Températures de villes en hiver

Le tableau ci-dessous donne les températures minimales relevées dans plusieurs villes au mois de janvier :

Moscou : $ -18 $°C
Oslo : $ -12{,}5 $°C
Reykjavík : $ -3{,}5 $°C
Bordeaux : $ 4 $°C
Helsinki : $ -22 $°C
Berlin : $ -7{,}2 $°C
Paris : $ 1{,}8 $°C

Quelle est la ville la plus froide ? La plus chaude ?
Ranger ces températures dans l'ordre croissant.
Calculer l'écart de température entre Bordeaux et Helsinki.
À Moscou, la température a augmenté de $ 5{,}3 $°C entre $ 8 $ h et midi. Quelle est la température relevée à midi ?
À Helsinki, la température a baissé de $ 4{,}8 $°C entre minuit et $ 4 $ h du matin. Quelle est la température relevée à $ 4 $ h ?

Corrigé

La ville la plus froide est celle dont la température est la plus petite. Comme tous les négatifs sont inférieurs aux positifs, on compare les négatifs entre eux : c'est celui qui a la plus grande distance à zéro. Ici $ -22 $ a la plus grande distance à zéro.
1. Ville la plus froide : Helsinki ($ -22 $°C).
2. Ville la plus chaude : Bordeaux ($ 4 $°C).
On classe d'abord les négatifs du plus petit au plus grand (en partant de la plus grande distance à zéro), puis les positifs :

$ -22 < -18 < -12{,}5 < -7{,}2 < -3{,}5 < 1{,}8 < 4 $

Soit, dans l'ordre croissant : Helsinki, Moscou, Oslo, Berlin, Reykjavík, Paris, Bordeaux.
L'écart entre Bordeaux et Helsinki s'obtient en faisant la différence entre la température la plus haute et la température la plus basse :
$ 4 - (-22) = 4 + 22 = 26 $.

L'écart est de $ 26 $°C.
À Moscou à midi, on additionne la hausse à la température initiale :
$ -18 + 5{,}3 = -(18 - 5{,}3) = -12{,}7 $.

La température à midi est de $ -12{,}7 $°C.
À Helsinki à $ 4 $ h, on soustrait la baisse à la température de minuit :
$ -22 - 4{,}8 = -22 + (-4{,}8) = -26{,}8 $.

La température à $ 4 $ h est de $ -26{,}8 $°C.

Pour réviser : Comparer et ranger des nombres relatifs

Additions et soustractions de nombres relatifs

Calculer chacune des additions suivantes :
1. $ (-7) + (-5) $
2. $ (+8) + (-3) $
3. $ (-12) + 4 $
4. $ (-2{,}5) + (-3{,}8) $
5. $ 6{,}4 + (-9{,}1) $
Calculer chacune des soustractions suivantes :
1. $ 4 - 9 $
2. $ -3 - 7 $
3. $ 5 - (-8) $
4. $ -6 - (-10) $
5. $ -4{,}5 - (-2{,}3) $
Compléter chaque égalité avec le nombre relatif qui convient :
1. $ (-5) + \dots = 0 $
2. $ 8 + \dots = 3 $
3. $ -7 - \dots = -10 $
Théo dispose de $ 12 $ € sur son compte courant. Le lundi, il dépose $ 45 $ € sur ce compte ; le mardi, il dépense $ 78 $ € avec sa carte. Quel est le solde de son compte mardi soir ?

Corrigé

1. Même signe (négatif) : on additionne les distances à zéro et on garde le signe.
  $ (-7) + (-5) = \mathbf{-12} $
2. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro.
  $ (+8) + (-3) = \mathbf{+5} $
3. Signes contraires, $ 12 > 4 $ donc le résultat est négatif :
  $ (-12) + 4 = \mathbf{-8} $
4. Même signe (négatif) :
  $ (-2{,}5) + (-3{,}8) = \mathbf{-6{,}3} $
5. Signes contraires, $ 9{,}1 > 6{,}4 $ donc le résultat est négatif :
  $ 6{,}4 + (-9{,}1) = \mathbf{-2{,}7} $
Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.
1. $ 4 - 9 = 4 + (-9) = \mathbf{-5} $
2. $ -3 - 7 = -3 + (-7) = \mathbf{-10} $
3. $ 5 - (-8) = 5 + 8 = \mathbf{13} $
4. $ -6 - (-10) = -6 + 10 = \mathbf{4} $
5. $ -4{,}5 - (-2{,}3) = -4{,}5 + 2{,}3 = \mathbf{-2{,}2} $
1. La somme d'un nombre et de son opposé vaut $ 0 $. L'opposé de $ -5 $ est $ 5 $ :
  $ (-5) + \mathbf{5} = 0 $
2. On cherche le nombre qu'il faut ajouter à $ 8 $ pour obtenir $ 3 $ : c'est $ 3 - 8 = -5 $.
  $ 8 + \mathbf{(-5)} = 3 $
3. On cherche le nombre qu'il faut soustraire à $ -7 $ pour obtenir $ -10 $. On a $ -7 - x = -10 $, donc $ x = -7 - (-10) = -7 + 10 = 3 $.
  $ -7 - \mathbf{3} = -10 $
Le solde de mardi soir s'obtient en partant du solde initial, puis en ajoutant les opérations :
$ 12 + 45 - 78 = 57 - 78 = 57 + (-78) = -21 $.

Le solde est de $ -21 $ € : Théo est à découvert.

Pour réviser : Additionner des nombres relatifs et Soustraire des nombres relatifs.

QCM : Addition et soustraction de nombres relatifs

[enonce]
Ce QCM porte sur l'addition et la soustraction de nombres relatifs, ainsi que sur les sommes algébriques. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Calculer $(-7) + (-3)$.
[qcm]
[option]$-4$[/option]
[option correct="true"]$-10$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux nombres ont le même signe (négatif). On additionne les distances à zéro : $7 + 3 = 10$, et on garde le signe commun : $-10$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Les distances à zéro ont été soustraites ($7 - 3$). Quand les deux nombres ont le même signe, il faut additionner leurs distances à zéro.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
Le signe commun a été oublié. Quand on additionne deux nombres négatifs, le résultat est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Deux erreurs combinées : les distances à zéro ont été soustraites et le signe a été oublié. Reprendre la règle d'addition de deux nombres de même signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour additionner deux nombres de même signe : additionner les distances à zéro et garder le signe commun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $(-9) + 4$.
[qcm]
[option]$13$[/option]
[option]$-13$[/option]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les deux nombres ont des signes contraires. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande : $9 - 4 = 5$. Comme $-9$ a la plus grande distance à zéro, le résultat prend son signe : $-5$.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
Les distances à zéro ont été additionnées alors que les signes sont contraires. Pour des signes contraires, il faut soustraire les distances.[/reponse]
[reponse motif="$-13$"]Non.
Les distances à zéro ont été additionnées (au lieu d'être soustraites) et le signe négatif a été conservé. Reprendre la règle d'addition de signes contraires.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Le calcul des distances est correct ($9 - 4 = 5$), mais le signe est incorrect : c'est le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande qui l'emporte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour additionner deux nombres de signes contraires : soustraire la plus petite distance à zéro de la plus grande, et prendre le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $-6 - (-4)$.
[qcm]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[option]$-10$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Soustraire un nombre revient à additionner son opposé : $-6 - (-4) = -6 + 4$. Les signes sont contraires, on soustrait les distances : $6 - 4 = 2$. Le signe du $-6$ l'emporte : $-2$.[/reponse]
[reponse motif="$-10$"]Non.
La règle a été appliquée comme une addition de deux nombres négatifs. Mais soustraire $-4$ revient à additionner $+4$, pas $-4$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La distance à zéro est correcte mais le signe est incorrect. Le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande distance à zéro, ici $-6$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
Plusieurs erreurs : les distances ont été additionnées au lieu d'être soustraites, et le signe négatif n'a pas été conservé. Réécrire la soustraction comme une addition avec l'opposé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé : $a - b = a + (-b)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $8 - 12$.
[qcm]
[option]$-20$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[option]$20$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On peut écrire $8 - 12 = 8 + (-12)$. Les signes sont contraires, on soustrait : $12 - 8 = 4$. Comme $-12$ a la plus grande distance à zéro, le résultat est négatif : $-4$.[/reponse]
[reponse motif="$-20$"]Non.
Les distances à zéro ont été additionnées et le signe est devenu négatif. Pour des signes contraires, il faut soustraire les distances.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La distance à zéro est correcte mais le signe est faux. Comme $12 > 8$, le résultat doit être négatif.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
Les distances à zéro ont été additionnées au lieu d'être soustraites. Il s'agit d'une soustraction, pas d'une addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand on soustrait un nombre plus grand d'un nombre plus petit, le résultat est négatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $A = 5 - 9 + 3 - 7$.
[qcm]
[option correct="true"]$-8$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$14$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On regroupe les termes positifs et les termes négatifs : $A = (5 + 3) + (-9 - 7) = 8 + (-16) = -8$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
Tous les nombres ont été additionnés sans tenir compte des signes. Repérer chaque signe avant d'effectuer le calcul.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
Le signe devant $9$ a probablement été oublié : $5 + 9 + 3 - 7 = 10$. Bien lire chaque signe.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Seuls les termes positifs ont été pris en compte ($5 + 3 = 8$). Ne pas oublier les termes négatifs $-9$ et $-7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Regrouper les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux, puis additionner les deux totaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle expression est égale à $-3 + 7$ ?
[qcm]
[option]$-3 - 7$[/option]
[option correct="true"]$7 - 3$[/option]
[option]$-(7 - 3)$[/option]
[option]$-7 + 3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Dans une somme, on peut échanger les termes : $-3 + 7 = 7 + (-3) = 7 - 3$. Les deux écritures donnent $4$.[/reponse]
[reponse motif="$-3 - 7$"]Non.
Le signe du $7$ a été changé. La transformation $-3 + 7 = -3 - 7$ revient à modifier la valeur de l'expression.[/reponse]
[reponse motif="$-(7 - 3)$"]Non.
Ce calcul vaut $-4$, pas $4$. L'expression $-3 + 7$ donne un résultat positif.[/reponse]
[reponse motif="$-7 + 3$"]Non.
Les signes des deux termes ont été échangés, ce qui change la valeur. $-7 + 3 = -4$ alors que $-3 + 7 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans une somme, on peut intervertir les termes en gardant chacun avec son signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM Bilan : Nombres relatifs

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : repérage dans le plan, comparaison, sommes algébriques et applications concrètes. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans un repère orthogonal, on considère le point $A(-3\,;\,2)$. Quelles sont son abscisse et son ordonnée ?
[qcm]
[option]Abscisse $2$, ordonnée $-3$.[/option]
[option]Abscisse $-2$, ordonnée $3$.[/option]
[option]Abscisse $3$, ordonnée $-2$.[/option]
[option correct="true"]Abscisse $-3$, ordonnée $2$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans la notation $A(x\,;\,y)$, le premier nombre est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal) et le second l'ordonnée (lue sur l'axe vertical). Ici $x = -3$ et $y = 2$.[/reponse]
[reponse motif="Abscisse $2$, ordonnée $-3$."]Non.
L'ordre a été inversé : le premier nombre dans la notation $(x\,;\,y)$ est toujours l'abscisse.[/reponse]
[reponse motif="Abscisse $-2$, ordonnée $3$."]Non.
Les valeurs ont été modifiées et inversées. L'abscisse vaut exactement le premier nombre des coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="Abscisse $3$, ordonnée $-2$."]Non.
Les signes des deux nombres ont été échangés. Conserver les signes tels qu'ils apparaissent dans les coordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans la notation $A(x\,;\,y)$, le premier nombre est l'abscisse, le second est l'ordonnée. Conserver les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le point $B$ a pour coordonnées $(0\,;\,-4)$. Où est-il situé dans le repère ?
[qcm]
[option]Sur l'axe des abscisses, à gauche de $O$.[/option]
[option]Sur l'axe des abscisses, à droite de $O$.[/option]
[option correct="true"]Sur l'axe des ordonnées, en dessous de $O$.[/option]
[option]Sur l'axe des ordonnées, au-dessus de $O$.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'abscisse est nulle, donc $B$ est sur l'axe vertical (axe des ordonnées). L'ordonnée vaut $-4$ (négative), donc $B$ est en dessous de l'origine.[/reponse]
[reponse motif="Sur l'axe des abscisses, à gauche de $O$."]Non.
C'est l'ordonnée qui vaut $0$ pour un point sur l'axe des abscisses. Ici, c'est l'abscisse qui est nulle.[/reponse]
[reponse motif="Sur l'axe des abscisses, à droite de $O$."]Non.
C'est l'ordonnée qui doit être nulle pour un point situé sur l'axe des abscisses, pas l'abscisse.[/reponse]
[reponse motif="Sur l'axe des ordonnées, au-dessus de $O$."]Non.
L'axe est correct, mais le sens est inversé. Une ordonnée négative correspond à un point situé en dessous de l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un point d'abscisse $0$ est sur l'axe vertical (ordonnées). Le signe de l'ordonnée donne le sens (au-dessus ou en dessous).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
À midi, la température est de $-3$°C. Elle augmente de $5$°C dans l'après-midi. Quelle est la nouvelle température ?
[qcm]
[option]$-8$°C[/option]
[option]$8$°C[/option]
[option]$-2$°C[/option]
[option correct="true"]$2$°C[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Une hausse de température correspond à une addition : $-3 + 5$. Les signes sont contraires, on soustrait les distances : $5 - 3 = 2$. Le signe du $5$ l'emporte (plus grande distance) : la température est $2$°C.[/reponse]
[reponse motif="$-8$°C"]Non.
Les distances à zéro ont été additionnées avec le signe négatif. Une augmentation correspond à une addition de signes contraires (il faut soustraire les distances).[/reponse]
[reponse motif="$8$°C"]Non.
Le signe initial $-3$ n'a pas été pris en compte. La température part de $-3$°C, pas de $+3$°C.[/reponse]
[reponse motif="$-2$°C"]Non.
Le calcul des distances est correct ($5 - 3 = 2$), mais le signe est faux : c'est le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro ($5$) qui l'emporte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une augmentation correspond à une addition. Calculer $-3 + 5$ avec la règle d'addition de signes contraires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $A = -4 - 3 + 9 - 5 + 1$.
[qcm]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[option]$22$[/option]
[option]$-22$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On regroupe les termes positifs et les termes négatifs : $A = (9 + 1) + (-4 - 3 - 5) = 10 + (-12) = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Non.
Tous les signes $-$ ont été ignorés et tous les nombres additionnés ($4 + 3 + 9 + 5 + 1 = 22$). Bien tenir compte des signes.[/reponse]
[reponse motif="$-22$"]Non.
Tous les nombres ont été additionnés en valeur absolue, puis le signe $-$ a été ajouté. Calculer en respectant chaque signe individuellement.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Le signe initial sur $4$ a été oublié : $4 - 3 + 9 - 5 + 1 = 6$. Le premier terme est bien $-4$ (pas $4$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Regrouper les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux, puis additionner les deux totaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $(-2{,}5) + (-3{,}7) - (-1{,}2)$.
[qcm]
[option]$-7{,}4$[/option]
[option]$-5{,}2$[/option]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On transforme la soustraction en addition de l'opposé : $-2{,}5 - 3{,}7 + 1{,}2$. Puis on regroupe : $(-2{,}5 - 3{,}7) + 1{,}2 = -6{,}2 + 1{,}2 = -5$.[/reponse]
[reponse motif="$-7{,}4$"]Non.
La soustraction $-(-1{,}2)$ a été traitée comme $-1{,}2$ au lieu de $+1{,}2$. Soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$-5{,}2$"]Non.
La transformation a été faite, mais il y a une erreur de calcul : $-6{,}2 + 1{,}2$ vaut $-5$ (pas $-5{,}2$). Vérifier la soustraction des distances à zéro.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Les signes négatifs ont été ignorés. Le résultat doit être négatif puisque la somme des termes négatifs ($-6{,}2$) dépasse en valeur absolue la valeur du terme positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Soustraire $-1{,}2$ revient à additionner $+1{,}2$. Ensuite, regrouper les termes de même signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La température était de $-7$°C lundi matin et de $-2$°C lundi soir. Quelle a été la variation de température entre le matin et le soir ?
[qcm]
[option correct="true"]$+5$°C[/option]
[option]$-9$°C[/option]
[option]$-5$°C[/option]
[option]$+9$°C[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La variation se calcule en soustrayant la température initiale à la température finale : $-2 - (-7) = -2 + 7 = 5$. La température a augmenté de $5$°C.[/reponse]
[reponse motif="$-9$°C"]Non.
Les deux températures ont été additionnées avec leur signe : $-2 + (-7) = -9$. Une variation se calcule par une soustraction (finale moins initiale).[/reponse]
[reponse motif="$-5$°C"]Non.
La variation est positive car la température est passée de $-7$ à $-2$ : elle s'est rapprochée de $0$, donc elle a augmenté.[/reponse]
[reponse motif="$+9$°C"]Non.
La distance entre les deux températures a été calculée par addition au lieu d'utiliser la formule (finale moins initiale). Calculer $-2 - (-7)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La variation de température se calcule par : température finale moins température initiale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]