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Équations et inéquations Exercices

Problèmes d’inéquations du premier degré

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Pour chaque problème, poser une inéquation, la résoudre, puis répondre par une phrase.

  1. Un opérateur propose deux forfaits de téléphone mobile. Le forfait A coûte $12$ € par mois, plus $0{,}05$ € par minute d'appel. Le forfait B coûte $20$ € par mois en appels illimités. On note $x$ le nombre de minutes d'appel passées dans le mois. À partir de combien de minutes le forfait B devient-il plus avantageux que le forfait A ?
  2. Une salle d'escalade propose deux possibilités. Sans abonnement, chaque séance coûte $25$ €. Avec l'abonnement annuel, on paie $180$ € à l'inscription, puis $10$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances effectuées dans l'année. À partir de combien de séances l'abonnement annuel devient-il plus avantageux que les séances payées à l'unité ?
  3. Un réservoir contient $500$ litres d'eau. On ouvre une vanne qui le vide de $20$ litres par minute. On note $x$ le temps écoulé, en minutes, depuis l'ouverture de la vanne. Au bout de combien de temps reste-t-il strictement moins de $100$ litres d'eau dans le réservoir ?

Corrigé

  1. Pour $x$ minutes d'appel, le forfait A coûte $12 + 0{,}05x$ euros et le forfait B coûte $20$ euros. Le forfait B est plus avantageux lorsque son prix est strictement inférieur à celui du forfait A, c'est-à-dire :
    $20 < 12 + 0{,}05x$
    On isole le terme en $x$ en soustrayant $12$ des deux membres :
    $20 - 12 < 0{,}05x$
    $8 < 0{,}05x$
    On divise les deux membres par $0{,}05$, qui est un nombre positif : le sens de l'inégalité ne change pas.
    $\dfrac{8}{0{,}05} < x$
    $160 < x$
    L'ensemble des solutions est $S = ]160 ; +\infty[$.
    Comme $x$ est un nombre de minutes, le forfait B devient plus avantageux à partir de $161$ minutes d'appel par mois.
  2. Pour $x$ séances, payer à l'unité coûte $25x$ euros et l'abonnement annuel coûte $180 + 10x$ euros. L'abonnement est plus avantageux lorsque son prix est strictement inférieur, c'est-à-dire :
    $180 + 10x < 25x$
    On regroupe les termes en $x$ à droite en soustrayant $10x$ des deux membres :
    $180 < 25x - 10x$
    $180 < 15x$
    On divise les deux membres par $15$, qui est positif : le sens ne change pas.
    $\dfrac{180}{15} < x$
    $12 < x$
    L'ensemble des solutions est $S = ]12 ; +\infty[$.
    Comme $x$ est un nombre de séances, l'abonnement annuel devient plus avantageux à partir de $13$ séances dans l'année.
  3. Au bout de $x$ minutes, le réservoir a perdu $20x$ litres : il en contient donc $500 - 20x$. On cherche les instants où ce volume est strictement inférieur à $100$ litres :
    $500 - 20x < 100$
    On soustrait $500$ des deux membres :
    $-20x < 100 - 500$
    $-20x < -400$
    On divise les deux membres par $-20$, qui est un nombre négatif : il faut inverser le sens de l'inégalité ($<$ devient $>$).
    $x > \dfrac{-400}{-20}$
    $x > 20$
    L'ensemble des solutions est $S = ]20 ; +\infty[$.
    Il reste donc strictement moins de $100$ litres d'eau au bout de plus de $20$ minutes.