[enonce]
Un réparateur de vélos facture ses interventions uniquement en fonction du temps passé, à raison de $18$ € par heure de main-d'oeuvre.

On note $f$ la fonction qui, au nombre d'heures $x$, associe le prix en euros de l'intervention.
[/enonce]

[etape]
Le prix de l'intervention est proportionnel au temps passé. Quelle est la nature de la fonction $f$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$f$ est une fonction linéaire[/option]
[option]$f$ est une fonction quelconque[/option]
[option]On ne peut pas savoir[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le prix est proportionnel au temps, donc $f$ est de la forme $f(x) = ax$ : c'est une fonction linéaire.
Le coefficient de proportionnalité est le tarif horaire.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est une fonction quelconque"]Non.
Le tarif est fixe par heure, sans frais supplémentaires : le prix est donc proportionnel au temps.
Quel type de fonction traduit une situation de proportionnalité ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La proportionnalité entre deux grandeurs se traduit toujours par un type de fonction bien précis.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Écrire l'expression de $f(x)$.

$f(x) = $ [[expr]]
[math id="expr" attendu="18x"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le tarif est de $18$ € par heure, donc $f(x) = 18x$.[/reponse]
[reponse motif="18"]Il manque la variable $x$.
La fonction associe un prix au nombre d'heures $x$, pas à une seule heure.[/reponse]
[reponse motif="x+18"]Non.
Le prix n'est pas obtenu en ajoutant $18$ au nombre d'heures.
Réfléchir : pour $2$ heures on paie $2 \times 18 = 36$ €, pour $3$ heures on paie $3 \times 18 = 54$ €...[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le coefficient de la fonction linéaire est le tarif horaire.
Comment écrire « $18$ euros par heure » sous forme de fonction ?[/reponse]
[aide essai="2"]Le coefficient de la fonction linéaire est le tarif horaire, ici $18$.[/aide]
[aide essai="3"]Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$. Ici $a$ est le prix pour une heure.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = 18x$ car le tarif horaire est de $18$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Une intervention dure $3$ heures et $30$ minutes. Calculer son prix.

$f(3{,}5) = $ [[img]] €
[math id="img" attendu="63"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(3{,}5) = 18 \times 3{,}5 = 63$.
L'intervention coûte $63$ €.[/reponse]
[reponse motif="18*3.5"]Le calcul est bien posé, mais il faut donner le résultat.
Effectuer la multiplication $18 \times 3{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="18*3,5"]Le calcul est bien posé, mais il faut donner le résultat.
Effectuer la multiplication $18 \times 3{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="54"]Non.
$3$ heures et $30$ minutes ne correspondent pas à $3$ heures.
Convertir $30$ minutes en fraction d'heure.[/reponse]
[reponse motif="6300"]Non.
Attention aux unités : $3$ heures et $30$ minutes = $3{,}5$ heures, pas $350$.[/reponse]
[reponse motif="21.5"]Non.
L'image se calcule en multipliant : $f(3{,}5) = 18 \times 3{,}5$, pas $18 + 3{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir $3$ h $30$ min en heures décimales, puis remplacer $x$ par cette valeur dans $f(x) = 18x$.[/reponse]
[aide essai="2"]$3$ heures et $30$ minutes = $3{,}5$ heures.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $18 \times 3{,}5$.[/aide]
[/math]
[solution]$3$ h $30$ min = $3{,}5$ h, donc $f(3{,}5) = 18 \times 3{,}5 = 63$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Un client reçoit une facture de $81$ €. Déterminer la durée de l'intervention.

$x = $ [[ant]] heures
[math id="ant" attendu="4.5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $18x = 81$, soit $x = \dfrac{81}{18} = 4{,}5$.
L'intervention a duré $4$ heures et $30$ minutes.[/reponse]
[reponse motif="81/18"]Le calcul est bien posé, mais il faut donner le résultat.
Effectuer la division $81 \div 18$.[/reponse]
[reponse motif="81"]Non.
On cherche le nombre d'heures, pas le prix.
Il faut résoudre l'équation $18x = 81$.[/reponse]
[reponse motif="63"]Non.
On ne cherche pas $f(81)$, mais le nombre d'heures $x$ tel que $f(x) = 81$.[/reponse]
[reponse motif="4"]Non.
Vérifier : $f(4) = 18 \times 4 = 72 \neq 81$.
Reprendre le calcul de la division.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche $x$ tel que $f(x) = 81$, c'est-à-dire $18x = 81$.
Diviser $81$ par $18$.[/reponse]
[aide essai="2"]Résoudre l'équation $18x = 81$ en isolant $x$.[/aide]
[aide essai="3"]$x = \dfrac{81}{18}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]On résout $18x = 81$, donc $x = \dfrac{81}{18} = 4{,}5$ heures, soit $4$ h $30$ min.[/solution]
[/etape]

[etape]
Le réparateur annonce que sa prochaine intervention durera « entre $2$ heures et $2$ heures et demie ». Il propose au client un devis de $50$ €. Le client a-t-il intérêt à accepter ce devis ?
[qcm]
[option correct="true"]Non, le devis dépasse le prix réel de l'intervention[/option]
[option]Oui, le devis est inférieur au tarif horaire appliqué[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans connaître la durée exacte[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $2$ h : $f(2) = 36$ €.
Pour $2$ h $30$ : $f(2{,}5) = 45$ €.
Le prix réel sera entre $36$ € et $45$ €. Le devis de $50$ € est donc supérieur au coût maximum de l'intervention : le client paie plus que nécessaire.[/reponse]
[reponse motif="Oui"]Non.
Calculer $f(2)$ et $f(2{,}5)$ pour connaître la fourchette de prix réelle.
Comparer ensuite avec $50$ €.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir"]Non.
On connaît la durée minimale et maximale, donc on peut encadrer le prix.
Calculer $f(2)$ et $f(2{,}5)$ pour obtenir la fourchette de prix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les prix pour $2$ h et $2{,}5$ h, puis comparer avec le devis de $50$ €.[/reponse]
[/qcm]
[solution]$f(2) = 36$ € et $f(2{,}5) = 45$ €. Le devis de $50$ € dépasse le prix maximum : le client n'a pas intérêt à l'accepter.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les calculs avec les fonctions linéaires : images, antécédents, coefficient et reconnaissance. Pour chaque question, choisir la bonne réponse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = -\dfrac{3}{4}x$. Calculer $f(-8)$.
[qcm]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$-6$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$-24$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remplace $x$ par $-8$ :
$f(-8) = -\dfrac{3}{4} \times (-8) = \dfrac{24}{4} = 6$
Le produit de deux nombres négatifs est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Attention au signe.
Le coefficient est négatif et l'antécédent aussi : le produit de deux nombres négatifs est positif.
$-\dfrac{3}{4} \times (-8) = +\dfrac{24}{4} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Le numérateur est correct, mais il ne faut pas oublier de diviser par $4$.
$-\dfrac{3}{4} \times (-8) = \dfrac{3 \times 8}{4} = \dfrac{24}{4} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-24$"]Deux erreurs se cumulent ici : le signe et la division par $4$.
$-\dfrac{3}{4} \times (-8) = +\dfrac{24}{4} = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$f(-8) = -\dfrac{3}{4} \times (-8) = \dfrac{24}{4} = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction linéaire $g$ vérifie $g(5) = -20$. Quel est le coefficient de $g$ ?
[qcm]
[option]$-\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$-15$[/option]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[option]$-25$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient se calcule par $a = \dfrac{\text{image}}{\text{antécédent}}$ :
$a = \dfrac{-20}{5} = -4$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{4}$"]Le rapport est inversé.
Le coefficient est $\dfrac{\text{image}}{\text{antécédent}} = \dfrac{-20}{5} = -4$, pas $\dfrac{5}{-20}$.[/reponse]
[reponse motif="$-15$"]Il faut diviser l'image par l'antécédent, pas les soustraire.
$a = \dfrac{-20}{5} = -4$.[/reponse]
[reponse motif="$-25$"]Il ne faut pas additionner.
Le coefficient est le quotient $\dfrac{\text{image}}{\text{antécédent}} = \dfrac{-20}{5} = -4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$a = \dfrac{g(5)}{5} = \dfrac{-20}{5} = -4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $h(x) = 2{,}5x$. Quel nombre a pour image $15$ par $h$ ?
[qcm]
[option]$37{,}5$[/option]
[option]$12{,}5$[/option]
[option]$17{,}5$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche l'antécédent de $15$ : on résout $2{,}5x = 15$, soit $x = \dfrac{15}{2{,}5} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$37{,}5$"]C'est l'image de $15$, pas son antécédent.
Chercher « quel nombre a pour image $15$ » revient à résoudre $2{,}5x = 15$, donc à diviser par $2{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Il ne faut pas soustraire le coefficient.
On résout $2{,}5x = 15$, soit $x = \dfrac{15}{2{,}5} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$17{,}5$"]Il ne faut pas additionner le coefficient.
On résout $2{,}5x = 15$, soit $x = \dfrac{15}{2{,}5} = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2{,}5x = 15$, donc $x = \dfrac{15}{2{,}5} = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces fonctions, laquelle n'est pas linéaire ?
[qcm]
[option]$f(x) = -7x$[/option]
[option]$g(x) = \dfrac{2}{3}x$[/option]
[option correct="true"]$h(x) = 3x - 1$[/option]
[option]$k(x) = 0{,}4x$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$h(x) = 3x - 1$ n'est pas de la forme $ax$ : le terme constant $-1$ en fait une fonction affine.
On peut vérifier : $h(0) = -1 \neq 0$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -7x$"]Le coefficient d'une fonction linéaire peut être négatif.
$f(x) = -7x$ est bien de la forme $ax$ avec $a = -7$ : c'est une fonction linéaire.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = \dfrac{2}{3}x$"]Le coefficient d'une fonction linéaire peut être une fraction.
$g(x) = \dfrac{2}{3}x$ est de la forme $ax$ avec $a = \dfrac{2}{3}$ : c'est une fonction linéaire.[/reponse]
[reponse motif="$k(x) = 0{,}4x$"]Le coefficient d'une fonction linéaire peut être un nombre décimal.
$k(x) = 0{,}4x$ est de la forme $ax$ avec $a = 0{,}4$ : c'est une fonction linéaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction $h(x) = 3x - 1$ n'est pas linéaire car elle comporte un terme constant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction linéaire $f$ vérifie $f(6) = -9$. Quelle est l'image de $-4$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$-6$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$60$[/option]
[option]$-1{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On détermine d'abord le coefficient : $a = \dfrac{-9}{6} = -1{,}5$.
Puis on calcule : $f(-4) = -1{,}5 \times (-4) = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Attention à la règle des signes.
Le coefficient est $a = -1{,}5$ et l'antécédent est $-4$ : le produit de deux nombres négatifs est positif.
$f(-4) = -1{,}5 \times (-4) = +6$.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Il ne faut pas multiplier $|-9|$ par $|-4|$ sans calculer le coefficient.
Le coefficient est $a = \dfrac{-9}{6} = -1{,}5$, puis $f(-4) = -1{,}5 \times (-4) = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-1{,}5$"]C'est le coefficient de la fonction, pas l'image de $-4$.
$f(-4) = -1{,}5 \times (-4) = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$a = \dfrac{-9}{6} = -1{,}5$, puis $f(-4) = -1{,}5 \times (-4) = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un tableau de proportionnalité donne $f(6) = 15$ et $f(10) = 25$. Calculer $f(8)$.
[qcm]
[option]$18$[/option]
[option correct="true"]$20$[/option]
[option]$16$[/option]
[option]$22$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule le coefficient : $a = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$.
Puis $f(8) = 2{,}5 \times 8 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Il ne faut pas raisonner par interpolation approximative.
La méthode correcte est de calculer le coefficient : $a = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$, puis $f(8) = 2{,}5 \times 8 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Ce résultat correspond à $8 \times 2$, mais le coefficient n'est pas $2$.
$a = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$, donc $f(8) = 2{,}5 \times 8 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Il ne faut pas raisonner par interpolation approximative.
La méthode correcte est de calculer le coefficient : $a = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$, puis $f(8) = 2{,}5 \times 8 = 20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$a = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$, puis $f(8) = 2{,}5 \times 8 = 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Deux livreurs, Antoine et Bilal, partent en même temps du même entrepôt pour effectuer leurs livraisons sur la même route.

Antoine roule à vitesse constante. En 2 heures, il a parcouru 90 km.
Bilal roule à la vitesse constante de 60 km/h.

1. On note $d_A$ la fonction qui donne la distance parcourue par Antoine (en km) en fonction du temps $t$ (en heures).

   1. Justifier que $d_A$ est une fonction linéaire.
   2. Déterminer le coefficient de cette fonction et interpréter sa signification.
   3. Écrire l'expression de $d_A(t)$.
2. On note $d_B$ la fonction qui donne la distance parcourue par Bilal en fonction du temps $t$ (en heures). Écrire l'expression de $d_B(t)$.
3. Calculer la distance parcourue par chaque livreur au bout de 3 heures et 30 minutes.
4. Antoine doit livrer un client situé à 270 km de l'entrepôt. En combien de temps atteint-il ce client ?
5. Au bout de combien de temps Bilal a-t-il exactement 45 km d'avance sur Antoine ?

Le prix de l'eau dans une commune est proportionnel à la consommation. Pour une consommation de 15 m$^3$, la facture s'élève à 52,50 €.

On note $f$ la fonction qui, à la consommation $x$ (en m$^3$), associe le montant de la facture $f(x)$ (en euros).

1. 1. Justifier que $f$ est une fonction linéaire et déterminer son coefficient.
   2. Écrire l'expression de $f(x)$.
2. 1. Calculer le montant de la facture pour une consommation de 24 m$^3$.
   2. Un ménage a reçu une facture de 105 €. Quelle est sa consommation d'eau ?

3. Recopier et compléter le tableau de proportionnalité suivant.

   Consommation (m$^3$)	5	10	15	20	30
   Prix (€)