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Équations et inéquations Exercices

Mettre un problème en équation

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Objectif travaillé

Pour chaque problème, choisir une inconnue, poser une équation, la résoudre, puis répondre par une phrase.

  1. Trois enfants se partagent une collection de $90$ billes. Léa en possède deux fois plus que Pierre, et Tom en a $6$ de plus que Pierre. Combien de billes possède chacun ?
  2. Un rectangle a un périmètre de $58$ cm. Sa longueur dépasse sa largeur de $7$ cm. Déterminer la longueur et la largeur de ce rectangle.
  3. Pour aller au cinéma, on a le choix entre deux tarifs. Avec une carte d'abonnement coûtant $16$ € à l'année, chaque séance revient ensuite à $5$ €. Sans carte, chaque séance coûte $9$ €. À partir de combien de séances la carte d'abonnement devient-elle plus avantageuse ?
  4. Une mère a $32$ ans de plus que sa fille. Dans $8$ ans, la mère aura le triple de l'âge de sa fille. Quel est l'âge actuel de chacune ?

Corrigé

  1. On note $x$ le nombre de billes de Pierre.
    Léa en a deux fois plus, soit $2x$, et Tom en a $6$ de plus, soit $x+6$.
    Le total vaut $90$ billes, ce qui se traduit par l'équation :

    $x + 2x + (x+6) = 90$

    On résout :
    $4x + 6 = 90$
    $4x = 84$
    $x = 21$
    Pierre possède donc $21$ billes, Léa en a $2 \times 21 = 42$ et Tom en a $21 + 6 = 27$.
    Vérification : $21 + 42 + 27 = 90$, ce qui est bien le cas.
    Pierre a 21 billes, Léa 42 billes et Tom 27 billes.

  2. On note $x$ la largeur du rectangle, en centimètres.
    La longueur dépasse la largeur de $7$ cm, elle vaut donc $x + 7$.
    Le périmètre d'un rectangle est $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$, et il vaut $58$ cm :

    $2 \times \big((x+7) + x\big) = 58$

    On résout :
    $2 \times (2x + 7) = 58$
    $4x + 14 = 58$
    $4x = 44$
    $x = 11$
    La largeur vaut $11$ cm et la longueur vaut $11 + 7 = 18$ cm.
    Vérification : $2 \times (18 + 11) = 2 \times 29 = 58$, ce qui est bien le cas.
    La largeur mesure 11 cm et la longueur mesure 18 cm.

  3. On note $x$ le nombre de séances de cinéma dans l'année.
    Avec la carte, le coût total est $16 + 5x$ ; sans la carte, il est $9x$.
    La carte devient plus avantageuse lorsque son coût est inférieur à celui du tarif sans carte. On cherche d'abord le nombre de séances pour lequel les deux tarifs sont égaux :

    $16 + 5x = 9x$

    On résout :
    $16 = 9x - 5x$
    $16 = 4x$
    $x = 4$
    Pour $4$ séances, les deux tarifs coûtent la même chose : $16 + 5 \times 4 = 36$ € et $9 \times 4 = 36$ €.
    Au-delà, le tarif sans carte augmente de $9$ € par séance contre $5$ € avec la carte : la carte est donc plus avantageuse à partir de 5 séances.

  4. On note $x$ l'âge actuel de la fille, en années.
    La mère a $32$ ans de plus, son âge actuel est donc $x + 32$.
    Dans $8$ ans, la fille aura $x + 8$ ans et la mère aura $x + 32 + 8 = x + 40$ ans.
    La mère aura alors le triple de l'âge de sa fille, ce qui se traduit par :

    $x + 40 = 3 \times (x + 8)$

    On résout :
    $x + 40 = 3x + 24$
    $40 - 24 = 3x - x$
    $16 = 2x$
    $x = 8$
    La fille a donc $8$ ans aujourd'hui et la mère a $8 + 32 = 40$ ans.
    Vérification : dans $8$ ans, la fille aura $16$ ans et la mère $48$ ans, or $48 = 3 \times 16$, ce qui est bien le cas.
    La fille a 8 ans et la mère a 40 ans.