QCM : Milieu, norme et distance

[enonce]
Ce QCM porte sur le milieu d'un segment, la norme d'un vecteur et la distance entre deux points. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A(2 ; 5)$ et $B(6 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ ?
[qcm]
[option]$(8 ; 6)$[/option]
[option correct="true"]$(4 ; 3)$[/option]
[option]$(4 ; 2)$[/option]
[option]$(3 ; 4)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{2+6}{2} ~;~ \dfrac{5+1}{2}\right) = (4 ; 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$(8 ; 6)$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées sans diviser par $2$. La formule du milieu est $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.[/reponse]
[reponse motif="$(4 ; 2)$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais pour l'ordonnée il faut calculer $\dfrac{5+1}{2} = 3$ et non $\dfrac{5-1}{2} = 2$. La formule du milieu utilise une addition.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; 4)$"]Non.
Les coordonnées sont inversées : l'abscisse et l'ordonnée ont été échangées. Vérifier l'ordre des calculs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule du milieu est $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$. Additionner les coordonnées correspondantes, puis diviser par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

D'après la figure, quelles sont les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(1 ; 2)$[/option]
[option]$(2 ; 4)$[/option]
[option]$(3 ; 1)$[/option]
[option]$(-3 ; -1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On lit $A(-2 ; 1)$ et $B(4 ; 3)$.
$M\left(\dfrac{-2+4}{2} ~;~ \dfrac{1+3}{2}\right) = (1 ; 2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2 ; 4)$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées sans diviser par $2$ : $-2+4 = 2$ et $1+3 = 4$. La formule du milieu divise chaque somme par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; 1)$"]Non.
Les coordonnées du milieu sont inversées. Vérifier l'ordre : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.[/reponse]
[reponse motif="$(-3 ; -1)$"]Non.
Les coordonnées ont été soustraites au lieu d'être additionnées. La formule du milieu utilise $\dfrac{x_A + x_B}{2}$, pas $\dfrac{x_A - x_B}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coordonnées de $A$ et $B$ sur la figure, puis appliquer la formule $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}$. Quelle est la norme $||\vec{u}||$ ?
[qcm]
[option]$17$[/option]
[option]$\sqrt{17}$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$169$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$||\vec{u}|| = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées en valeur absolue : $|5|+|-12| = 17$. La formule de la norme est $\sqrt{x^2+y^2}$, pas $|x|+|y|$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{17}$"]Non.
Les coordonnées n'ont pas été élevées au carré avant d'être additionnées. La formule est $\sqrt{x^2+y^2}$, pas $\sqrt{|x|+|y|}$.[/reponse]
[reponse motif="$169$"]Non.
C'est la valeur de $||\vec{u}||^2$, pas de $||\vec{u}||$. Il faut prendre la racine carrée : $\sqrt{169} = 13$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La norme d'un vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(1 ; -2)$ et $B(4 ; 2)$. Quelle est la distance $AB$ ?
[qcm]
[option]$\sqrt{7}$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$25$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$AB = \sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7}$"]Non.
Les différences de coordonnées n'ont pas été élevées au carré. La formule est $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$, pas $\sqrt{|x_B-x_A|+|y_B-y_A|}$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Les différences de coordonnées ont été additionnées en valeur absolue : $|3|+|4| = 7$. La formule de la distance utilise les carrés.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
C'est la valeur de $AB^2$, pas de $AB$. Il faut prendre la racine carrée : $\sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule de la distance est $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M(2 ; 1)$ est le milieu de $[AB]$ avec $A(-1 ; 3)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?
[qcm]
[option]$(3 ; -2)$[/option]
[option]$\left(\dfrac{1}{2} ; 2\right)$[/option]
[option correct="true"]$(5 ; -1)$[/option]
[option]$(-4 ; 5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$M$ est le milieu de $[AB]$ donc $x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2}$, soit $x_B = 2x_M - x_A = 2 \times 2 -(-1) = 5$.
De même $y_B = 2y_M - y_A = 2 \times 1 - 3 = -1$.
Donc $B(5 ; -1)$.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; -2)$"]Non.
Ce sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$, pas celles du point $B$. Il faut utiliser la formule $B = 2M - A$.[/reponse]
[reponse motif="$\left(\dfrac{1}{2} ; 2\right)$"]Non.
C'est le milieu de $[AM]$, pas le point $B$. Il ne faut pas réappliquer la formule du milieu, mais l'inverser : $B = 2M - A$.[/reponse]
[reponse motif="$(-4 ; 5)$"]Non.
La formule a été appliquée à l'envers : $2A - M$ au lieu de $2M - A$. Vérifier le calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $M$ est le milieu de $[AB]$, alors $x_B = 2x_M - x_A$ et $y_B = 2y_M - y_A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(0 ; 0)$, $B(3 ; 4)$ et $C(-4 ; 3)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
[qcm]
[option]isocèle en $A$[/option]
[option correct="true"]rectangle isocèle en $A$[/option]
[option]équilatéral[/option]
[option]rectangle en $B$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$AB = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ et $AC = \sqrt{(-4)^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$.
Donc $AB = AC$ : le triangle est isocèle en $A$.
$BC = \sqrt{(-4-3)^2+(3-4)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$.
$AB^2+AC^2 = 25+25 = 50 = BC^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $A$.[/reponse]
[reponse motif="isocèle en $A$"]Pas tout à fait.
Le triangle est bien isocèle en $A$ (car $AB = AC = 5$), mais il possède aussi un angle droit. Vérifier si $AB^2+AC^2 = BC^2$.[/reponse]
[reponse motif="équilatéral"]Non.
Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux. Ici $AB = AC = 5$ mais $BC = \sqrt{50} \neq 5$.[/reponse]
[reponse motif="rectangle en $B$"]Non.
Le triangle est bien rectangle, mais pas en $B$. Comparer $AB^2+AC^2$ et $BC^2$ pour identifier le sommet de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les trois longueurs $AB$, $AC$ et $BC$, comparer pour trouver les côtés égaux, puis vérifier la réciproque du théorème de Pythagore.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Compléter un parallélogramme par les coordonnées

[enonce]
Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(0 ; 2)$, $B(6 ; 0)$ et $C(8 ; 4)$.
On cherche à déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
[/enonce]

[etape]
Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, quelle condition vectorielle doit être vérifiée ?
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : les côtés opposés sont représentés par le même vecteur.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$"]Attention au sens : $\overrightarrow{CD}$ va de $C$ vers $D$, mais le côté opposé à $[AB]$ va de $D$ vers $C$. La condition porte sur $\overrightarrow{DC}$, pas $\overrightarrow{CD}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$"]Les segments $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales, pas les côtés opposés du quadrilatère.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
L'abscisse est $x_{\overrightarrow{AB}} =$ [[xab]] et l'ordonnée est $y_{\overrightarrow{AB}} =$ [[yab]].
[math id="xab" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]Oui ![/reponse]
[reponse motif="-6"]Le vecteur va de $A$ vers $B$ : on calcule $x_B - x_A$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Appliquer la formule $x_B - x_A$ avec les abscisses de $A$ et $B$.[/reponse]
[aide essai="2"]$x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A$.[/aide]
[aide essai="3"]$x_{\overrightarrow{AB}} = 6 - 0$.[/aide]
[/math]
[math id="yab" attendu="-2"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Le signe est incorrect : $y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A = 0 - 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Appliquer la formule $y_B - y_A$ avec les ordonnées de $A$ et $B$.[/reponse]
[aide essai="2"]$y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A$.[/aide]
[aide essai="3"]$y_{\overrightarrow{AB}} = 0 - 2$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 0 \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire les coordonnées du point $D$.
$x_D =$ [[xd]] et $y_D =$ [[yd]].
[math id="xd" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]C'est ça ![/reponse]
[reponse motif="14"]On n'additionne pas $x_C$ et $x_{\overrightarrow{AB}}$. Le vecteur $\overrightarrow{DC}$ part de $D$ et arrive en $C$, donc $x_C - x_D = 6$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Ce n'est pas $x_C$. La condition $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ impose une relation entre les coordonnées de $D$ et celles de $C$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écrire que $\overrightarrow{DC}$ a les mêmes coordonnées que $\overrightarrow{AB}$, puis isoler $x_D$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ signifie $x_C - x_D = 6$.[/aide]
[aide essai="3"]$x_D = x_C - 6 = 8 - 6$.[/aide]
[/math]
[math id="yd" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le point $D$ a pour coordonnées $(2 ; 6)$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention au signe : $y_C - y_D = -2$, donc $y_D = y_C - (-2) = y_C + 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écrire que $y_C - y_D = y_{\overrightarrow{AB}}$, puis isoler $y_D$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ signifie $y_C - y_D = -2$.[/aide]
[aide essai="3"]$y_D = y_C - (-2) = 4 + 2$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ donne $\begin{cases} x_C - x_D = 6 \\ y_C - y_D = -2 \end{cases}$, soit $\begin{cases} x_D = 8 - 6 = 2 \\ y_D = 4 + 2 = 6 \end{cases}$.
Donc $D(2 ; 6)$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer les coordonnées du milieu de la diagonale $[AC]$.
$x_I =$ [[xi]] et $y_I =$ [[yi]].
[math id="xi" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Oui ![/reponse]
[reponse motif="8"]On calcule la moyenne des abscisses, pas leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses des deux extrémités.[/reponse]
[aide essai="2"]$x_I = \dfrac{x_A + x_C}{2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$x_I = \dfrac{0 + 8}{2}$.[/aide]
[/math]
[math id="yi" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le milieu de $[AC]$ est $(4 ; 3)$. Le milieu de $[BD]$ est $\left(\dfrac{6 + 2}{2} ; \dfrac{0 + 6}{2}\right) = (4 ; 3)$.
Les diagonales se coupent en leur milieu : $ABCD$ est bien un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="6"]On calcule la moyenne des ordonnées, pas leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'ordonnée du milieu est la moyenne des ordonnées des deux extrémités.[/reponse]
[aide essai="2"]$y_I = \dfrac{y_A + y_C}{2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$y_I = \dfrac{2 + 4}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]Le milieu de $[AC]$ est $\left(\dfrac{0 + 8}{2} ; \dfrac{2 + 4}{2}\right) = (4 ; 3)$.
Le milieu de $[BD]$ est $\left(\dfrac{6 + 2}{2} ; \dfrac{0 + 6}{2}\right) = (4 ; 3)$.
Les deux diagonales ont le même milieu, ce qui confirme que $ABCD$ est un parallélogramme.[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Milieu et distance avec coordonnées

[enonce]
On considère les points $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$, $C(-2\,;\,3)$ et $D(6\,;\,1)$ placés dans le repère orthonormé ci-dessous.

Repère orthonormé avec les points A, B, C, D

Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $(2{,}5\,;\,4)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le milieu a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = (2{,}5\,;\,4)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule du milieu donne les demi-sommes des coordonnées : $\left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = (2{,}5\,;\,4)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le milieu de $[AB]$ est $\left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = (2{,}5\,;\,4)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le milieu de $[CD]$ a pour coordonnées $(4\,;\,2)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le milieu de $[CD]$ est $\left(\dfrac{-2+6}{2}\,;\,\dfrac{3+1}{2}\right) = (2\,;\,2)$, et non $(4\,;\,2)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : la formule du milieu utilise la somme des coordonnées, pas la différence. Il faut calculer $\dfrac{-2+6}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$, et non $\dfrac{6-(-2)}{2} = 4$.
Le milieu est $(2\,;\,2)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le milieu de $[CD]$ est $\left(\dfrac{-2+6}{2}\,;\,\dfrac{3+1}{2}\right) = (2\,;\,2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $AB = 5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule de la distance donne $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $CD = 2\sqrt{5}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$CD = \sqrt{(6-(-2))^2+(1-3)^2} = \sqrt{8^2+(-2)^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$, et non $2\sqrt{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de calculer $6-2 = 4$ au lieu de $6 - (-2) = 8$ pour l'abscisse. Avec la bonne valeur :
$CD = \sqrt{(6-(-2))^2+(1-3)^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $CD = \sqrt{8^2+(-2)^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$, et non $2\sqrt{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $I$ est le milieu de $[AC]$, alors $I$ a pour coordonnées $(1{,}5\,;\,2{,}5)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le milieu de $[AC]$ est $\left(\dfrac{1+(-2)}{2}\,;\,\dfrac{2+3}{2}\right) = (-0{,}5\,;\,2{,}5)$, et non $(1{,}5\,;\,2{,}5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : il faut calculer $\dfrac{1+(-2)}{2} = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5$ et non $\dfrac{1-(-2)}{2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$. La formule du milieu utilise la somme $x_A + x_C$, pas la différence.
Le milieu est $(-0{,}5\,;\,2{,}5)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le milieu de $[AC]$ est $\left(\dfrac{1+(-2)}{2}\,;\,\dfrac{2+3}{2}\right) = (-0{,}5\,;\,2{,}5)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{10}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2-1 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, donc $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$. La norme est $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. Le carré d'un nombre négatif est positif : $(-3)^2 = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{10}$.
[/solution]
[/etape]

Losange et diagonales

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(1~;~-1) $, $ B(4~;~3) $, $ C(1~;~7) $ et $ D(-2~;~3) $.

Calculer les longueurs $ AB $, $ BC $, $ CD $ et $ DA $.
Quelle est la nature du quadrilatère $ ABCD $ ?
Calculer les coordonnées des milieux $ I $ de $ [AC] $ et $ J $ de $ [BD] $. Que constate-t-on ?
Calculer l'aire du losange $ ABCD $.
Le quadrilatère $ ABCD $ est-il un carré ? Justifier.

Corrigé

On calcule chaque longueur :

$ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ BC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ CD = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ DA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
Les quatre côtés sont de même longueur : $ AB = BC = CD = DA = 5 $.

Le quadrilatère $ ABCD $ est un losange.
Les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $ sont :

$ I\left(\dfrac{1 + 1}{2}~;~\dfrac{-1 + 7}{2}\right) = I(1~;~3) $

Les coordonnées du milieu $ J $ de $ [BD] $ sont :

$ J\left(\dfrac{4 + (-2)}{2}~;~\dfrac{3 + 3}{2}\right) = J(1~;~3) $

Les points $ I $ et $ J $ sont confondus : les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu $ I(1~;~3) $.
Ce résultat est cohérent : un losange est un parallélogramme, et les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu.
Calculons les longueurs des diagonales :

$ AC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 64} = 8 $
$ BD = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{36 + 0} = 6 $

L'aire d'un losange est donnée par la formule :

$ \mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} $

où $ d_1 $ et $ d_2 $ sont les longueurs des diagonales.

$ \mathcal{A} = \dfrac{AC \times BD}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24 $

L'aire du losange $ ABCD $ est $ 24 $ unités d'aire.
Un carré est un losange dont les diagonales sont de même longueur.

Or $ AC = 8 \neq 6 = BD $ : les diagonales n'ont pas la même longueur.

Donc $ ABCD $ n'est pas un carré.

Distance et nature d’un triangle

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(0~;~4) $, $ B(3~;~0) $ et $ C(-1~;~-3) $.

Calculer les longueurs $ AB $, $ BC $ et $ AC $.
Montrer que le triangle $ ABC $ est isocèle. Préciser en quel sommet.
Montrer que le triangle $ ABC $ est rectangle. Préciser en quel sommet.
Calculer les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $. Calculer la distance $ IB $ et comparer avec $ IA $.

Corrigé

On utilise la formule de distance : $ MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} $.

$ AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

$ BC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $

$ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $
On a $ AB = BC = 5 $.

Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ B $.
On compare $ AB^2 + BC^2 $ et $ AC^2 $ :

$ AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 $
$ AC^2 = (\sqrt{50})^2 = 50 $

On a $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.

Le triangle $ ABC $ est donc rectangle isocèle en $ B $.
Les coordonnées du milieu $ I $ de $ [AC] $ sont :

$ I\left(\dfrac{0 + (-1)}{2}~;~\dfrac{4 + (-3)}{2}\right) = I\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) $

Calculons la distance $ IB $ :

$ IB = \sqrt{\left(3 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(0 - \dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{49}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} $

Calculons $ IA $ :

$ IA = \sqrt{\left(0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(4 - \dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{49}{4}} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} $

On a $\mathbf{IB = IA = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{AC}{2}}$.

Le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle.

→ Pour réviser : Calculer une distance entre deux points

Coordonnées de vecteurs et parallélogramme

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(1~;~3) $, $ B(4~;~1) $, $ C(5~;~3) $ et $ D(2~;~5) $.

Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $.
Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ ABCD $ ?
Calculer les coordonnées du milieu de $ [AC] $ et du milieu de $ [BD] $. Que constate-t-on ?

Corrigé

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :

$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{DC} $ sont :

$ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $
On constate que $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.

Deux vecteurs égaux signifient que les segments $ [AB] $ et $ [DC] $ sont parallèles et de même longueur. Le quadrilatère $ ABCD $ est donc un parallélogramme.
Les coordonnées du milieu de $ [AC] $ sont :

$ \left(\dfrac{x_A + x_C}{2}~;~\dfrac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\dfrac{1 + 5}{2}~;~\dfrac{3 + 3}{2}\right) = (3~;~3) $

Les coordonnées du milieu de $ [BD] $ sont :

$ \left(\dfrac{x_B + x_D}{2}~;~\dfrac{y_B + y_D}{2}\right) = \left(\dfrac{4 + 2}{2}~;~\dfrac{1 + 5}{2}\right) = (3~;~3) $

Les milieux de $ [AC] $ et de $ [BD] $ sont confondus. Les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu, ce qui confirme le résultat de la question 2.

→ Pour réviser : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Trapèze et vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~,~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(2~;~4), B(5~;~5), C(1~;~1) $ et $ D(7~;~3). $

Faire une figure.
Montrer que le quadrilatère $ ABDC $ est un trapèze.
On note $ E $ le symétrique de $ C $ par rapport à $ A $.

Déterminer, par le calcul les coordonnées de $ E $.
Montrer que $ B $ est le milieu du segment $ [ED] $.
Soient $ M $ et $ N $ les milieux respectifs des segments $ [AB] $ et $ [CD] $.

Déterminer les coordonnées de $ M $ et de $ N $.

En déduire que les points $ E $, $ M $ et $ N $ sont alignés.

Corrigé

$\ $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :

$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 5 - 4 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $

De même, les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{CD} $ sont :

$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} $

On calcule le déterminant de $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ :

$ \det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) = 3 \times 2 - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0 $

Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ sont colinéaires et les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.

Par conséquent, $ ABDC $ est un trapèze.
Notons $ (x_E~;~y_E) $ les coordonnées du point $ E $.

$ E $ le symétrique de $ C $ par rapport à $ A $, par conséquent $ A $ est le milieu de $ [EC] $.

Les coordonnées du milieu de $ [EC] $ sont $ \left(\dfrac{x_E+x_C}{2}~;~\dfrac{y_E+y_C}{2}\right) $, c'est à dire $ \left(\dfrac{x_E+1}{2}~;~\dfrac{y_E+1}{2}\right) $.

Les coordonnées de $ A $ sont $ (2~;~4) $ ; $ A $ est donc le milieu de $ [EC] $ si et seulement si :

$ \begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E+1=4 \\ y_E+1=8\end{cases} $

$ \phantom{\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases}} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E=3 \\ y_E=7\end{cases} $

Le point $ E $ a donc pour coordonnées $ (3~;~7) $.
Le milieu de $ [ED] $ a pour coordonnées :

$ \left(\dfrac{x_E+x_D}{2}~;~\dfrac{y_E+y_D}{2}\right) =\left(\dfrac{3+7}{2}~;~\dfrac{7+3}{2}\right) =(5~;~5). $

Le milieu de $ [ED] $ est donc le point $ B. $
Les coordonnées du milieu $ M $ de $ [AB] $ sont $ \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) =\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right). $

Les coordonnées du milieu $ N $ de $ [CD] $ sont $ \left(\dfrac{x_C+x_D}{2}~;~\dfrac{y_C+y_D}{2}\right) =\left(4~;~2\right). $

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{EM} $ sont alors :

$ \begin{pmatrix} x_M - x_E\\y_M - y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{7}{2} - 3\\ \\ \dfrac{9}{2} - 7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\ - \dfrac{5}{2} \end{pmatrix} $

et les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{EN} $ : $ \begin{pmatrix} x_N - x_E\\y_N - y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 2 - 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ - 5 \end{pmatrix} . $

On calcule le déterminant de $ \overrightarrow{EM} $ et $ \overrightarrow{EN} $ :

$ \det\left(\overrightarrow{EM},\overrightarrow{EN}\right) = \dfrac{1}{2} \times ( - 5) - \left( - \dfrac{5}{2}\right) \times 1 = - \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 0 $

Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{EM} $ et $ \overrightarrow{EN} $ sont colinéaires et les points $ E, M $ et $ N $ sont alignés.

→ Pour réviser : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Coordonnées et médianes

Dans un repère orthonormal du plan on considère les points $ A, B $ et $ C $ de coordonnées $ A(1;1) , B(2;5) $ et $ C(9;3) $.

Soit $ G(x;y) $ un point du plan tel que $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} $.

Déterminer en fonction de $ x $ et de $ y $ les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{GA} $, $ \overrightarrow{GB} $ et $ \overrightarrow{GC} $.
Traduire l'égalité $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} $ par deux équations d'inconnues $ x $ et $ y $. En déduire les coordonnées de $ G $.
On note $ M, N, P $ les milieux respectifs des segments $ [AB], [BC] $ et $ [AC] $. Calculer les coordonnées des points $ M, N, P $.
Montrer que les points $ A, G $ et $ N $ sont alignés ainsi que les points $ B, G, P $ et les points $ C, G, M $.
Que représente le point $ G $ pour le triangle $ ABC $?

Corrigé

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{GA} $ sont $ \begin{pmatrix}x_A - x_G \\ y_A - y_G\end{pmatrix} $ Les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{GA} $, $ \overrightarrow{GB} $ et $ \overrightarrow{GC} $ sont :

$ \overrightarrow{GA}\begin{pmatrix}1 - x \\ 1 - y\end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}2 - x \\ 5 - y\end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{GC}\begin{pmatrix}9 - x \\ 3 - y\end{pmatrix} $
On obtient les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} $ en faisant la somme des coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{GA} $, $ \overrightarrow{GB} $ et $ \overrightarrow{GC} $ :

$ (1 - x)+(2 - x)+(9 - x)=12 - 3x $

$ (1 - y)+(5 - y)+(3 - y)=9 - 3y $

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} $ sont donc $ \begin{pmatrix}12 - 3x \\ 9 - 3y\end{pmatrix} $

Le vecteur $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} $ est égal au vecteur nul si et seulement si ses coordonnées sont nulles donc si et seulement si :

$ \begin{cases} 12 - 3x=0 \\ 9 - 3y=0 \end{cases} $

On obtient donc $ x=\dfrac{12}{3}=4 $ et $ y=\dfrac{9}{3}=3 $.

Les coordonnées du point $ G $ sont donc $ G(4;3) $
Le milieu $ M $ de $ [AB] $ a pour coordonnées :

$ M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) $

$ M\left(\dfrac{1+2}{2}~;~\dfrac{1+5}{2}\right) $

$ M\left(\dfrac{3}{2}~;~3\right) $

Un calcul analogue donne :

$ N\left(\dfrac{11}{2}~;~4\right) $

$ P\left(5~;~2\right) $
Pour montrer que les points $ A, G $ et $ N $ sont alignés on va montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{AG} $ et $ \overrightarrow{AN} $ sont colinéaires.

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AG} $ sont :

$ \overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}4 - 1 \\ 3 - 1\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} $

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AN} $ sont :

$ \overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\dfrac{11}{2} - 1 \\ \\ 4 - 1\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\dfrac{9}{2} \\ \\ 3\end{pmatrix} $

On calcule le déterminant de $ \overrightarrow{AG} $ et $ \overrightarrow{AN} $ :

$ \det\left(\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AN}\right) = 3 \times 3 - \dfrac{9}{2} \times 2=9 - 9=0 $

Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{AG} $ et $ \overrightarrow{AN} $ sont colinéaires. Les points $ A, G, N $ sont donc alignés.

Les autres alignements se démontrent de manière similaire :

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{BG} $ sont :

$ \overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}4 - 2 \\ 3 - 5\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}2 \\ - 2\end{pmatrix} $

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{BP} $ sont :

$ \overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ 2 - 5\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}3 \\ - 3\end{pmatrix} $

On calcule le déterminant de $ \overrightarrow{BG} $ et $ \overrightarrow{BP} $ :

$ \det\left(\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BP}\right) = 2 \times ( - 3) - ( - 2) \times 3 = - 6+6=0 $

Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{BG} $ et $ \overrightarrow{BP} $ sont colinéaires et les points $ B, G, P $ sont alignés.

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{CG} $ sont :

$ \overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}4 - 9 \\ 3 - 3\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{CG}\begin{pmatrix} - 5 \\ 0\end{pmatrix} $

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{CM} $ sont :

$ \overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} - 9 \\ \\ 3 - 3\end{pmatrix} $ soit $ \overrightarrow{CM}\begin{pmatrix} - \dfrac{15}{2}\\ \\ 0\end{pmatrix} $

On calcule le déterminant de $ \overrightarrow{CG} $ et $ \overrightarrow{CM} $ :

$ \det\left(\overrightarrow{CG},\overrightarrow{CM}\right) = - 5 \times 0 - \left( - \dfrac{15}{2}\right) \times 0 =0+0=0 $

Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{CG} $ et $ \overrightarrow{CM} $ sont colinéaires et les points $ C, G, M $ sont alignés.
Puisque $ M, N, P $ sont les milieux des segments $ [AB], [BC] $ et $ [AC] $, les droites $ (AN), (BP) $ et $ (CM) $ sont les médianes du triangle $ ABC $.

D'après la question précédente, le point $ G $ appartient à chacune de ces médianes.

Le point $ G $ est donc le point de concours des médianes c'est à dire le centre de gravité du triangle $ ABC $.

→ Pour réviser : Montrer que 3 points sont alignés (vecteurs)