[enonce]
Ce QCM porte sur les opérations sur les coordonnées de vecteurs. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$. Quelles sont les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On additionne les coordonnées : $\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix} 2+4 \\ 3+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais pour l'ordonnée il faut calculer $3+(-1) = 2$ et non $3+1 = 4$. Attention au signe négatif de $\vec{v}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\vec{u}-\vec{v}$. Vérifier que les coordonnées sont bien additionnées et non soustraites.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\vec{u}$ seul. Il faut y ajouter les coordonnées de $\vec{v}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées : abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Quelles sont les coordonnées de $3\vec{u}$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 \\ -9 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On multiplie chaque coordonnée par $3$ : $3\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$"]Non.
Seule l'abscisse a été multipliée par $3$. Le produit par un réel s'applique aux deux coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 \\ -9 \end{pmatrix}$"]Non.
Seule l'ordonnée a été multipliée par $3$. Le produit par un réel s'applique aux deux coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$"]Non.
Les valeurs absolues sont correctes, mais le signe de l'ordonnée est faux. Recalculer : $3 \times (-3) = -9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $k\vec{u}$, on multiplie chaque coordonnée par $k$ : $k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

D'après la figure, quelles sont les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On lit sur la figure $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix} 3+(-1) \\ 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\vec{u}-\vec{v}$. Vérifier que les coordonnées de $\vec{v}$ sont bien ajoutées et non soustraites.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\vec{v}-\vec{u}$. Vérifier le sens de l'opération.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais pour l'ordonnée il faut additionner $1+2 = 3$ et non soustraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sur la figure, puis additionner : abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. Quelles sont les coordonnées de $2\vec{u}-3\vec{v}$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} -4 \\ 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$2\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $3\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$.
$2\vec{u}-3\vec{v} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 6-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $2\vec{u}+3\vec{v}$. Il faut soustraire $3\vec{v}$, pas l'ajouter.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais pour l'ordonnée il faut calculer $6-(-3) = 6+3 = 9$ et non $6+(-3) = 3$. Attention au double signe négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix}$"]Non.
Les valeurs absolues sont correctes, mais les signes sont inversés. Vérifier : $2-6 = -4$ et $6-(-3) = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $2\vec{u}$ et $3\vec{v}$ séparément, puis soustraire leurs coordonnées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Quelles sont les coordonnées de $\vec{u}+2\vec{v}$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 \\ -8 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$2\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$.
$\vec{u}+2\vec{v} = \begin{pmatrix} 4+(-2) \\ -2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\vec{u}-2\vec{v}$. Le vecteur $2\vec{v}$ doit être ajouté, pas soustrait.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$. Il faut multiplier $\vec{v}$ par $2$ avant d'additionner.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 \\ -8 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais pour l'ordonnée il faut calculer $-2+6 = 4$. Vérifier le signe de $2 \times 3 = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $2\vec{v}$ en multipliant chaque coordonnée de $\vec{v}$ par $2$, puis additionner avec $\vec{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(1 ; 2)$, $B(5 ; 4)$, $C(0 ; 3)$ et $D(3 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 4+3 \\ 2+(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$. Vérifier que les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont bien ajoutées.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais l'ordonnée de $\overrightarrow{CD}$ vaut $y_D - y_C = 1-3 = -2$ et non $+2$. Attention à l'ordre de la soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ seul. Il faut y ajouter les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord les coordonnées de chaque vecteur séparément ($B-A$ et $D-C$), puis additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les coordonnées d'un vecteur dans un repère. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ représenté ci-dessus ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Le vecteur $\vec{u}$ se déplace de $3$ unités vers la droite et de $2$ unités vers le haut. Ses coordonnées sont $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coordonnées sont inversées. L'abscisse (déplacement horizontal) est en première position et l'ordonnée (déplacement vertical) en seconde.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées de l'extrémité du vecteur, pas celles du vecteur lui-même. Il faut calculer la différence « arrivée moins départ ».[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$"]Non.
Les signes sont inversés : ce sont les coordonnées du vecteur opposé $-\vec{u}$. Vérifier le sens de parcours sur la figure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour lire les coordonnées d'un vecteur, compter le déplacement horizontal (abscisse) et le déplacement vertical (ordonnée) dans le sens de la flèche.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(3 ; -1)$ et $B(7 ; 2)$. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul a été fait dans le mauvais sens : $A - B$ au lieu de $B - A$. Pour $\overrightarrow{AB}$, on fait « arrivée moins départ », soit $B - A$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées au lieu d'être soustraites. La formule est $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$, pas une somme.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse et l'ordonnée sont inversées. Vérifier quel calcul correspond à la première ligne et lequel à la seconde.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule est $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$. Calculer chaque coordonnée : « arrivée moins départ ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

D'après la figure, quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On lit $A(1 ; 3)$ et $B(4 ; 1)$ sur la figure.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul a été fait dans le sens $A - B$ au lieu de $B - A$. Ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$, pas de $\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Ce sont les coordonnées du point $B$, pas du vecteur $\overrightarrow{AB}$. Il faut soustraire les coordonnées de $A$ à celles de $B$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais l'ordonnée doit être négative : le vecteur descend de $3$ à $1$, soit $1-3=-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coordonnées de $A$ et $B$ sur la figure, puis calculer $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(-2 ; 5)$ et $B(1 ; -3)$. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-(-2) \\ -3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix}$.
Attention aux signes : $1-(-2)=1+2=3$ et $-3-5=-8$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul a été fait dans le sens $A - B$ au lieu de $B - A$. Pour $\overrightarrow{AB}$, c'est toujours « arrivée moins départ ».[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées au lieu d'être soustraites. La formule utilise la différence $B - A$, pas la somme.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais l'ordonnée a un mauvais signe. Recalculer : $y_B - y_A = -3 - 5 = -8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ en faisant attention aux signes des coordonnées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $C(0 ; 4)$ et $D(-3 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{DC}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $\overrightarrow{DC}$, l'arrivée est $C$ et le départ est $D$.
$\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-(-3) \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul a été fait dans le sens $D - C$ au lieu de $C - D$. Pour $\overrightarrow{DC}$, le point d'arrivée est $C$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
L'ordonnée est correcte, mais l'abscisse a été calculée dans le mauvais sens. Vérifier : $x_C - x_D = 0-(-3) = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais l'ordonnée a été calculée dans le mauvais sens. Vérifier : $y_C - y_D = 4-1 = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $\overrightarrow{DC}$, le départ est $D$ et l'arrivée est $C$. La formule donne $\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $A(3 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées du point $B$ ?
[qcm]
[option]$B(5 ; -3)$[/option]
[option]$B(-2 ; 4)$[/option]
[option correct="true"]$B(1 ; 5)$[/option]
[option]$B(1 ; -3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$, on a $x_B = x_A + (-2) = 3-2 = 1$ et $y_B = y_A + 4 = 1+4 = 5$.
Donc $B(1 ; 5)$.[/reponse]
[reponse motif="$B(5 ; -3)$"]Non.
Les coordonnées du vecteur ont été soustraites au lieu d'être ajoutées. On calcule $B = A + \overrightarrow{AB}$, pas $A - \overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$B(-2 ; 4)$"]Non.
Ce sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, pas celles du point $B$. Il faut ajouter ces coordonnées à celles de $A$.[/reponse]
[reponse motif="$B(1 ; -3)$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais pour l'ordonnée il faut calculer $1+4 = 5$ et non $1-4 = -3$. Le vecteur s'ajoute au point $A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, alors $B(x_A + a ~;~ y_A + b)$. Ajouter les coordonnées du vecteur à celles du point $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a représenté les vecteurs $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On additionne les coordonnées : $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} 2+(-1) \\ -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour additionner deux vecteurs, on additionne les coordonnées correspondantes : $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} 2+(-1) \\ -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} 2+(-1) \\ -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $3\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$3\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$, et non $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au signe : on multiplie chaque coordonnée par $3$, y compris l'ordonnée négative.
$3\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $3\vec{u} \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$ et non $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $2\vec{u} - \vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$2\vec{u} - \vec{v} \begin{pmatrix} 2 \times 2 - (-1) \\ 2 \times (-1) - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+1 \\ -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$2\vec{u} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, donc $2\vec{u} - \vec{v} \begin{pmatrix} 4-(-1) \\ -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $2\vec{u} - \vec{v} \begin{pmatrix} 4-(-1) \\ -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $\vec{u} - 2\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ -7 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\vec{u} - 2\vec{v} \begin{pmatrix} 2 - 2 \times (-1) \\ -1 - 2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ -1-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$, et non $\begin{pmatrix} 0 \\ -7 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $2 - (-1)$ et $2 - 1$. Soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé : $2 - 2 \times (-1) = 2 + 2 = 4$.
$\vec{u} - 2\vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\vec{u} - 2\vec{v} \begin{pmatrix} 2-2 \times (-1) \\ -1-2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\vec{u} + k\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$, alors $k = 2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\vec{u} + k\vec{v} \begin{pmatrix} 2-k \\ -1+3k \end{pmatrix}$. L'abscisse donne $2 - k = 0$, soit $k = 2$. On vérifie avec l'ordonnée : $-1 + 3 \times 2 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\vec{u} + k\vec{v} \begin{pmatrix} 2 + k \times (-1) \\ -1 + k \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-k \\ -1+3k \end{pmatrix}$. La première coordonnée donne $2-k = 0$, donc $k = 2$. Vérification : $-1 + 6 = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En résolvant $2 - k = 0$, on trouve $k = 2$, et on vérifie : $-1 + 3 \times 2 = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les vecteurs $\vec{u}$ et $-2\vec{v}$ sont égaux.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$-2\vec{v} \begin{pmatrix} -2 \times (-1) \\ -2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$. Or $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ : les abscisses sont identiques, mais les ordonnées diffèrent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le fait que les abscisses soient égales ($2 = 2$) ne suffit pas. Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut que toutes leurs coordonnées coïncident.
$\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $-2\vec{v} \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ : les ordonnées $-1 \neq -6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $-2\vec{v} \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ ont des ordonnées différentes.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
On considère les points $A(1\,;\,3)$, $B(4\,;\,1)$, $C(-2\,;\,2)$, $D(3\,;\,-1)$ et $E(0\,;\,4)$ placés dans le repère orthonormé ci-dessous.

Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la formule « arrivée moins départ » : $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, on fait « arrivée moins départ » : $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $\overrightarrow{CA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, et non $\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens du vecteur : pour $\overrightarrow{CA}$, le point de départ est $C$ et le point d'arrivée est $A$.
$\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} x_A - x_C \\ y_A - y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $\overrightarrow{BD}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\overrightarrow{BD} \begin{pmatrix} 3-4 \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$, et non $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de calculer les coordonnées de $\overrightarrow{DB}$ au lieu de $\overrightarrow{BD}$. Le point de départ est $B$, le point d'arrivée est $D$.
$\overrightarrow{BD} \begin{pmatrix} 3-4 \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\overrightarrow{BD} \begin{pmatrix} 3-4 \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $\overrightarrow{DE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} 0-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$. Attention à bien calculer $4 - (-1) = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} x_E - x_D \\ y_E - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$. Le calcul $4 - (-1) = 4 + 1 = 5$ est correct.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} 0-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 3-(-2) \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$. Les coordonnées sont différentes, donc les vecteurs ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « même direction » et « même vecteur ». Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ : les coordonnées diffèrent.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ n'ont pas les mêmes coordonnées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur $\overrightarrow{EC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\overrightarrow{EC} \begin{pmatrix} -2-0 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le point de départ est $E(0\,;\,4)$ et le point d'arrivée est $C(-2\,;\,2)$.
$\overrightarrow{EC} \begin{pmatrix} -2-0 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\overrightarrow{EC} \begin{pmatrix} -2-0 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]