Patron d’une pyramide à base carrée

Chaque face latérale est un triangle dont les deux côtés issus du sommet $S$ sont des arêtes latérales de la pyramide :

• $SAB$ a deux côtés $SA = SB = 13$ cm, donc il est isocèle en $S$.
• De même $SBC$, $SCD$ et $SDA$ sont isocèles en $S$.

Ces quatre triangles ont tous deux côtés de longueur $13$ cm et un troisième côté qui est un côté du carré, soit $10$ cm. Ils ont donc les mêmes dimensions : ils sont superposables.

Le triangle $SAB$ est isocèle en $S$. La hauteur issue de $S$ tombe au milieu $M$ de la base $[AB]$ : elle est perpendiculaire à $[AB]$ en $M$. Le triangle $SAM$ est donc rectangle en $M$, avec $SA = 13$ cm et $AM = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $SAM$ rectangle en $M$ :

$SA^2 = SM^2 + AM^2$

$13^2 = SM^2 + 5^2$

$169 = SM^2 + 25$

$SM^2 = 169 - 25 = 144$

Comme $SM$ est une longueur, $SM = \sqrt{144} = 12$.

La hauteur vaut $SM = 12$ cm.

L'aire d'un triangle est $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Pour la face $SAB$, on prend $AB$ comme base et $SM$ comme hauteur :

$\mathcal{A}_{\text{face}} = \dfrac{AB \times SM}{2} = \dfrac{10 \times 12}{2} = \dfrac{120}{2} = 60$

L'aire d'une face latérale vaut $60$ cm².

L'aire de la base carrée est :

$\mathcal{A}_{\text{base}} = 10 \times 10 = 100$ cm²

Le patron est composé de la base et des quatre faces latérales superposables :

$\mathcal{A}_{\text{patron}} = \mathcal{A}_{\text{base}} + 4 \times \mathcal{A}_{\text{face}} = 100 + 4 \times 60 = 100 + 240 = 340$

L'aire totale du patron est $340$ cm².