Probabilités – Roulette de casino – Brevet Métropole 2024
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Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros.
On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36.
La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.
- Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est $ \dfrac{1}{37} $.
- Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
- Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
- En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
- Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?
Corrigé
La roue comporte les numéros entiers de 0 à 36, soit $ 37 - 0 + 1 = 37 $ numéros.
L'énoncé précise que la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun des numéros : il y a donc équiprobabilité entre les 37 issues.
La probabilité d'obtenir le numéro 7 est :
$ P(7) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}} = \dfrac{1}{37} $D'après la disposition de la roulette européenne, les cases noires portent les numéros : 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33 et 35.
Parmi celles-ci, les numéros pairs sont : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28, soit 10 cases noires et paires.
$ P(\text{noire et paire}) = \dfrac{10}{37} $Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6, soit 7 issues favorables sur 37.
$ P(\text{numéro} \leqslant 6) = \dfrac{7}{37} $Les événements « obtenir un numéro $ \leqslant 6 $ » et « obtenir un numéro $ \geqslant 7 $ » sont contraires (puisque les numéros sont des entiers de 0 à 36).
$ P(\text{numéro} \geqslant 7) = 1 - P(\text{numéro} \leqslant 6) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37 - 7}{37} = \dfrac{30}{37} $On compare $ \dfrac{30}{37} $ à $ \dfrac{3}{4} $ en les ramenant au même dénominateur 148 :
$ \dfrac{30}{37} = \dfrac{30 \times 4}{37 \times 4} = \dfrac{120}{148} $ et $ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 37}{4 \times 37} = \dfrac{111}{148} $.
Comme $ \dfrac{120}{148} > \dfrac{111}{148} $, on a $ \dfrac{30}{37} > \dfrac{3}{4} $.
Le joueur a donc raison : la probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 dépasse bien $ \dfrac{3}{4} $.