[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit le triangle $ABC$ ci-dessous (l'unité correspond au côté d'un carré du quadrillage) :

Affirmation : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 16$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le point $C$ se projette en $H$ sur la droite $(AB)$ : la projection orthogonale de $C$ a pour abscisse $4$.
L'angle $\widehat{BAC}$ est aigu, donc :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AH \times AB = 4 \times 6 = 24$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il ne faut pas prendre directement l'abscisse de $C$ ($4$) et la multiplier pour obtenir $16$. Pense à projeter orthogonalement $C$ sur la droite $(AB)$ et à appliquer la formule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AH \times AB$ (l'angle étant aigu).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La projection orthogonale de $C$ sur $(AB)$ est $H$ d'abscisse $4$, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AH \times AB = 4 \times 6 = 24$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est le parallélogramme ci-dessous (l'unité correspond au côté d'un carré) :

Affirmation : $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les points $B$ et $D$ se projettent orthogonalement sur la droite $(AC)$ respectivement en $A$ et en $C$ (la droite $(AC)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et à $(CD)$).
Le vecteur projeté de $\overrightarrow{BD}$ sur $(AC)$ est donc $\overrightarrow{AC}$, et :
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = AC^2 = 3^2 = 9$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, pense à la formule du produit scalaire avec la projection orthogonale : projette $B$ et $D$ sur la droite $(AC)$ et observe ce que vaut le vecteur projeté de $\overrightarrow{BD}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les projetés orthogonaux de $B$ et $D$ sur $(AC)$ sont respectivement $A$ et $C$, donc $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = AC^2 = 3^2 = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ci-dessous :

Affirmation : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \times \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On projette $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sur l'axe porté par $\overrightarrow{u}$ : les projetés ont pour longueurs $6$ et $2$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4 \times 6 = 24$
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = 4 \times 2 = 8$
Donc $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \times (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w})$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à la direction de la projection : comme $\overrightarrow{u}$ est horizontal, il faut projeter $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sur l'axe horizontal (prendre leurs abscisses), et non leurs ordonnées.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les projections sur l'axe porté par $\overrightarrow{u}$ valent $6$ et $2$ respectivement, donc $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 24$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = 8$, avec bien $24 = 3 \times 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ci-dessous :

Affirmation : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont opposés ($\overrightarrow{w} = -\overrightarrow{v}$), donc :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot (-\overrightarrow{v}) = -\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$
Par ailleurs, $\overrightarrow{u}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{v}$, donc $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0$.
Ainsi $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de ne pas remarquer la relation entre $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ : regarde leurs coordonnées. Que vaut $\overrightarrow{u}\cdot(-\vec{v})$ par rapport à $\overrightarrow{u}\cdot\vec{v}$ ?[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $\overrightarrow{w} = -\overrightarrow{v}$, on a $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = -\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$, qui est l'opposé et non l'égal de $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le triangle $ABC$ ci-dessous :

Affirmation : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ est strictement négatif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'angle $\widehat{BAC}$ est obtus (la projection de $C$ sur la droite $(AB)$ tombe à gauche de $A$).
Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Regarde attentivement la figure : où se trouve la projection orthogonale de $C$ sur la droite $(AB)$ ? Qu'est-ce que cela indique sur l'angle $\widehat{BAC}$ et donc sur le signe du produit scalaire ?[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La projection de $C$ sur $(AB)$ tombe à gauche de $A$, ce qui indique que $\widehat{BAC}$ est obtus. Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) < 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère le triangle rectangle isocèle $ABC$ de hauteur $[AH]$ ci-dessous (l'unité est le côté d'un carré) :

Affirmation : $\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le point $A$ se projette en $H$ sur la droite $(BC)$.
On décompose $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB}$. Comme $(AH)\perp(BC)$, on a $\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AH} = 0$. De plus, $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{CH}$ (triangle isocèle en $A$), donc :
$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{HB} = CH^2 = 3^2 = 9$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : décompose $\overrightarrow{AB}$ en passant par $H$ grâce à la relation de Chasles, puis exploite le fait que $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ pour simplifier le produit scalaire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En décomposant $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB}$ et en utilisant $(AH)\perp(BC)$, on obtient $\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{HB} = CH^2 = 3^2 = 9$.
[/solution]
[/etape]

Dans cet exercice, l'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.

1. À l'aide du quadrillage, calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA} $ puis les normes $ \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert $ et $ \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert $.
2. En déduire la valeur exacte de $ \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) $.
   Donner la valeur arrondie au degré de l'angle $ \left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right) $.

Énoncé

$ ABC $ est un triangle quelconque et $ I $ désigne le milieu de $ \left[BC\right] $.

1. En utilisant la relation de Chasles en faisant intervenir le point $ I $, montrer que :

   $ AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2} $

2. Montrer de même que :

   $ AB^{2} - AC^{2}=2\,\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB} $

3. Montrer enfin que :

   $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AI^{2} - \dfrac{1}{4}BC^{2} $

Énoncé

$ \alpha $ et $ \beta $ désignent deux réels.

Sur le cercle trigonométrique, on place les points $ A $ et $ B $ tels que $ \alpha $ et $ \beta $ soient des mesures des angles orientés $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right) $ et $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right) $

1. Donner les coordonnées des points $ A $ et $ B $ en fonction de $ \alpha $ et $ \beta $.
2. Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} $ en fonction de $ \alpha $ et $ \beta $.

3. En déduire la formule :

   $ \cos\left(\alpha - \beta \right)=\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)+\sin\left(\alpha \right)\sin\left(\beta \right) $

Énoncé

Soit $ ABC $ un triangle quelconque.

En utilisant la relation de Chasles, montrer la formule d'Al-Kashi :

Énoncé

$ ABC $ est un triangle rectangle en $ A $ et $ H $ désigne le pied de la hauteur issue de $ A $.

1. Calculer $ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} $ en fonction de $ AB $.
2. Calculer $ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} $ en fonction de $ BH $ et $ BC $.
3. En déduire que $ BH=\dfrac{AB^{2}}{BC} $

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $ on considère les points :

$ A \left( - 1 ; 2\right) , B \left(0 ; 5\right) $ et $ C \left(2 ; 1\right) $

1. Montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont orthogonaux.
2. Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} $ et les normes $ ||\overrightarrow{CA}|| $ et $ ||\overrightarrow{CB}|| $.
   En déduire la mesure de l'angle $ \widehat{ACB} $.
3. Que peut-on en conclure pour le triangle $ ABC $ ?