Effectuer une division euclidienne
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Méthode
Effectuer la division euclidienne d'un entier $ a $ (le dividende) par un entier $ b $ non nul (le diviseur), c'est trouver le quotient $ q $ et le reste $ r $.
- Étape 1 : poser la division de $ a $ par $ b $.
- Étape 2 : chercher le plus grand multiple de $ b $ inférieur ou égal à $ a $. Le facteur correspondant est le quotient $ q $.
- Étape 3 : calculer le reste $ r = a - b \times q $. Le reste doit toujours vérifier $ 0 \leqslant r < b $.
- Étape 4 : écrire le résultat sous la forme $ a = b \times q + r $.
Remarque
Si le reste $ r $ est égal à $ 0 $, alors $ a $ est divisible par $ b $ : la division euclidienne est aussi le moyen de tester la divisibilité d'un nombre par un autre.
Exemple 1 : division de 47 par 6
Étape 1 : on divise $ 47 $ par $ 6 $.
Étape 2 : on cherche le plus grand multiple de $ 6 $ inférieur ou égal à $ 47 $. Les multiples de $ 6 $ sont $ 6 $, $ 12 $, $ \ldots $, $ 42 $, $ 48 $. Le plus grand qui ne dépasse pas $ 47 $ est $ 42 = 6 \times 7 $. Le quotient est donc $ 7 $.
Étape 3 : on calcule le reste :
$ r = 47 - 6 \times 7 = 47 - 42 = 5 $
On vérifie bien que $ 0 \leqslant 5 < 6 $.
Étape 4 : on écrit le résultat :
Le quotient est $ 7 $ et le reste est $ 5 $. Comme le reste n'est pas nul, $ 47 $ n'est pas divisible par $ 6 $.
Exemple 2 : division de 250 par 8
Étape 1 : on divise $ 250 $ par $ 8 $.
Étape 2 : on cherche le plus grand multiple de $ 8 $ inférieur ou égal à $ 250 $. Comme $ 8 \times 30 = 240 $ et $ 8 \times 31 = 248 $, alors que $ 8 \times 32 = 256 $ dépasse $ 250 $, le quotient est $ 31 $.
Étape 3 : on calcule le reste :
$ r = 250 - 8 \times 31 = 250 - 248 = 2 $
On vérifie bien que $ 0 \leqslant 2 < 8 $.
Étape 4 : on écrit le résultat :
Le quotient est $ 31 $ et le reste est $ 2 $.
Exemple 3 : un reste nul
Effectuer la division euclidienne de $ 348 $ par $ 12 $.
Étape 1 : on divise $ 348 $ par $ 12 $.
Étape 2 : $ 12 \times 29 = 348 $, donc le quotient est $ 29 $.
Étape 3 : le reste vaut $ r = 348 - 12 \times 29 = 348 - 348 = 0 $.
Étape 4 : on écrit le résultat :
Le reste est nul, donc $ 348 $ est divisible par $ 12 $.
Attention
- Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur : $ 0 \leqslant r < b $. Si le reste obtenu est supérieur ou égal au diviseur, c'est que le quotient choisi est trop petit.
- Ne pas confondre le dividende (le nombre que l'on divise, $ a $) et le diviseur (le nombre par lequel on divise, $ b $).
- Le quotient et le reste sont des entiers naturels : une division euclidienne ne donne jamais de nombre à virgule.