathbf{23} $
On calcule d'abord la parenthèse, la dernière opération effectuée est la multiplication : $ B $ est un produit.
$ B = (12 - 4) \times 6 = 8 \times 6 = \mathbf{48} $
Les deux multiplications sont prioritaires, la dernière opération effectuée est la soustraction : $ C $ est une différence.
$ C = 9 \times 7 - 2 \times 4 = 63 - 8 = \mathbf{55} $
On calcule d'abord la parenthèse, la dernière opération effectuée est la division : $ D $ est un quotient.
$ D = 60 \div (8 + 4) = 60 \div 12 = \mathbf{5} $
La division $ 18 \div 6 $ est prioritaire, la dernière opération effectuée est la soustraction : $ E $ est une différence.
$ E = 25 - 18 \div 6 = 25 - 3 = \mathbf{22} $

→ Pour réviser : Calculer une expression sans parenthèses

Vrai/Faux : Pièges des priorités opératoires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les pièges fréquents des priorités opératoires, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $7 + 3 \times 5 = 50$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La multiplication est prioritaire : $7 + 3 \times 5 = 7 + 15 = 22$. Le résultat $50$ vient d'avoir effectué l'addition avant la multiplication.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique ici est de calculer de gauche à droite : $(7 + 3) \times 5 = 50$. Mais sans parenthèses, la multiplication doit être calculée avant l'addition.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La multiplication étant prioritaire, le calcul correct est $7 + 3 \times 5 = 7 + 15 = 22$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour calculer $20 - 4 + 7$, on effectue les opérations de gauche à droite : $20 - 4 = 16$, puis $16 + 7 = 23$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'expression ne contient que des additions et des soustractions : on calcule de gauche à droite. Le résultat est bien $23$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans une expression sans parenthèses ne contenant que des additions et soustractions, on calcule de gauche à droite. La méthode décrite est correcte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Quand il n'y a que des additions et des soustractions, on calcule dans l'ordre, de gauche à droite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans l'expression $36 \div 6 \times 2$, on doit faire la multiplication avant la division.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La multiplication et la division ont la même priorité. On les effectue de gauche à droite : $36 \div 6 = 6$, puis $6 \times 2 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : la multiplication n'est pas prioritaire sur la division. Ces deux opérations sont au même niveau : on les calcule de gauche à droite. Faire la multiplication d'abord donnerait $36 \div 12 = 3$, ce qui est faux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Multiplication et division ont la même priorité : on les calcule de gauche à droite. Le résultat correct est $36 \div 6 \times 2 = 6 \times 2 = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $50 - (4 + 6) \times 3 = 20$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule la parenthèse, puis la multiplication, puis la soustraction :
$50 - (4 + 6) \times 3 = 50 - 10 \times 3 = 50 - 30 = 20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : on calcule d'abord la parenthèse, puis la multiplication (prioritaire sur la soustraction), puis la soustraction. Le résultat correct est bien $20$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le calcul correct donne $50 - 10 \times 3 = 50 - 30 = 20$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2 \times [3 + (8 - 5)] = 9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On commence par la parenthèse la plus intérieure, puis le crochet, puis la multiplication :
$2 \times [3 + (8 - 5)] = 2 \times [3 + 3] = 2 \times 6 = 12$. Le résultat $9$ vient d'avoir ignoré le crochet.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : ne pas tenir compte du crochet. Il faut commencer par la parenthèse intérieure $(8 - 5) = 3$, puis le crochet $[3 + 3] = 6$, puis la multiplication par $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le calcul correct donne $2 \times [3 + 3] = 2 \times 6 = 12$, et non $9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{18 - 6}{3 + 1} = 3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur.
Numérateur : $18 - 6 = 12$. Dénominateur : $3 + 1 = 4$. Donc $\dfrac{12}{4} = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on effectue la division. Ici, $\dfrac{12}{4} = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le numérateur vaut $12$, le dénominateur vaut $4$, et $\dfrac{12}{4} = 3$.
[/solution]
[/etape]