QCM : Milieu, norme et distance

[enonce]
Ce QCM porte sur le milieu d'un segment, la norme d'un vecteur et la distance entre deux points. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A(2 ; 5)$ et $B(6 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ ?
[qcm]
[option]$(8 ; 6)$[/option]
[option correct="true"]$(4 ; 3)$[/option]
[option]$(4 ; 2)$[/option]
[option]$(3 ; 4)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{2+6}{2} ~;~ \dfrac{5+1}{2}\right) = (4 ; 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$(8 ; 6)$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées sans diviser par $2$. La formule du milieu est $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.[/reponse]
[reponse motif="$(4 ; 2)$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais pour l'ordonnée il faut calculer $\dfrac{5+1}{2} = 3$ et non $\dfrac{5-1}{2} = 2$. La formule du milieu utilise une addition.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; 4)$"]Non.
Les coordonnées sont inversées : l'abscisse et l'ordonnée ont été échangées. Vérifier l'ordre des calculs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule du milieu est $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$. Additionner les coordonnées correspondantes, puis diviser par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

D'après la figure, quelles sont les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(1 ; 2)$[/option]
[option]$(2 ; 4)$[/option]
[option]$(3 ; 1)$[/option]
[option]$(-3 ; -1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On lit $A(-2 ; 1)$ et $B(4 ; 3)$.
$M\left(\dfrac{-2+4}{2} ~;~ \dfrac{1+3}{2}\right) = (1 ; 2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2 ; 4)$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées sans diviser par $2$ : $-2+4 = 2$ et $1+3 = 4$. La formule du milieu divise chaque somme par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; 1)$"]Non.
Les coordonnées du milieu sont inversées. Vérifier l'ordre : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.[/reponse]
[reponse motif="$(-3 ; -1)$"]Non.
Les coordonnées ont été soustraites au lieu d'être additionnées. La formule du milieu utilise $\dfrac{x_A + x_B}{2}$, pas $\dfrac{x_A - x_B}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coordonnées de $A$ et $B$ sur la figure, puis appliquer la formule $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}$. Quelle est la norme $||\vec{u}||$ ?
[qcm]
[option]$17$[/option]
[option]$\sqrt{17}$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$169$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$||\vec{u}|| = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées en valeur absolue : $|5|+|-12| = 17$. La formule de la norme est $\sqrt{x^2+y^2}$, pas $|x|+|y|$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{17}$"]Non.
Les coordonnées n'ont pas été élevées au carré avant d'être additionnées. La formule est $\sqrt{x^2+y^2}$, pas $\sqrt{|x|+|y|}$.[/reponse]
[reponse motif="$169$"]Non.
C'est la valeur de $||\vec{u}||^2$, pas de $||\vec{u}||$. Il faut prendre la racine carrée : $\sqrt{169} = 13$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La norme d'un vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(1 ; -2)$ et $B(4 ; 2)$. Quelle est la distance $AB$ ?
[qcm]
[option]$\sqrt{7}$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$25$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$AB = \sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7}$"]Non.
Les différences de coordonnées n'ont pas été élevées au carré. La formule est $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$, pas $\sqrt{|x_B-x_A|+|y_B-y_A|}$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Les différences de coordonnées ont été additionnées en valeur absolue : $|3|+|4| = 7$. La formule de la distance utilise les carrés.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
C'est la valeur de $AB^2$, pas de $AB$. Il faut prendre la racine carrée : $\sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule de la distance est $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M(2 ; 1)$ est le milieu de $[AB]$ avec $A(-1 ; 3)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?
[qcm]
[option]$(3 ; -2)$[/option]
[option]$\left(\dfrac{1}{2} ; 2\right)$[/option]
[option correct="true"]$(5 ; -1)$[/option]
[option]$(-4 ; 5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$M$ est le milieu de $[AB]$ donc $x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2}$, soit $x_B = 2x_M - x_A = 2 \times 2 -(-1) = 5$.
De même $y_B = 2y_M - y_A = 2 \times 1 - 3 = -1$.
Donc $B(5 ; -1)$.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; -2)$"]Non.
Ce sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$, pas celles du point $B$. Il faut utiliser la formule $B = 2M - A$.[/reponse]
[reponse motif="$\left(\dfrac{1}{2} ; 2\right)$"]Non.
C'est le milieu de $[AM]$, pas le point $B$. Il ne faut pas réappliquer la formule du milieu, mais l'inverser : $B = 2M - A$.[/reponse]
[reponse motif="$(-4 ; 5)$"]Non.
La formule a été appliquée à l'envers : $2A - M$ au lieu de $2M - A$. Vérifier le calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $M$ est le milieu de $[AB]$, alors $x_B = 2x_M - x_A$ et $y_B = 2y_M - y_A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(0 ; 0)$, $B(3 ; 4)$ et $C(-4 ; 3)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
[qcm]
[option]isocèle en $A$[/option]
[option correct="true"]rectangle isocèle en $A$[/option]
[option]équilatéral[/option]
[option]rectangle en $B$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$AB = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ et $AC = \sqrt{(-4)^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$.
Donc $AB = AC$ : le triangle est isocèle en $A$.
$BC = \sqrt{(-4-3)^2+(3-4)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$.
$AB^2+AC^2 = 25+25 = 50 = BC^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $A$.[/reponse]
[reponse motif="isocèle en $A$"]Pas tout à fait.
Le triangle est bien isocèle en $A$ (car $AB = AC = 5$), mais il possède aussi un angle droit. Vérifier si $AB^2+AC^2 = BC^2$.[/reponse]
[reponse motif="équilatéral"]Non.
Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux. Ici $AB = AC = 5$ mais $BC = \sqrt{50} \neq 5$.[/reponse]
[reponse motif="rectangle en $B$"]Non.
Le triangle est bien rectangle, mais pas en $B$. Comparer $AB^2+AC^2$ et $BC^2$ pour identifier le sommet de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les trois longueurs $AB$, $AC$ et $BC$, comparer pour trouver les côtés égaux, puis vérifier la réciproque du théorème de Pythagore.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Nature d’un triangle par les distances

[enonce]
Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(1 ; -2)$, $B(4 ; 2)$ et $C(-3 ; 1)$.
On souhaite déterminer la nature exacte du triangle $ABC$.
[/enonce]

[etape]
Calculer la distance $AB$.
$AB =$ [[ab]]
[math id="ab" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="\sqrt{25}"]Le calcul est juste, mais $\sqrt{25}$ se simplifie.[/reponse]
[reponse motif="25"]C'est la valeur de $AB^2$, pas de $AB$. Ne pas oublier la racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="7"]On ne calcule pas la distance en additionnant les différences de coordonnées. La formule fait intervenir des carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser la formule de distance entre deux points dans un repère orthonormé.[/reponse]
[aide essai="2"]$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 16}$.[/aide]
[/math]
[solution]$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la distance $AC$.
$AC =$ [[ac]]
[math id="ac" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Oui !
$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="\sqrt{25}"]Simplifier : $\sqrt{25}$ est un nombre entier.[/reponse]
[reponse motif="25"]C'est $AC^2$. Prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Appliquer la même formule que pour $AB$, avec les coordonnées de $A$ et $C$.[/reponse]
[aide essai="2"]$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{16 + 9}$.[/aide]
[/math]
[solution]$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $AB = AC = 5$. Que peut-on en déduire sur le triangle $ABC$ ?
[select id="iso"]
[option]Le triangle $ABC$ est équilatéral[/option]
[option]Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$[/option]
[option correct="true"]Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux côtés issus du sommet $A$ ont la même longueur ($AB = AC = 5$), donc le triangle est isocèle en $A$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle $ABC$ est équilatéral"]Pour être équilatéral, il faudrait aussi que $BC = 5$. On ne l'a pas encore vérifié.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$"]L'égalité de deux côtés ne donne aucune information sur les angles. Il faut vérifier le théorème de Pythagore pour conclure sur un angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer les longueurs $AB$ et $AC$ et identifier le type de triangle ayant deux côtés égaux.[/reponse]
[/select]
[aide essai="2"]$AB = AC$ signifie que le point $A$ est à égale distance de $B$ et de $C$.[/aide]
[aide essai="3"]Un triangle ayant deux côtés de même longueur est dit isocèle au sommet commun à ces deux côtés.[/aide]
[/etape]

[etape]
Calculer la distance $BC$.
$BC =$ [[bc]]
[math id="bc" attendu="5\sqrt{2}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$BC = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse motif="\sqrt{50}"]Le calcul est correct. Simplifier $\sqrt{50}$ en extrayant le carré parfait.[/reponse]
[reponse motif="50"]C'est $BC^2$. Prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="5"]Vérifier le calcul sous la racine : les différences de coordonnées ne sont pas $3$ et $4$ cette fois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode que pour les distances précédentes, avec les coordonnées de $B$ et $C$.[/reponse]
[aide essai="2"]$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$BC = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{49 + 1}$. Simplifier $\sqrt{50}$.[/aide]
[/math]
[solution]$BC = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $AB = AC = 5$ et $BC = 5\sqrt{2}$. Vérifier si le théorème de Pythagore est satisfait et en déduire la nature exacte du triangle $ABC$.
[qcm]
[option correct="true"]Le triangle est rectangle isocèle en $A$[/option]
[option]Le triangle est isocèle en $A$, mais pas rectangle[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $B$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$AB^2 + AC^2 = 25 + 25 = 50$ et $BC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$.
On a $AB^2 + AC^2 = BC^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Comme de plus $AB = AC$, le triangle est rectangle isocèle en $A$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est isocèle en $A$, mais pas rectangle"]Calculer $AB^2 + AC^2$ et comparer avec $BC^2$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $B$"]Le plus grand côté est $[BC]$ (car $5\sqrt{2} > 5$). L'angle droit éventuel se trouve au sommet opposé à ce plus grand côté.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Milieu et distance avec coordonnées

[enonce]
On considère les points $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$, $C(-2\,;\,3)$ et $D(6\,;\,1)$ placés dans le repère orthonormé ci-dessous.

Repère orthonormé avec les points A, B, C, D

Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $(2{,}5\,;\,4)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le milieu a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = (2{,}5\,;\,4)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule du milieu donne les demi-sommes des coordonnées : $\left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = (2{,}5\,;\,4)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le milieu de $[AB]$ est $\left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = (2{,}5\,;\,4)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le milieu de $[CD]$ a pour coordonnées $(4\,;\,2)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le milieu de $[CD]$ est $\left(\dfrac{-2+6}{2}\,;\,\dfrac{3+1}{2}\right) = (2\,;\,2)$, et non $(4\,;\,2)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : la formule du milieu utilise la somme des coordonnées, pas la différence. Il faut calculer $\dfrac{-2+6}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$, et non $\dfrac{6-(-2)}{2} = 4$.
Le milieu est $(2\,;\,2)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le milieu de $[CD]$ est $\left(\dfrac{-2+6}{2}\,;\,\dfrac{3+1}{2}\right) = (2\,;\,2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $AB = 5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule de la distance donne $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $CD = 2\sqrt{5}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$CD = \sqrt{(6-(-2))^2+(1-3)^2} = \sqrt{8^2+(-2)^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$, et non $2\sqrt{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de calculer $6-2 = 4$ au lieu de $6 - (-2) = 8$ pour l'abscisse. Avec la bonne valeur :
$CD = \sqrt{(6-(-2))^2+(1-3)^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $CD = \sqrt{8^2+(-2)^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$, et non $2\sqrt{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $I$ est le milieu de $[AC]$, alors $I$ a pour coordonnées $(1{,}5\,;\,2{,}5)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le milieu de $[AC]$ est $\left(\dfrac{1+(-2)}{2}\,;\,\dfrac{2+3}{2}\right) = (-0{,}5\,;\,2{,}5)$, et non $(1{,}5\,;\,2{,}5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : il faut calculer $\dfrac{1+(-2)}{2} = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5$ et non $\dfrac{1-(-2)}{2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$. La formule du milieu utilise la somme $x_A + x_C$, pas la différence.
Le milieu est $(-0{,}5\,;\,2{,}5)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le milieu de $[AC]$ est $\left(\dfrac{1+(-2)}{2}\,;\,\dfrac{2+3}{2}\right) = (-0{,}5\,;\,2{,}5)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{10}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2-1 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, donc $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$. La norme est $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. Le carré d'un nombre négatif est positif : $(-3)^2 = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{10}$.
[/solution]
[/etape]

Losange et diagonales

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(1~;~-1) $, $ B(4~;~3) $, $ C(1~;~7) $ et $ D(-2~;~3) $.

Calculer les longueurs $ AB $, $ BC $, $ CD $ et $ DA $.
Quelle est la nature du quadrilatère $ ABCD $ ?
Calculer les coordonnées des milieux $ I $ de $ [AC] $ et $ J $ de $ [BD] $. Que constate-t-on ?
Calculer l'aire du losange $ ABCD $.
Le quadrilatère $ ABCD $ est-il un carré ? Justifier.

Corrigé

On calcule chaque longueur :

$ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ BC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ CD = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ DA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
Les quatre côtés sont de même longueur : $ AB = BC = CD = DA = 5 $.

Le quadrilatère $ ABCD $ est un losange.
Les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $ sont :

$ I\left(\dfrac{1 + 1}{2}~;~\dfrac{-1 + 7}{2}\right) = I(1~;~3) $

Les coordonnées du milieu $ J $ de $ [BD] $ sont :

$ J\left(\dfrac{4 + (-2)}{2}~;~\dfrac{3 + 3}{2}\right) = J(1~;~3) $

Les points $ I $ et $ J $ sont confondus : les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu $ I(1~;~3) $.
Ce résultat est cohérent : un losange est un parallélogramme, et les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu.
Calculons les longueurs des diagonales :

$ AC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 64} = 8 $
$ BD = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{36 + 0} = 6 $

L'aire d'un losange est donnée par la formule :

$ \mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} $

où $ d_1 $ et $ d_2 $ sont les longueurs des diagonales.

$ \mathcal{A} = \dfrac{AC \times BD}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24 $

L'aire du losange $ ABCD $ est $ 24 $ unités d'aire.
Un carré est un losange dont les diagonales sont de même longueur.

Or $ AC = 8 \neq 6 = BD $ : les diagonales n'ont pas la même longueur.

Donc $ ABCD $ n'est pas un carré.

Distance et nature d’un triangle

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(0~;~4) $, $ B(3~;~0) $ et $ C(-1~;~-3) $.

Calculer les longueurs $ AB $, $ BC $ et $ AC $.
Montrer que le triangle $ ABC $ est isocèle. Préciser en quel sommet.
Montrer que le triangle $ ABC $ est rectangle. Préciser en quel sommet.
Calculer les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $. Calculer la distance $ IB $ et comparer avec $ IA $.

Corrigé

On utilise la formule de distance : $ MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} $.

$ AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ BC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $

$ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $
On a $ AB = BC = 5 $.

Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ B $.
On compare $ AB^2 + BC^2 $ et $ AC^2 $ :

$ AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 $
$ AC^2 = (\sqrt{50})^2 = 50 $

On a $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.

Le triangle $ ABC $ est donc rectangle isocèle en $ B $.
Les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $ sont :

$ I\left(\dfrac{0 + (-1)}{2}~;~\dfrac{4 + (-3)}{2}\right) = I\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) $

Calculons la distance $ IB $ :

$ IB = \sqrt{\left(3 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(0 - \dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{49}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} $

Calculons $ IA $ :

$ IA = \sqrt{\left(0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(4 - \dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{49}{4}} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} $

On a $\mathbf{IB = IA = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{AC}{2}}$.

Le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle.

→ Pour réviser : Calculer une distance entre deux points

Coordonnées et parallélogramme

Soient $ A\left(1 ; 1\right), B\left(5 ; - 1\right) $ et $ C\left(2 ; 3\right) $.

Déterminer les coordonnées du point $ D $ tel que $ ABCD $ soit un parallélogramme.
Déterminer les coordonnées du point $ E $ tel que $ ABEC $ soit un parallélogramme.
Montrer alors qu'$ ABEC $ est un rectangle.

Corrigé

On sait que $ A(1 ; 1) $, $ B(5 ; -1) $ et $ C(2 ; 3) $.

Soit $ D(x_D ; y_D) $ le point tel que $ ABCD $ soit un parallélogramme.
Si $ ABCD $ est un parallélogramme, alors $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $. On a :

$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} $

et

$ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 2 - x_D \\ 3 - y_D \end{pmatrix} $

L'égalité des vecteurs donne :

$ \begin{cases} 4 = 2 - x_D \\ -2 = 3 - y_D \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = 2 - 4 = -2 \\ y_D = 3 + 2 = 5 \end{cases} $

Le point $ D $ a pour coordonnées $ (-2 ; 5) $.

Vérifions avec l'égalité $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $ :

$ \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 2 - 5 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} $

L'égalité est bien vérifiée.
Soit $ E(x_E ; y_E) $ le point tel que $ ABEC $ soit un parallélogramme.
Dans ce cas, $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE} $. On a $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} $ et :

$ \overrightarrow{CE} \begin{pmatrix} x_E - 2 \\ y_E - 3 \end{pmatrix} $

L'égalité des vecteurs donne :

$ \begin{cases} x_E - 2 = 4 \\ y_E - 3 = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x_E = 6 \\ y_E = 1 \end{cases} $

Le point $ E $ a pour coordonnées $ (6 ; 1) $.

Vérifions avec l'égalité $ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC} $ :

$ \overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 6 - 5 \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $

L'égalité est bien vérifiée.
Pour prouver que le parallélogramme $ ABEC $ est un rectangle, nous pouvons montrer qu'il possède un angle droit en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle $ ABE $.

Calculons les longueurs des côtés :

$ AB = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
$ BE = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $

Le vecteur $ \overrightarrow{AE} $ a pour coordonnées :

$ \overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E - x_A \\ y_E - y_A \end{pmatrix} = \overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} 6 - 1 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} $

$ AE = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5 $

On compare $ AE^2 $ et $ AB^2 + BE^2 $ :

$ AE^2 = 5^2 = 25 $
$ AB^2 + BE^2 = (\sqrt{20})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 $

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABE $ est rectangle en $ B $.
L'angle $ \widehat{ABE} $ est donc un angle droit.
Un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle, donc $ ABEC $ est un rectangle.

Pour réviser : Calculer les coordonnées d'un vecteur.